前言

開的新坑夠多就不怕填不完坑了
考慮到高等代數作為一門有那么點抽象&概念很多的學科，寫個人話解釋版本的筆記還是很有必要的
所以就開始慢慢寫~爭取趕緊寫到現在學到的地方

Part 1 行列式

行列式之前，高代課本先提了排列和逆序對。考慮到能看到這篇文章的多半不會不知道我就跳過了（

首先行列式和矩陣的不同之處在于后者是特殊的元素，而前者本質上還是一個數字，只是寫成了特殊的形式。對于n階行列式|A|而言，它的形式類似于n*n的一個方陣，它的值等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積，結合全排列來理解就很簡單了。唯一要注意的是，根據排列奇偶要帶上符號。

由于行列式滿足某些特殊的性質，我們在計算的時候可以通過交換行/列（注意變號），提一整行/列公因數，行/列之間相互加減來簡化運算。常見的是化為上三角來做（矩陣同理），當然也有很多需要技巧性的小題目，比如逐行作差，補一行0+一列隨便啥，還有下面那個代數與字數之類的。

余子式和代數余子式是提出的新的概念，實際上就是去掉一行一列之后剩下的n-1階矩陣的相關概念，本質上還是全排列引出來的。好用的地方在于把矩陣不斷按行列展開來降階，然后簡化計算，也就是高階拆低階+暴力（好熟悉的套路）

Cramer法則的話……（真的有人用嗎，看著都頭大）（略

拉普拉斯行列式算是常規運算中了。k階子式和余子式的概念引入后提供了行列式值的一種新算法，但實際上還是從全排列的本質入手更好理解……實際上如果把k階子式挪到左上角去，這實際上又是個類似矩陣分塊的問題（
但它的引理，即將兩個行列式的乘積轉換為另一個行列式，某些時候還挺好用的。$C_{ij}={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$挺好記的，記不得也沒關系，建議現推（

Part 2 矩陣

矩陣基本上會陪伴著走完整本高代（上），而且我猜多半也包括高代（下）……

所以基本功必須扎實。嗯。這方面東西太多，還是寫個小標題

1、基礎知識

矩陣的兩側是（）或者{}，寫成||是行列式，會被弄死（

基本的矩陣知識其實沒啥好講的，秩，矩陣數乘，矩陣四則，轉置都很好理解，要注意的是：
①矩陣在交換行/列時不用反號，這點與行列式不同。
②矩陣沒有乘法交換律，而且$AB=0$ 推不出其中一方為0。也就是說凡是和矩陣乘法相關的，一定認真考慮順序和元素特殊性。
③$(AB{)}^{\prime }=B^{\prime }{A}^{\prime }$，容易和②弄混

2、矩陣求逆

矩陣求逆是經常要做的事，可逆的前提條件是矩陣對應行列式值不為0（即滿秩）。
方法有
①伴隨矩陣法：$A^{?1}=\frac{1}{|A|}{A}^{?}$，注意伴隨矩陣的元素是原矩陣每個位置對應的代數余子式，且還要轉置一次。
正確性：$A{A}^{?}=|A|E$ 推得
②初等變換法：就是在右邊擴一個n*n的單位矩陣出來，左邊怎么變右邊就怎么變把左邊變成單位矩陣，右邊就是要求的逆。
正確性：說推論前先提矩陣標準形，即把一個矩陣化為僅對角線上有1或0，其余位置全0的樣子。
易證明任意矩陣都可以通過初等變換變成這樣。
所以，矩陣做初等變換=左/右乘上一個初等矩陣，又任意可逆矩陣做有限次初等變換必然能化為上三角矩陣->化為對角矩陣->化為單位矩陣。
設$A_i$均為初等矩陣，寫成：
$A_1{A}_2{A}_3\dots A_{n}B=E$
右乘$B^{?1}$有
$\to A_1{A}_2{A}_3\dots A_{n}E=B^{?1}$
正確性保證了就隨便用了。這個一般用的多一點。

3、矩陣分塊

分塊本身不算什么特殊的知識點，只是給出了一種好玩的處理矩陣的工具。不過嘛，在很多推論中，能夠把一整個矩陣看成是另一個矩陣中的某個元素，從而讓矩陣內部的性質和矩陣之間的性質產生聯系和轉化。

4、一些推論

然后是一些稍微進階的，常用的推論/公式：

1、$rank(A)+rank(B)\ge rank(A+B)$
證：這個就不用了（

2、$rank(AB)\le min\{rank(A),rank(B)\}$
證：先將AB都對角化，顯然，矩陣$AB$的$(i,i)$位置僅在$A$和$B$的該位置都不為0時才不為0，得證

3、$max\{rank(A),rank(B)\}\le rank(A,B)\le rank(A)+rank(B)$
證：太簡單了不證了（

4、設$A$是一個$m?n$矩陣，B是一個$n?s$矩陣，則$rank(AB)\ge rank(A)+rank(B)?n$
證：構造一個$(m+s)?(n+s),AB$在對角線上的矩陣C，其左下角為$En$（不會寫公式
那么有$rank(A)+rank(B)\le$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【谈谈知识点】高代（Ⅰ）行列式矩阵的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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