第 8 章 MATLAB 數(shù)值積分與微分 8.1 數(shù)值積分 8.2 數(shù)值微分 8.1 數(shù)值積分 8.1.1 數(shù)值積分基本原理 求解定積分的數(shù)值方法多種多樣，如簡(jiǎn)單 的梯形法、辛普生 (Simpson) ? 法、牛頓－柯 特斯 (Newton-Cotes) 法等都是經(jīng)常采用的方 法。它們的基本思想都是將整個(gè)積分區(qū)間 [a,b] 分成 n 個(gè)子區(qū)間 [x i ,x i+1 ] ， i=1,2,…,n ，其 中 x 1 =a ， x n+1 =b 。這樣求定積分問(wèn)題就分解 為求和問(wèn)題。 8.1.2 數(shù)值積分的實(shí)現(xiàn)方法 1 ．變步長(zhǎng)辛普生法 基于變步長(zhǎng)辛普生法， MATLAB 給出了 quad 函數(shù)來(lái) 求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為： [I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace) 其中 fname 是被積函數(shù)名。 a 和 b 分別是定積分的下 限和上限。 tol 用來(lái)控制積分精度，缺省時(shí)取 tol=0.001 。 trace 控制是否展現(xiàn)積分過(guò)程，若取非 0 則展現(xiàn)積分過(guò)程，取 0 則不展現(xiàn)，缺省時(shí)取 trace=0 。返回參數(shù) I 即定積分值， n 為被積函數(shù)的 調(diào)用次數(shù)。 例 8-1 求定積分。 (1) 建立被積函數(shù)文件 fesin.m 。 function f=fesin(x) f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 調(diào)用數(shù)值積分函數(shù) quad 求定積分。 [S,n]=quad('fesin',0,3*pi) S = 0.9008 n = 77 2 ．牛頓－柯特斯法 基于牛頓－柯特斯法， MATLAB 給出了 quad8 函數(shù)來(lái)求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式 為： [I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace) 其中參數(shù)的含義和 quad 函數(shù)相似，只是 tol 的 缺省值取 10-6 。 ? 該函數(shù)可以更精確地求出 定積分的值，且一般情況下函數(shù)調(diào)用的步 數(shù)明顯小于 quad 函數(shù)，從而保證能以更高 的效率求出所需的定積分值。 例 8-2 求定積分。 (1) 被積函數(shù)文件 fx.m 。 function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x)); (2) 調(diào)用函數(shù) quad8 求定積分。 I=quad8('fx',0,pi) I = 2.4674 例 8-3 分別用 quad 函數(shù)和 quad8 函數(shù)求定積分的近 似值，并在相同的積分精度下，比較函數(shù)的調(diào)用 次數(shù)。 調(diào)用函數(shù) quad 求定積分： format long; fx=inline('exp(-x)'); [I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10) I = 0.28579444254766 n = 65 調(diào)用函數(shù) quad8 求定積分： format long; fx=inline('exp(-x)'); [I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10) I = 0.28579444254754 n = 33 3 ．被積函數(shù)由一個(gè)表格定義 在 MATLAB 中，對(duì)由表格形式定義的函數(shù)關(guān)系的求定積分 問(wèn)題用 trapz(X,Y) 函數(shù)。其中向量 X,Y 定義函數(shù)關(guān)系 Y=f(X) 。 例 8-4 用 trapz 函數(shù)計(jì)算定積分。 命令如下： X=1:0.01:2.5; Y=exp(-X); % 生成函數(shù)關(guān)系數(shù)據(jù)向量 trapz(X,Y) ans = 0.28579682416393 8.1.3 二重定積分的數(shù)值求解 使用 MATLAB 提供的 dblquad 函數(shù) 就可以直接求出上述二重定積分的 數(shù)值解。該函數(shù)的調(diào)用格式為： I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace) 該函數(shù)求 f(x,y) 在 [a,b] × [c,d] 區(qū)域上 的二重定積分。參數(shù) tol ， trace 的 用法與函數(shù) quad 完全相同。 例 8-5 計(jì)算二重定積分 (1) 建立一個(gè)函數(shù)文件 fxy.m ： function f=fxy(x,y) global ki; ki=ki+1; %ki 用于統(tǒng)計(jì)被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù) f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y); (2) 調(diào)用 dblquad 函數(shù)求解。 global ki;ki=0;

總結(jié)

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