補(bǔ)充更方便使用的R語(yǔ)言版本：張敬信：【R語(yǔ)言】泰爾指數(shù)及其分解?zhuanlan.zhihu.com

前言

最近查一點(diǎn)泰爾指數(shù)的資料，發(fā)現(xiàn)無(wú)論是公式還是軟件實(shí)現(xiàn)，都說(shuō)的特別亂，看不出所以然。

特整理了該內(nèi)容，并用Matlab軟件給出了實(shí)現(xiàn)的代碼。

一.泰爾指數(shù)

泰爾指數(shù)(Theil index)或者泰爾熵標(biāo)準(zhǔn)(Theil’s entropy measure)泰是由泰爾(Theil,1967)利用信息理論中的熵概念來(lái)計(jì)算收入不平等而得名。

熵在信息論中被稱為平均信息量。在信息理論中，假定某事件E將以某概率p發(fā)生，而后收到一條確定消息證實(shí)該事件E的發(fā)生，則此消息所包含的信息量用公式可以表示為：

設(shè)某完備事件組由各自發(fā)生概率依次為

, 由n個(gè)事件

構(gòu)成，則有

, 熵或者期望信息量等于各事件的信息量與其相應(yīng)概率乘積的總和：

將信息理論中的熵指數(shù)概念用于收入差距的測(cè)度時(shí)，可將收入差距的測(cè)度解釋為將人口份額轉(zhuǎn)化為收入份額(類似于洛倫茲曲線中將人口累計(jì)百分比信息轉(zhuǎn)化為收入累計(jì)百分比)的消息所包含的信息量。而泰爾指數(shù)只是熵指數(shù)中的一個(gè)應(yīng)用最廣泛的特例。泰爾指數(shù)的表達(dá)式為：

其中，

為收入差距程度的測(cè)度泰爾指數(shù)，

表示第

個(gè)體的收入，

表示所有個(gè)體的平均收入。

對(duì)于分組數(shù)據(jù)，泰爾指數(shù)有另一種表達(dá)式：

其中，

表示第

組收入占總收入的比重,

表示第

組人口數(shù)占總?cè)丝跀?shù)的比重。

例1.

(I) 按公式(2)計(jì)算：

functionT=Theil2(x)%函數(shù)Theil2()計(jì)算泰爾指數(shù), 反映收入水平的差異

%其中,x為n個(gè)個(gè)體的收入

xx=x./mean(x);

T=mean(xx.*log(xx));

主程序：

y2=[10 10 8 8 8 8 6 6 6 6 6 6 4 4 4 4 2 2];

%每個(gè)個(gè)體的收入(萬(wàn)美元)

T2=Theil2(y2)

運(yùn)行結(jié)果：

T2 = 0.0791

(II) 按公式(3)計(jì)算：

functionT=Theil(y,p)%函數(shù)Theil()計(jì)算泰爾指數(shù), 反映收入水平的差異

%其中,y為各組的平均收入; p為各組包含的個(gè)體數(shù)

w=y.*p/sum(y.*p);

e=p./sum(p);

T=sum(w.*log(w./e));

主程序：

y=[10 8 6 4 2]; %各組的平均收入(萬(wàn)美元)

p=[2 4 6 4 2]; %各組包含的個(gè)體數(shù)

T=Theil(y,p)

運(yùn)行結(jié)果：

T = 0.0791

二. 泰爾指數(shù)分解法

泰爾指數(shù)作為收入不平等程度的測(cè)度指標(biāo)具備良好的可分解性質(zhì)，即將樣本分為多個(gè)群組時(shí)，泰爾指數(shù)可以分別衡量組內(nèi)差距與組間差距對(duì)總差距的貢獻(xiàn)。假設(shè)包含

個(gè)個(gè)體的樣本被分為

個(gè)群組，每組分別為

,第

組

中的個(gè)體數(shù)目為

，則有

.

用

表示個(gè)體

的收入份額(占總收入的比例),

表示第

組的收入份額(占總收入的比例)

記

與

分別為組間差距和組內(nèi)差距，則可將泰爾指數(shù)分解如下：

在上式中組間差距與組內(nèi)差距分別有如下表達(dá)式：

其中，

為第k組的組內(nèi)差距(k=1,...K).

進(jìn)一步，可以計(jì)算第k組組內(nèi)差距的貢獻(xiàn)率和組間差距的貢獻(xiàn)率：

另外，值得注意的是組內(nèi)差距項(xiàng)分別由各組的組內(nèi)差距之和構(gòu)成，各組的組內(nèi)差距的計(jì)算公式與樣本總體的計(jì)算公式并無(wú)二致，只是將樣本容量控制在第k組的個(gè)體數(shù)目。

例2還是例1的數(shù)據(jù)，計(jì)算組間差距與組內(nèi)差距，驗(yàn)證泰爾指數(shù)

function[Tb,Tw,T,z,Db,Dw]=TbTw(x,n)%函數(shù)TbTw()計(jì)算泰爾指數(shù)分解

%返回Tb為組間差距, Tw為組內(nèi)差距, z為各個(gè)組內(nèi)差距,

%返回T為泰爾指數(shù), Db為組間貢獻(xiàn)率, Dw為各個(gè)組內(nèi)貢獻(xiàn)率

%泰爾指數(shù)T=Tb+Tw

%x為N個(gè)個(gè)體的收入向量, 依次分為K個(gè)分組, n=[n1,...,nK]為各分組的個(gè)體數(shù)向量, sum(n)=N

K=length(n);

s=[0,cumsum(n)];

for k=1:K

X{k}=x(s(k)+1:s(k+1))./sum(x); %X{k}為第k個(gè)分組的nk個(gè)個(gè)體的收入份額(占總收入的比例)

y(k)=sum(X{k}); %y(k)為第k組的收入份額(占總收入的比例)

end

Tb=sum(y.*log(y./(n./length(x)))); %組間差距

for k=1:K

z(k)=sum((X{k}./y(k)).*log(n(k)*X{k}./y(k))); %第k組的組內(nèi)差距

end

Tw=sum(y.*z); %總的組內(nèi)差距為各分組組內(nèi)差距的加權(quán)和

T=Tb+Tw; %泰爾指數(shù)

Db=Tb/T; %組間貢獻(xiàn)率

Dw=y.*z/T; %各分組內(nèi)的組內(nèi)貢獻(xiàn)率

主程序：

x=[10 10 8 8 8 8 6 6 6 6 6 6 4 4 4 4 2 2];

%每個(gè)個(gè)體的收入(萬(wàn)美元)

n=[2 4 6 4 2]; %各分組的個(gè)體數(shù)

[Tb,Tw,T,z,Db,Dw]=TbTw(x,n)

運(yùn)行結(jié)果：

Tb

= 0.0791

Tw

= -3.7007e-17

T

= 0.0791

z

= 1.0e-15 *

0 0

-0.1110 0 0

Db

= 1.0000

Dw

= 1.0e-15 *

0 0

-0.4680 0 0

說(shuō)明：由于該例中，每個(gè)分組內(nèi)各個(gè)個(gè)體的收入是相同的，故每個(gè)分組的組內(nèi)差距為０，總的組內(nèi)差距Tw也為０，結(jié)果中的-3.7007e-17是由于Matlab中的雙精度誤差造成的，相當(dāng)于是０.

例3 修改例1中的數(shù)據(jù)，讓各分組的個(gè)體收入不相等，繼續(xù)測(cè)試上述算法。

原第1組：10、10，改為9.5、10.5

原第2組：8、8、8、8，改為7、9、7.5、8.5

原第3組：6、6、6、6、6、6改為5、7、5.5、6.5、6、6

原第4組：4、4、4、4改為3、5、3.5、4.5

原第5組：1.5、2.5

主程序：

x2=[9.5 10.5 7 9 7.5 8.5 5 7 5.5 6.5 6 6 3 5 3.5 4.5 1.5 2.5]; %每個(gè)個(gè)體的收入(萬(wàn)美元)

n=[2 4 6 4 2]; %各分組的個(gè)體數(shù)

[Tb,Tw,T,z,Db,Dw]=TbTw(x2,n)

運(yùn)行結(jié)果：

Tb

= 0.0791

Tw

= 0.0077

T

= 0.0868

z

= 0.0013 0.0049

0.0058 0.0197 0.0316

Db

= 0.9112

Dw

= 0.0027 0.0167

0.0223 0.0336 0.0135

作者：張敬信

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的泰尔指数r语言_【数学建模】泰尔指数及分解的计算方法与Matlab实现的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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