一、矩陣運(yùn)算

1、矩陣的算數(shù)運(yùn)算

加、減、乘、除（左除、右除）、乘方

1.1 矩陣的加減

運(yùn)算符：A±B

注意：加減要求矩陣的階數(shù)相同

檢查矩陣階數(shù)的語(yǔ)句：

• [i,j]=size(A)

• I=length(A)

1.2 矩陣的乘法運(yùn)算

運(yùn)算符：A*B

注意：要求A的列數(shù)和B的行數(shù)（內(nèi)階數(shù)）相同。

1.3 矩陣的出發(fā)運(yùn)算

左除：A\B

右除：B/A

注意：左除時(shí)要求兩個(gè)矩陣的行數(shù)要相等；右除時(shí)要求兩個(gè)矩陣的列數(shù)必須相等

1.4 矩陣的乘方運(yùn)算

運(yùn)算符：矩陣^冪次

1.5 示例

?>> A=[1 2; 3 4];>> B=[1 1; 2 2];>> y1=A+B?y1 =?2 ? ? 35 ? ? 6?>> y2=A-B?y2 =?0 ? ? 11 ? ? 2?>> y3=A*B?y3 =?5 ? ? 511 ? ?11?>> y4=A\B?y4 =?0 ? ? ? ? 00.5000 ? ?0.5000?>> y5=B/A?y5 =?-0.5000 ? ?0.5000-1.0000 ? ?1.0000?>> y6=A^2?y6 =?7 ? ?1015 ? ?22

2、矩陣的點(diǎn)（元素群）運(yùn)算

矩陣中對(duì)應(yīng)位置元素進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算。要求參加運(yùn)算的矩陣必須是同階的。即行、列數(shù)必須相等

運(yùn)算符：在矩陣運(yùn)算的基本運(yùn)算符前加上“.”即可

點(diǎn)乘：.*

點(diǎn)左除：.\ ./

點(diǎn)乘方：.^

?>> A=[1 2; 3 4];>> B=[1 1; 2 2];>> y7=A.*B?y7 =?1 ? ? 26 ? ? 8?>> y8=A.\B?y8 =?1.0000 ? ?0.50000.6667 ? ?0.5000?>> y9=B./A?y9 =?1.0000 ? ?0.50000.6667 ? ?0.5000?>> y10=A.*B?y10 =?1 ? ? 26 ? ? 8

3、矩陣的關(guān)系運(yùn)算

關(guān)系運(yùn)算符：<，<=，>，>=，=，~=

運(yùn)算結(jié)果：真（1），假（0）

運(yùn)算法則：

標(biāo)量比較：直接比較數(shù)的大小

矩陣比較：矩陣對(duì)應(yīng)位置的元素進(jìn)行標(biāo)量比較，最終結(jié)果為一個(gè)由0和1組成的、與原矩陣同階數(shù)的矩陣，

?>> A=magic(3)?A =?8 ? ? 1 ? ? 63 ? ? 5 ? ? 74 ? ? 9 ? ? 2?>> P=rem(A,3)==0?P =?3×3 logical 數(shù)組?0 ? 0 ? 11 ? 0 ? 00 ? 1 ? 0

4、矩陣的邏輯運(yùn)算

邏輯運(yùn)算符：非（~）>與（&）>或（|）

針對(duì)二進(jìn)制數(shù)的邏輯運(yùn)算

?>> A=magic(3)?A =?8 ? ? 1 ? ? 63 ? ? 5 ? ? 74 ? ? 9 ? ? 2?>> P=rem(A,3)==0?P =?3×3 logical 數(shù)組?0 ? 0 ? 11 ? 0 ? 00 ? 1 ? 0?>> U=P|~P?U =?3×3 logical 數(shù)組?1 ? 1 ? 11 ? 1 ? 11 ? 1 ? 1?>> all(P) #全為真，按列運(yùn)算?ans =?1×3 logical 數(shù)組?0 ? 0 ? 0?>> all(U)?ans =?1×3 logical 數(shù)組?1 ? 1 ? 1?>> any(P) #不全為假，按列運(yùn)算?ans =?1×3 logical 數(shù)組?1 ? 1 ? 1

all()：矩陣的一列全為真時(shí)，輸出1

any()：矩陣的一列不全為假（只要有一個(gè)1），輸出1

二、矩陣的元素處理

1、矩陣元素的取整

• 按正無(wú)窮+∞方向取整：ceil()

• 按負(fù)無(wú)窮-∞方向取整：floor()

• 四舍五入取整：round()

• 截尾取整：fix() 直接略去小數(shù)部分

>> A=[-1.2 -3.4 -5.4;3 6 9;5.2 4.5 4.8]A =-1.2000 -3.4000 -5.40003.0000 6.0000 9.00005.2000 4.5000 4.8000>> A_f=floor(A)A_f =-2 -4 -63 6 95 4 4>> A_c=ceil(A)A_c =-1 -3 -53 6 96 5 5>> A_r=round(A)A_r =-1 -3 -53 6 95 5 5>> A_fix=fix(A)A_fix =-1 -3 -53 6 95 4 4

2、矩陣元素的取模和取余

• mod(x,y) 取模

• rem(x,y) 取余

這兩者均為取余函數(shù)，區(qū)別在于：當(dāng)x和y的正負(fù)號(hào)相同的時(shí)候，兩個(gè)函數(shù)的結(jié)果相同，均為x除以y的余數(shù)，當(dāng)x和y的正負(fù)號(hào)不同時(shí)，rem函數(shù)結(jié)果的符號(hào)與x相同，而mod函數(shù)結(jié)果的符號(hào)與y相同。

>> a1=mod(-8,3)a1 =1>> a1=mod(8,-3)a1 =-1>> a1=mod(8,3)a1 =2>> a1=mod(-8,-3)a1 =-2>> rem(-8,3)ans =-2>> rem(8,-3)ans =2>> rem(8,3)ans =2>> rem(-8,-3)ans =-2

三、矩陣的行列式、秩與跡、特征值分析

1、矩陣的行列式

運(yùn)算符：det()

用于求方陣行列式的值

2、矩陣的秩與跡

• 矩陣的秩：矩陣的列向量組（或者行向量組）的任一極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)

  運(yùn)算符：rank()

• 矩陣的跡：矩陣的跡等于矩陣主對(duì)角線元素的總和，也等于矩陣特征值的總和

  運(yùn)算符：trace()

  要求矩陣是方陣

3、矩陣的特征值分析

• E=eig(A)：求矩陣的全部特征值，并構(gòu)成向量E

• [V,D]=eig(A)：求矩陣的全部特征值，構(gòu)成對(duì)角矩陣D；求A的特征向量，構(gòu)成列向量V。

>> A=[-2,1,4;4,5,6;-4,-7,-8]A =-2 1 44 5 6-4 -7 -8>> a1=det(A)a1 =-28>> a2=rank(A)a2 =3>> a3=trace(A)a3 =-5>> a4=eig(A)a4 =-1.5000 + 3.4278i-1.5000 - 3.4278i-2.0000 + 0.0000i>> [V,D]=eig(A)V =0.0754 - 0.5168i 0.0754 + 0.5168i -0.8001 + 0.0000i-0.6030 + 0.0000i -0.6030 + 0.0000i 0.5819 + 0.0000i0.6030 + 0.0000i 0.6030 + 0.0000i -0.1455 + 0.0000iD =-1.5000 + 3.4278i -1.5000 - 3.4278i -2.0000 + 0.0000i

四、矩陣的逆與線性方程組的求解

1、矩陣的逆

inv()：用于求滿秩方程的逆

pinv()：用于求不是方陣或者非滿秩方陣的逆——偽逆

如果ABA=A，BAB=B，則稱B為A的偽逆，或者廣義逆矩陣

2、線性方程組的解

五、矩陣的分解與變換

1、矩陣的分解

• 三角分解：[l,u]=lu(a)

  l表示下三角矩陣

  u表示上三角矩陣

• 正交分解：[q,r]=qr(a)

  假設(shè)a(n,m)

  q：n階正交方陣

  r：與a同階的上三角矩陣

• 奇異值分解：[u,s,v]=svd(a)

  u：n階正交方陣

  s：n×m階的對(duì)角陣，對(duì)角線元素為a的奇異值，長(zhǎng)度為n、m的較小者

  v：m階正交方陣。

2、矩陣的變換

• 矩陣的共軛轉(zhuǎn)置：’

• 矩陣的共軛：conj

• 矩陣的轉(zhuǎn)置：conj’

• 復(fù)數(shù)矩陣的賦值

  對(duì)元素逐個(gè)賦值：z=[1+2i,3+4i;5+6i,3+2i]

  對(duì)實(shí)部和虛部矩陣分別賦值：z=[1,2;5,7]+[2,4;8,9]*i

>> z=[1+2i,3+4i;5+6i,3+2i]z =1.0000 + 2.0000i 3.0000 + 4.0000i5.0000 + 6.0000i 3.0000 + 2.0000i>> z1=z' #共軛轉(zhuǎn)置z1 =1.0000 - 2.0000i 5.0000 - 6.0000i3.0000 - 4.0000i 3.0000 - 2.0000i>> z2=conj(z) #共軛z2 =1.0000 - 2.0000i 3.0000 - 4.0000i5.0000 - 6.0000i 3.0000 - 2.0000i>> z3=conj(z)' #轉(zhuǎn)置z3 =1.0000 + 2.0000i 5.0000 + 6.0000i3.0000 + 4.0000i 3.0000 + 2.0000i

只有數(shù)字和i之間的乘號(hào)可以省略

• 矩陣的行列擴(kuò)展

  a=[-2,1,4;4,5,6;-4,-7,-8]

  行擴(kuò)展：a(4,3)=6.5 a=(5,:)=[5,4,3]

  列擴(kuò)展：a(:,4)=[5;4;3;2;1]

>> a=[-2,1,4;4,5,6;-4,-7,-8]a =-2 1 44 5 6-4 -7 -8>> a(4,3)=9.8a =-2.0000 1.0000 4.00004.0000 5.0000 6.0000-4.0000 -7.0000 -8.00000 0 9.8000>> a(5,:)=[5,4,3]a =-2.0000 1.0000 4.00004.0000 5.0000 6.0000-4.0000 -7.0000 -8.00000 0 9.80005.0000 4.0000 3.0000>> a(:,4)=[5;4;3;2;1]a =-2.0000 1.0000 4.0000 5.00004.0000 5.0000 6.0000 4.0000-4.0000 -7.0000 -8.0000 3.00000 0 9.8000 2.00005.0000 4.0000 3.0000 1.0000

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Matlab学习第二部分：矩阵的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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