1. 為什么需要離散小波變換

盡管離散連續(xù)小波變換可以通過(guò)計(jì)算機(jī)計(jì)算連續(xù)小波變換，但這并不是真正的離散變換。 實(shí)際上，小波序列只是CWT（連續(xù)小波變換）的一個(gè)采樣版本，就信號(hào)的重構(gòu)而言，它提供的信息是高度冗余的。 另一方面，這種冗余需要大量的計(jì)算時(shí)間和資源。 另一方面，離散小波變換（DWT）為原始信號(hào)的分析和合成提供了足夠的信息，同時(shí)大大減少了計(jì)算時(shí)間。

與CWT相比，DWT易于實(shí)施。 DWT的基本概念以及它的屬性和用于計(jì)算它的算法將在本節(jié)中介紹。 與前幾章一樣，提供了一些示例來(lái)幫助解釋DWT。

2. 離散小波變換（DWT）

DWT的基礎(chǔ)可以追溯到1976年，當(dāng)時(shí)Croiser，Esteban和Galand設(shè)計(jì)了一種分解離散時(shí)間信號(hào)的技術(shù)。 同年，Crochiere，Weber和Flanagan在語(yǔ)音信號(hào)編碼方面做了類(lèi)似的工作。 他們將分析方案命名為子帶編碼。 1983年，伯特（Burt）定義了一種非常類(lèi)似于子帶編碼的技術(shù)，并將其命名為金字塔編碼，也稱(chēng)為多分辨率分析。 1989年晚些時(shí)候，Vetterli和Le Gall對(duì)子帶編碼方案進(jìn)行了一些改進(jìn)，消除了金字塔編碼方案中現(xiàn)有的冗余。 下面說(shuō)明子帶編碼。 有關(guān)離散小波變換和多分辨率分析理論的詳細(xì)介紹，可以在該主題的許多文章和書(shū)籍中找到，這超出了本教程的范圍。

3. 子帶編碼和多分辨率分析

主要思想與CWT中的思想相同。 使用數(shù)字濾波技術(shù)可獲得數(shù)字信號(hào)的time-scale表示。 回想一下，CWT是小波在不同尺度上與信號(hào)之間的相關(guān)性，該scale（或頻率）被用作相似性的度量。 通過(guò)更改分析窗口的scale，及時(shí)移動(dòng)窗口，乘以信號(hào)以及對(duì)所有時(shí)間進(jìn)行積分，可以計(jì)算出連續(xù)小波變換。 在離散情況下，使用不同截止頻率的濾波器來(lái)分析不同scale的信號(hào)。 信號(hào)通過(guò)一系列高通濾波器以分析高頻，并通過(guò)一系列低通濾波器以分析低頻。

信號(hào)的分辨率（衡量信號(hào)中詳細(xì)信息的數(shù)量）通過(guò)濾波操作進(jìn)行更改，而scale則通過(guò)上采樣和下采樣（子采樣）操作進(jìn)行更改。 對(duì)信號(hào)進(jìn)行二次采樣對(duì)應(yīng)于降低采樣率或刪除信號(hào)的某些采樣。 例如，二次抽樣是指將信號(hào)的每隔一個(gè)樣本丟棄一次。 以因子n進(jìn)行二次采樣可將信號(hào)中的樣本數(shù)量減少n次。

信號(hào)的上采樣對(duì)應(yīng)于通過(guò)向信號(hào)添加新的采樣來(lái)增加信號(hào)的采樣率。 例如，以2進(jìn)行上采樣是指在信號(hào)的每?jī)蓚€(gè)采樣之間添加一個(gè)新的采樣，通常為零或內(nèi)插值。 對(duì)信號(hào)進(jìn)行n倍的上采樣會(huì)使信號(hào)中的樣本數(shù)增加n倍。

盡管不是唯一的選擇，但是DWT系數(shù)通常是在二元網(wǎng)格上從CWT采樣的，即$s_0=2$和$t_0=1$，產(chǎn)生$s=2^j$和$t=k?2^j$，如第3部分所述。由于信號(hào)是離散時(shí)間函數(shù)，因此在以下討論中，術(shù)語(yǔ)函數(shù)和序列將互換使用。 該序列將由$x[n]$表示，其中n是整數(shù)。

該過(guò)程開(kāi)始于使該信號(hào)（序列）通過(guò)具有脈沖響應(yīng)$h[n]$的半帶數(shù)字低通濾波器。 對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波對(duì)應(yīng)于信號(hào)的卷積與濾波器的脈沖響應(yīng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算。 離散時(shí)間的卷積運(yùn)算定義如下：

$x[n]?h[n]=\sum _{k=?\infty }^{\infty }x[k]?h[n?k]$···················································(4.1)

半帶低通濾波器可去除所有高于信號(hào)最高頻率一半的頻率。例如，如果信號(hào)最大具有1000 Hz分量，則半帶低通濾波將去除500 Hz以上的所有頻率。

此時(shí)，頻率單位特別重要。在離散信號(hào)中，頻率以弧度表示。因此，就徑向頻率而言，信號(hào)的采樣頻率等于2p弧度。因此，如果以奈奎斯特速率（是信號(hào)中最大頻率的兩倍）對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣，則信號(hào)中存在的最高頻率分量將為p弧度。即，奈奎斯特速率對(duì)應(yīng)于離散頻域中的p rad / s。因此，使用Hz不適用于離散信號(hào)。但是，每當(dāng)需要澄清討論時(shí)都使用Hz，因?yàn)橛肏z來(lái)考慮頻率是很常見(jiàn)的。應(yīng)始終記住，離散時(shí)間信號(hào)的頻率單位為弧度。

使信號(hào)通過(guò)半帶低通濾波器后，根據(jù)奈奎斯特規(guī)則，可以消除一半采樣，因?yàn)樾盘?hào)現(xiàn)在的最高頻率為$\frac{p}{2}$弧度，而不是p弧度。簡(jiǎn)單地丟棄所有其他采樣將對(duì)信號(hào)進(jìn)行二次采樣，信號(hào)的點(diǎn)數(shù)將減半。現(xiàn)在，信號(hào)的大小增加了一倍。請(qǐng)注意，低通濾波會(huì)刪除高頻信息，但不會(huì)改變音階。僅子采樣過(guò)程會(huì)更改比例。另一方面，分辨率與信號(hào)中的信息量有關(guān)，因此，它受濾波操作的影響。半帶低通濾波消除了一半的頻率，這可以解釋為丟失了一半的信息。因此，在濾波操作之后，分辨率降低了一半。但是請(qǐng)注意，濾波后的二次采樣操作不會(huì)影響分辨率，因?yàn)閺男盘?hào)中刪除一半的頻譜分量仍然會(huì)使一半的樣本數(shù)量成為多余。可以丟棄一半樣本，而不會(huì)丟失任何信息。總之，低通濾波將分辨率減半，但比例不變。由于樣本數(shù)量的一半是冗余的，因此該信號(hào)將被2二次采樣。這使規(guī)模翻倍。

該過(guò)程可以用數(shù)學(xué)表示為:

$y[n]=\sum _{k=?\infty }^{\infty }h[k]?x[2n?k]$·························································(4.2)

話雖如此，我們現(xiàn)在看一下DWT的實(shí)際計(jì)算方法：DWT通過(guò)將信號(hào)分解為粗略的近似值和詳細(xì)信息來(lái)分析具有不同分辨率的不同頻帶上的信號(hào)。 DWT使用兩組函數(shù)，分別稱(chēng)為縮放函數(shù)和小波函數(shù)，分別與低通和高通濾波器關(guān)聯(lián)。 通過(guò)對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行連續(xù)的高通和低通濾波，可以簡(jiǎn)單地將信號(hào)分解為不同的頻帶。 原始信號(hào)$x[n]$首先通過(guò)半帶高通濾波器$g[n$]和低通濾波器$h[n]$。 濾波之后，根據(jù)奈奎斯特規(guī)則可以消除一半樣本，因?yàn)樾盘?hào)現(xiàn)在的最高頻率為$\frac{p}{2}$弧度，而不是p。 因此，只需丟棄其他所有采樣，即可對(duì)信號(hào)進(jìn)行2采樣。 這構(gòu)成了一個(gè)分解級(jí)別，可以用數(shù)學(xué)方式表示為：

$y_{high}[k]=\sum _{n}x[n]?g[2k?n]$

$y_{low}[k]=\sum _{n}x[n]?h[2k?n]$························································(4.3)

其中$y_{high}[k]$和$y_{low}[k]$分別是二次采樣后的高通和低通濾波器的輸出。

這種分解將時(shí)間分辨率減半，因?yàn)楝F(xiàn)在只有一半數(shù)量的樣本可以表征整個(gè)信號(hào)。 但是，此操作使頻率分辨率提高了一倍，因?yàn)樾盘?hào)的頻帶現(xiàn)在僅跨越先前頻帶的一半，從而有效地將頻率的不確定性降低了一半。 可以重復(fù)上述過(guò)程，也稱(chēng)為子帶編碼，以進(jìn)行進(jìn)一步分解。 在每個(gè)級(jí)別上，濾波和二次采樣將導(dǎo)致樣本數(shù)量減少一半（因此時(shí)間分辨率減少一半），跨度頻段減少一半（頻率分辨率增加一倍）。 圖4.1說(shuō)明了此過(guò)程，其中$x[n]$是要分解的原始信號(hào)，$h[n]$和$g[n]$分別是低通和高通濾波器。 每個(gè)級(jí)別的信號(hào)帶寬在圖中標(biāo)記為“ $f$”。

例如，假設(shè)原始信號(hào)$x[n]$具有512個(gè)采樣點(diǎn)，跨越零到p rad / s的頻帶。在第一個(gè)分解級(jí)別上，信號(hào)通過(guò)高通和低通濾波器，然后通過(guò)2進(jìn)行二次采樣。高通濾波器的輸出具有256個(gè)點(diǎn)（因此是時(shí)間分辨率的一半），但僅跨越$\frac{p}{2}$至rad / s（因此頻率分辨率翻倍）。這256個(gè)樣本構(gòu)成DWT系數(shù)的第一級(jí)。低通濾波器的輸出也有256個(gè)采樣，但是它跨越了頻帶的另一半，頻率從0到$\frac{p}{2}rad/s$。然后，該信號(hào)通過(guò)相同的低通和高通濾波器進(jìn)行進(jìn)一步分解。第二個(gè)低通濾波器的輸出隨后進(jìn)行二次采樣，采樣范圍為0到$\frac{p}{4}rad/s$，范圍為128個(gè)采樣，第二個(gè)高通濾波器的輸出之后進(jìn)行二次采樣，采樣范圍為128個(gè)采樣范圍$\frac{p}{4}$到$\frac{p}{2}rad/s$的范圍。第二高通濾波信號(hào)構(gòu)成第二級(jí)DWT系數(shù)。該信號(hào)的時(shí)間分辨率為第一級(jí)信號(hào)的一半，但頻率分辨率為第一級(jí)信號(hào)的兩倍。換句話說(shuō)，與原始信號(hào)相比，時(shí)間分辨率降低了4倍，而頻率分辨率提高了4倍。然后再次對(duì)低通濾波器的輸出進(jìn)行濾波以進(jìn)行進(jìn)一步分解。這個(gè)過(guò)程一直持續(xù)到剩下兩個(gè)樣本為止。對(duì)于此特定示例，將有8個(gè)分解級(jí)別，每個(gè)分解級(jí)別具有前一個(gè)級(jí)別的樣本數(shù)量的一半。然后，通過(guò)合并從最后一個(gè)分解級(jí)別開(kāi)始的所有系數(shù)（在這種情況下為兩個(gè)樣本），獲得原始信號(hào)的DWT。然后，DWT將具有與原始信號(hào)相同數(shù)量的系數(shù)。

在原始信號(hào)中最突出的頻率將在包含那些特定頻率的DWT信號(hào)區(qū)域中顯示為高振幅。 該變換與傅立葉變換的區(qū)別在于，這些頻率的時(shí)間定位不會(huì)丟失。 但是，時(shí)間本地化將具有取決于它們出現(xiàn)在哪個(gè)級(jí)別的分辨率。 如果信號(hào)的主要信息位于高頻（這是最常見(jiàn)的情況），則這些頻率的時(shí)間定位將更加精確，因?yàn)樗鼈兙哂懈嗟臉颖緮?shù)量。 如果主要信息僅位于非常低的頻率，則時(shí)間定位將不是很精確，因?yàn)楹苌儆袠颖居糜诒硎具@些頻率的信號(hào)。 該過(guò)程實(shí)際上在高頻下提供了良好的時(shí)間分辨率，而在低頻下提供了良好的頻率分辨率。 遇到的大多數(shù)實(shí)際信號(hào)都是這種類(lèi)型的。

在原始信號(hào)中不是很突出的頻帶將具有非常低的幅度，并且可以丟棄DWT信號(hào)的那部分而不會(huì)造成任何重大信息損失，從而可以減少數(shù)據(jù)。圖4.2說(shuō)明了DWT信號(hào)的外觀以及如何提供數(shù)據(jù)縮減的示例。圖4.2_a顯示了典型的512采樣信號(hào)，已將其標(biāo)準(zhǔn)化為單位幅度。水平軸是樣本數(shù)，而垂直軸是歸一化幅度。圖4.2_b顯示了圖4.2_a中信號(hào)的8級(jí)DWT。此信號(hào)中的最后256個(gè)采樣對(duì)應(yīng)于信號(hào)中的最高頻段，前128個(gè)采樣對(duì)應(yīng)于第二個(gè)最高頻段，依此類(lèi)推。應(yīng)當(dāng)注意，僅對(duì)應(yīng)于較低分析頻率的前64個(gè)樣本攜帶相關(guān)信息，而該信號(hào)的其余部分實(shí)際上沒(méi)有信息。因此，除了前64個(gè)樣本外，所有其他樣本都可以丟棄，而不會(huì)丟失任何信息。這就是DWT如何提供一種非常有效的數(shù)據(jù)縮減方案。

我們將重溫該示例，因?yàn)樗鼮槿绾谓忉孌WT提供了重要的見(jiàn)解。 但是，在此之前，我們需要結(jié)束對(duì)DWT的數(shù)學(xué)分析。

離散小波變換的一個(gè)重要特性是高通和低通濾波器的脈沖響應(yīng)之間的關(guān)系。 高通和低通濾波器不是彼此獨(dú)立的，它們之間的關(guān)系是:

$g[L?1?n]=(?1{)}^n?h[n]$··································································(4.4)

其中g(shù) [n]是高通濾波器，h [n]是低通濾波器，L是濾波器長(zhǎng)度（以點(diǎn)數(shù)為單位）。 請(qǐng)注意，這兩個(gè)過(guò)濾器是彼此的奇數(shù)索引交替反向版本。 從低通到高通的轉(zhuǎn)換由（-1）n項(xiàng)提供。 滿足此條件的濾波器通常用于信號(hào)處理，它們被稱(chēng)為正交鏡像濾波器（QMF）。 這兩個(gè)濾波和二次采樣操作可以表示為：

$y_{high}[k]=\sum _{n}x[n]?g[?n+2k]$

$y_{low}[k]=\sum _{n}x[n]?h[?n+2k]$···························································(4.5)

由于半帶濾波器形成正交基，因此這種情況下的重建非常容易。 以相反的順序執(zhí)行上述過(guò)程以進(jìn)行重建。 每個(gè)級(jí)別的信號(hào)均被上采樣兩次，并通過(guò)合成濾波器g [n]和h [n]（分別為高通和低通），然后相加。 這里有趣的一點(diǎn)是，除了時(shí)間反轉(zhuǎn)外，分析和合成過(guò)濾器彼此相同。 因此，重建公式變?yōu)?#xff08;對(duì)于每一層）

$x[n]=\sum _{k=?\infty }^{\infty }\left(y_{high}[k]?g[?n+2k]\right)+\left(y_{low}[k]?h[?n+2k]\right)$··········(4.6)

但是，如果濾波器不是理想的半帶，則無(wú)法實(shí)現(xiàn)完美的重構(gòu)。 盡管不可能實(shí)現(xiàn)理想的濾波器，但在某些條件下仍可以找到提供完美重構(gòu)的濾波器。 最著名的是Ingrid Daubechies開(kāi)發(fā)的那些，被稱(chēng)為Daubechies的小波。

注意，由于連續(xù)的2次二次采樣，信號(hào)長(zhǎng)度必須是2的冪，或者至少是2的冪的倍數(shù)，以便該方案有效。 信號(hào)的長(zhǎng)度決定了信號(hào)可以分解為的電平數(shù)。 例如，如果信號(hào)長(zhǎng)度為1024，則可能有十個(gè)分解級(jí)別。

解釋DWT系數(shù)有時(shí)可能會(huì)很困難，因?yàn)镈WT系數(shù)的表示方式非常特殊。 為了使真實(shí)情況更短，將每個(gè)級(jí)別的DWT系數(shù)從最后一個(gè)級(jí)別開(kāi)始進(jìn)行級(jí)聯(lián)。 為了闡明這個(gè)概念，可以舉一個(gè)例子：

假設(shè)我們?cè)?0 MHZ處采樣了256個(gè)樣本的長(zhǎng)信號(hào)，我們希望獲得其DWT系數(shù)。由于信號(hào)以10 MHz采樣，因此信號(hào)中存在的最高頻率分量為5 MHz。在第一級(jí)，信號(hào)通過(guò)低通濾波器h [n]和高通濾波器g [n]，其輸出被二次采樣。高通濾波器的輸出為第一級(jí)DWT系數(shù)。其中有128個(gè)，它們代表[2.5 5] MHz范圍內(nèi)的信號(hào)。這128個(gè)樣本是最后繪制的128個(gè)樣本。低通濾波器輸出（也具有128個(gè)采樣點(diǎn)，但跨越[0 2.5] MHz頻帶）將通過(guò)使它們通過(guò)相同的h [n]和g [n]進(jìn)一步分解。第二個(gè)高通濾波器的輸出是2級(jí)DWT系數(shù)，并且這64個(gè)樣本位于圖中的128個(gè)1級(jí)系數(shù)之前。通過(guò)再次使第二低通濾波器的輸出經(jīng)過(guò)濾波器h [n]和g [n]，進(jìn)一步分解它。第三個(gè)高通濾波器的輸出為3級(jí)DWT系數(shù)。這32個(gè)樣本位于圖中的2級(jí)DWT系數(shù)之前。

該過(guò)程繼續(xù)進(jìn)行，直到在級(jí)別9只能計(jì)算1個(gè)DWT系數(shù)為止。這個(gè)系數(shù)是DWT圖中第一個(gè)繪制的系數(shù)。隨后是2個(gè)8級(jí)系數(shù)，4個(gè)7級(jí)系數(shù)，8個(gè)6級(jí)系數(shù)，16個(gè)5級(jí)系數(shù)，32個(gè)4級(jí)系數(shù)，64個(gè)3級(jí)系數(shù)，128個(gè)2級(jí)系數(shù)，最后是256個(gè)1級(jí)系數(shù)。注意，在較低頻率下使用的樣本數(shù)量越來(lái)越少，因此，時(shí)間分辨率隨著頻率的降低而降低，但是由于頻率間隔在低頻時(shí)也會(huì)降低，因此頻率分辨率會(huì)提高。顯然，僅僅由于時(shí)間分辨率大大降低，前幾個(gè)系數(shù)將不會(huì)攜帶大量信息。為了說(shuō)明這種豐富而奇怪的DWT表示，讓我們看一下現(xiàn)實(shí)世界中的信號(hào)。我們的原始信號(hào)是一個(gè)256樣本長(zhǎng)的超聲信號(hào)，它以25 MHz的頻率采樣。該信號(hào)最初是使用2.25 MHz傳感器產(chǎn)生的，因此信號(hào)的主要頻譜成分為2.25 MHz。最后的128個(gè)樣本對(duì)應(yīng)[6.25 12.5] MHz范圍。從圖中可以看出，這里沒(méi)有可用的信息，因此可以丟棄這些樣本而不會(huì)丟失任何信息。前面的64個(gè)樣本表示[3.12 6.25] MHz范圍內(nèi)的信號(hào)，該信號(hào)也不攜帶任何重要信息。小故障可能對(duì)應(yīng)于信號(hào)中的高頻噪聲。前32個(gè)樣本代表[1.5 3.1] MHz范圍內(nèi)的信號(hào)。如您所見(jiàn)，正如我們預(yù)期的那樣，信號(hào)的大部分能量集中在這32個(gè)樣本上。前16個(gè)采樣對(duì)應(yīng)[0.75 1.5] MHz，在此級(jí)別看到的峰值可能表示信號(hào)的較低頻率包絡(luò)。先前的樣本可能未包含任何其他重要信息。可以肯定地說(shuō)，我們可以使用第三級(jí)和第四級(jí)系數(shù)，也就是說(shuō)，我們可以用16 + 32 = 48個(gè)樣本來(lái)表示這個(gè)256個(gè)樣本的長(zhǎng)信號(hào)，這大大減少了數(shù)據(jù)量，這會(huì)使您的計(jì)算機(jī)非常滿意。

從小波變換的這一特殊屬性中受益最大的領(lǐng)域是圖像處理。如您所知，圖像，尤其是高分辨率圖像占用大量磁盤(pán)空間。實(shí)際上，如果本教程要花很長(zhǎng)時(shí)間下載，那主要是由于圖像。 DWT可用于減小圖像尺寸，而不會(huì)損失很多分辨率。方法如下：

對(duì)于給定的圖像，您可以計(jì)算每行的DWT，并丟棄DWT中所有小于某個(gè)閾值的值。然后，我們僅保存那些高于每行閾值的DWT系數(shù)，并且當(dāng)我們需要重建原始圖像時(shí)，我們只需為每行填充與所丟棄系數(shù)數(shù)量一樣多的零，并使用反DWT來(lái)重建每行原始圖像的行。我們還可以分析不同頻帶的圖像，并僅使用特定頻帶的系數(shù)來(lái)重建原始圖像。我將嘗試盡快放入示例圖像，以說(shuō)明這一點(diǎn)。

越來(lái)越受到關(guān)注的另一個(gè)問(wèn)題是不僅在低通側(cè)而且在兩側(cè)都進(jìn)行分解（子帶編碼）。換句話說(shuō)，分別放大信號(hào)的低頻帶和高頻帶。可以將其可視化為具有圖4.1的樹(shù)結(jié)構(gòu)的兩側(cè)。結(jié)果就是所謂的小波包。我們不會(huì)在此討論小波包，因?yàn)樗辉诒窘坛痰挠懻摲秶畠?nèi)。任何對(duì)小波包感興趣的人，或者對(duì)DWT有更多了解的人，都可以在市場(chǎng)上任何可用的文本中找到該信息。

到此，我們的迷你系列小波教程結(jié)束了。如果我可以幫助那些努力理解小波的人，那么我將考慮花費(fèi)在本教程上的時(shí)間和精力。我想提醒一下，本教程既不是小波變換的完整也不是完整的介紹。它只是小波概念的概述，旨在為那些發(fā)現(xiàn)小波可用文本相當(dāng)復(fù)雜的人提供第一個(gè)參考。可能存在許多結(jié)構(gòu)和/或技術(shù)錯(cuò)誤，如果您能向我指出這些錯(cuò)誤，我將不勝感激。您的反饋對(duì)于本教程的成功至關(guān)重要。

非常感謝您對(duì)Wavelet教程的關(guān)注。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的小波教程-part4-多分辨率分析：离散小波变换的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。