目錄

• $B$組
• • 15.在一個袋中有$a$個白球，$b$個黑球，每次摸一球且摸后放回重復$n$次。已知摸到白球$k$次的條件下，事件$B$發(fā)生的概率為$\frac{k}{n}$，則$P(B)=$______。
  • 17.設事件$A,B,C$兩兩獨立，三個事件不能同時發(fā)生，且它們的概率相等，則$P(A\cup B\cup C)$的最大值為______。
• $C$組
• • 7.設雙胞胎中第一個是男孩的概率為$51\%$，同性雙胞胎是異性雙胞胎的$3$倍，已知一雙胞胎第一個是男孩，求第二個也是男孩的概率。
• 寫在最后

$B$組

15.在一個袋中有$a$個白球，$b$個黑球，每次摸一球且摸后放回重復$n$次。已知摸到白球$k$次的條件下，事件$B$發(fā)生的概率為$\frac{k}{n}$，則$P(B)=$______。

解??由題意，次摸一球且摸后放回重復$n$次實質為$n$重獨立重復試驗，則每次摸到白球的概率記為$p=\frac{a}{a+b}$。設事件$A_k=\{$在$n$重獨立重復試驗中摸到白球$k$次$\}$，則$P(A_k)={\mathrm{C}}_n^k{p}^k(1?p{)}^{n?k}(k=0,1,2,?,n)$，由全概率公式得
$$\begin{array}{rl}P(B)& =\sum _{k=0}^{n}P(A_k)P(B|A_k)=\sum _{k=0}^n{\mathrm{C}}_n^k{p}^k(1?p{)}^{n?k}?\frac{k}{n}\\ & =p\sum _{k=1}^n{\mathrm{C}}_{n?1}^{k?1}{p}^{k?1}(1?p{)}^{n?k}=p(p+1?p{)}^{n?1}=p=\frac{a}{a+b}.\end{array}$$
（這道題主要利用了全概率公式求解）

17.設事件$A,B,C$兩兩獨立，三個事件不能同時發(fā)生，且它們的概率相等，則$P(A\cup B\cup C)$的最大值為______。

解??依題意有
$$\begin{array}{rl}P(A\cup B\cup C)& =P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)+P(ABC)\\ & =P(A)+P(B)+P(C)?P(A)P(B)?P(A)P(C)?P(B)P(C)+P(\text{?})\\ & =3(A)?3[P(A){]}^2=\frac{3}{4}?3{\left[P(A)?\frac{1}{2}\right]}^2,\end{array}$$
??故$P(A\cup B\cup C)$的最大值為$\frac{3}{4}$。（這道題主要利用了事件獨立條件求解）

$C$組

7.設雙胞胎中第一個是男孩的概率為$51\%$，同性雙胞胎是異性雙胞胎的$3$倍，已知一雙胞胎第一個是男孩，求第二個也是男孩的概率。

解??記$A_i=\{$第$i$個嬰兒是男孩$\}$，${\overline{A}}_i=\{$第$i$個嬰兒是女孩$\}$，$i=1,2$。
??事件$A_1{A}_2,{\overline{A}}_1{\overline{A}}_2,A_1{\overline{A}}_2,{\overline{A}}_1{A}_2$構成一個完備事件組，記$p_1=P(A_1{A}_2),p_2=P({\overline{A}}_1{\overline{A}}_2),p_3=P(A_1{\overline{A}}_2),p_4=P({\overline{A}}_1{A}_2)$，則$\sum _{i=1}^4{p}_i=1,p_3=p_4,p_1+p_2=3(p_3+p_4)$。
??又$P(A_1)=P(A_1(A_2\cup {\overline{A}}_2))=P(A_1{A}_2)+P(A_1{\overline{A}}_2)=p_1+p_3=0.51$，于是有$?\begin{array}{l}{p}_1+p_2+p_3+p_4=1,\\ p_3=p_4,\\ p_1+p_2=3(p_3+p_4),\\ p_1+p_3=0.51,\end{array}$解得$p_1=\frac{77}{200}=P(A_1{A}_2)$。故$P(A_2|A_1)=\frac{P(A_1{A}_2)}{P(A_1)}=\frac{77}{200}/\frac{51}{100}=\frac{77}{102}$。（這道題主要利用了構造方程組求解）

寫在最后

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的张宇1000题概率论与数理统计 第一章 随机事件和概率的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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