高斯函数与高斯模糊
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高斯函數(shù)以及在圖像處理中的應用總結(jié)
1、一維高斯函數(shù)：
a表示得到曲線的高度，b是指曲線在x軸的中心，c指width(與半峰全寬有關),圖形如下：
2、根據(jù)一維高斯函數(shù)，可以推導得到二維高斯函數(shù)：
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在圖形上，正態(tài)分布是一種鐘形曲線，越接近中心，取值越大，越遠離中心，取值越小。
計算平均值的時候，我們只需要將"中心點"作為原點，其他點按照其在正態(tài)曲線上的位置，分配權(quán)重，就可以得到一個加權(quán)平均值。例如：通常，圖像處理軟件會提供"模糊"（blur）濾鏡，使圖片產(chǎn)生模糊的效果。
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"高斯模糊"（Gaussian Blur）。它將正態(tài)分布（又名"高斯分布"）用于圖像處理。
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數(shù)據(jù)平滑技術(shù)（data smoothing），適用于多個場合，圖像處理恰好提供了一個直觀的應用實例。
高斯模糊的原理
所謂"模糊"，可以理解成每一個像素都取周邊像素的平均值。
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上圖中，2是中間點，周邊點都是1。
"中間點"取"周圍點"的平均值，就會變成1。在數(shù)值上，這是一種"平滑化"。在圖形上，就相當于產(chǎn)生"模糊"效果，"中間點"失去細節(jié)。
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顯然，計算平均值時，取值范圍越大，"模糊效果"越強烈。
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上面分別是原圖、模糊半徑3像素、模糊半徑10像素的效果。模糊半徑越大，圖像就越模糊。從數(shù)值角度看，就是數(shù)值越平滑。
接下來的問題就是，既然每個點都要取周邊像素的平均值，那么應該如何分配權(quán)重呢？
如果使用簡單平均，顯然不是很合理，因為圖像都是連續(xù)的，越靠近的點關系越密切，越遠離的點關系越疏遠。因此，加權(quán)平均更合理，距離越近的點權(quán)重越大，距離越遠的點權(quán)重越小。
正態(tài)分布的權(quán)重
正態(tài)分布顯然是一種可取的權(quán)重分配模式。
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在圖形上，正態(tài)分布是一種鐘形曲線，越接近中心，取值越大，越遠離中心，取值越小。
計算平均值的時候，我們只需要將"中心點"作為原點，其他點按照其在正態(tài)曲線上的位置，分配權(quán)重，就可以得到一個加權(quán)平均值。
高斯函數(shù)
上面的正態(tài)分布是一維的，圖像都是二維的，所以我們需要二維的正態(tài)分布。
"高斯函數(shù)"（Gaussian function）。它的一維形式是
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其中，μ是x的均值，σ是x的方差。因為計算平均值的時候，中心點就是原點，所以μ等于0。
根據(jù)一維高斯函數(shù)，可以推導得到二維高斯函數(shù)
有了這個函數(shù) ，就可以計算每個點的權(quán)重了。
權(quán)重矩陣
假定中心點的坐標是（0,0），那么距離它最近的8個點的坐標如下：
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更遠的點以此類推。
為了計算權(quán)重矩陣，需要設定σ的值。假定σ=1.5，則模糊半徑為1的權(quán)重矩陣如下：
這9個點的權(quán)重總和等于0.4787147，如果只計算這9個點的加權(quán)平均，還必須讓它們的權(quán)重之和等于1，因此上面9個值還要分別除以0.4787147，得到最終的權(quán)重矩陣。
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計算高斯模糊
有了權(quán)重矩陣，就可以計算高斯模糊的值了。
假設現(xiàn)有9個像素點，灰度值（0-255）如下：
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每個點乘以自己的權(quán)重值：
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得到
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將這9個值加起來，就是中心點的高斯模糊的值。
對所有點重復這個過程，就得到了高斯模糊后的圖像。如果原圖是彩色圖片，可以對RGB三個通道分別做高斯模糊。
二、高斯（核）函數(shù)簡介
1函數(shù)的基本概念
所謂徑向基函數(shù) (Radial Basis Function 簡稱 RBF), 就是某種沿徑向?qū)ΨQ的標量函數(shù)。 通常定義為空間中任一點x到某一中心xc之間歐氏距離的單調(diào)函數(shù) , 可記作 k(||x-xc||), 其作用往往是局部的 , 即當x遠離xc時函數(shù)取值很小。最常用的徑向基函數(shù)是高斯核函數(shù) ,形式為 k(||x-xc||)=exp{- ||x-xc||^2/2*σ^2) } 其中xc為核函數(shù)中心,σ為函數(shù)的寬度參數(shù) , 控制了函數(shù)的徑向作用范圍。
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高斯函數(shù)具有五個重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)使得它在早期圖像處理中特別有用．這些性質(zhì)表明，高斯平滑濾波器無論在空間域還是在頻率域都是十分有效的低通濾波器，且在實際圖像處理中得到了工程人員的有效使用．高斯函數(shù)具有五個十分重要的性質(zhì)，它們是：
（1）二維高斯函數(shù)具有旋轉(zhuǎn)對稱性，即濾波器在各個方向上的平滑程度是相同的．一般來說，一幅圖像的邊緣方向是事先不知道的，因此，在濾波前是無法確定一個方向上比另一方向上需要更多的平滑．旋轉(zhuǎn)對稱性意味著高斯平滑濾波器在后續(xù)邊緣檢測中不會偏向任一方向．
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（2）高斯函數(shù)是單值函數(shù)．這表明，高斯濾波器用像素鄰域的加權(quán)均值來代替該點的像素值，而每一鄰域像素點權(quán)值是隨該點與中心點的距離單調(diào)增減的．這一性 質(zhì)是很重要的，因為邊緣是一種圖像局部特征，如果平滑運算對離算子中心很遠的像素點仍然有很大作用，則平滑運算會使圖像失真．
（3）高斯函數(shù)的付立葉變換頻譜是單瓣的．正如下面所示，這一性質(zhì)是高斯函數(shù)付立葉變換等于高斯函數(shù)本身這一事實的直接推論．圖像常被不希望的高頻信號所 污染(噪聲和細紋理)．而所希望的圖像特征（如邊緣），既含有低頻分量，又含有高頻分量．高斯函數(shù)付立葉變換的單瓣意味著平滑圖像不會被不需要的高頻信號 所污染，同時保留了大部分所需信號．
（4）高斯濾波器寬度(決定著平滑程度)是由參數(shù)σ表征的，而且σ和平滑程度的關系是非常簡單的．σ越大，高斯濾波器的頻帶就越寬，平滑程度就越好．通過 調(diào)節(jié)平滑程度參數(shù)σ，可在圖像特征過分模糊(過平滑)與平滑圖像中由于噪聲和細紋理所引起的過多的不希望突變量(欠平滑)之間取得折衷．
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（5）由于高斯函數(shù)的可分離性，大高斯濾波器可以得以有效地實現(xiàn)．二維高斯函數(shù)卷積可以分兩步來進行，首先將圖像與一維高斯函數(shù)進行卷積，然后將卷積結(jié)果與方向垂直的相同一維高斯函數(shù)卷積．因此，二維高斯濾波的計算量隨濾波模板寬度成線性增長而不是成平方增長．
參考：
http://www.ruanyifeng.com/blog/2012/11/gaussian_blur.html
http://www.cnblogs.com/pzxbc/archive/2012/02/14/2351708.html
http://baike.baidu.com/view/1097446.htm?fr=aladdin
總結(jié)
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