材料研究方法
編程是非常有意思的，可是作為材料人，學好材料才是比較重要的事情，下面記錄一些知識點。
光學透鏡的成像原理
光的折射
光在均勻介質中沿直線傳播。 在不同介質中光的傳播速度不同。 當光從一種介質傳播到另一種介質中去時，在兩介質的界面上光的傳播方向會發生突然的變化，這種現象就是光的折射。
其中v（在均勻介質中的傳播速度）越大，θ（入射角，一定是和法線之間的夾角）越大，n（折射率，速度=光速/折射率，所以折射率月小，v越大）越小， 他們之間有一個公式需要牢記。
光的折射是光學透鏡成像的基礎。
凸透鏡成像時有 1/L1 + 1/L2 = 1/f 。 其中L1（通常也用u來標識）和L2（通常也用v來標識）分別是物距和像距，f為焦距。
根據上面這個公式可以看出凸透鏡成像時， 物距和像距之間是有一定關系的， 比如當人看物體的時候， 物距可能會不斷的發生變化，但是像距不怎么改變，人眼又是凸透鏡，所以需要自動調節焦距，一旦人眼調節焦距的的能力減弱時，看東西就會發生模糊的狀態，因為這時像距已經不能很好的控制了， 不能準確在視網膜上成像了。
下面我們看看一些實例：
值得注意的是： 一般來說，正立的像都是虛像，倒立的像都是實像。
不難理解，人眼在看東西時， 物距一般都是大于兩倍焦距的， 所以成的像也都是倒立的縮小的實像。
而物距小于焦距時，也就是老年人拿著放大鏡看報紙時，所成的像就是正立的放大的虛像。
而物鏡在一倍焦距到兩倍焦距之間時，形成的像是倒立放大的實像，如教室中幻燈片的放映就是這樣。
從以上的討論中，我們可以得出下面兩點結論或啟示：
實像和虛像的區別是什么？ --- 實像是可以被某些屏幕接受的，如人眼成的是倒立縮小的實像，這個實像被視網膜所接受到； 又如幻燈片成的是倒立放大的實像，可以被白板接收到； 但是放大鏡放大的像我們只能看到，而不能接收到，所以說它是虛的。
這里著重需要討論的就是物距和焦距的關系。 因為在焦距一定的情況下， 物距和像距的關系是恒定的，所以我們只需要討論物距或者像距其中之一與焦距的關系即可，這里我們討論物距與焦距的關系。且在討論時，是以1和2兩個數字作為劃分的，如物距小于一倍焦距、物距在一倍焦距到兩倍焦距之間、物距大于兩倍焦距。
光的衍射
基本概念如下：
衍射（英語：diffraction），又稱繞射，是指波遇到障礙物時偏離原來直線傳播的物理現象，波在其傳播路徑上遇到障礙物時，都有可能發生這種現象。
舉例： 由于衍射效應的存在，物點通過透鏡成像時像點并不是一個理想的點（幾何點），而是一個有一定尺寸的光斑， 光斑中間的亮度最大，四周被亮度逐漸減弱的的明暗相間的衍射環所包圍，這個光斑就是艾里斑。 通常艾里斑是以第一暗環處的半徑來衡量其尺寸的。
衍射和干涉的區別是什么呢？ 教科書上是這么說的：
光具有波動性，光波之間相互干涉即產生所謂的衍射現象。
即光的衍射現象依賴于光的干涉，這是非常重要的。而維基百科上是這么說的：
即需要注意相加和積分。
瑞利判據：
假設成像時出現了兩個艾里斑，之前說到過他們的大小使用第一暗環的半徑來衡量，設兩者之間的距離為R，那么：
當R<R0時（R0是艾里斑的半徑大小） --- 無法分辨。
當R=R0時 --- 兩個艾里斑部分重疊，若仔細觀察分析強度分布曲線，可以發現兩個強度峰和低谷之間的相對強度差為19%， 這個強度差剛好可以被人們所察覺。
當R>R0時 --- 可以很容易地做出區分。
瑞利判據 --- 當兩個艾里斑之間的間距等于第一暗環半徑R0時，兩斑之間存在的亮度差是人眼剛能分辨的極限值，因此R>=R0是能夠分辨兩個艾里斑的標準； 若兩個艾里斑之間的間距R<R0，那么合成強度曲線間的強度差小于19%或只有一個強度峰出現，此時，兩個成像點不可分辨。
光學中的像差
衍射效應使得一個物點的像在平面上擴大成為一個半徑為R0的光斑，除此之外，由于透鏡成像時受到物理條件的限制也會使成像物點擴展為圓斑，這就是像差。
即這里的像差不是一種特定的原因造成的現象。 像差是一個大的概念，是成像時出現差錯、差別的現象，其中包含了很多具體的現象，如球差、像場彎曲、色差等等。
按照像差產生的原因可以將之分為兩類：
第一類是單色光成像時的像差，稱為單色像差，如球差、像場彎曲和像散等。
第二類是多色光成像時由于介質折射率隨光的波長不同而引起的像差，叫做色差。
這里主要介紹球差、像場彎曲、色差。
球差
產生球差的原因如上圖所示， 其中Z軸為透鏡主軸，黑色線為透鏡，紅色線為像平面，黃線為單色光線。
球差產生的原因如圖所示，位于透鏡主軸z的一個物點p發出的單色光， 由于入射的孔徑半角α不同，所以進入透鏡之后，因折射傾向不同所以各光線并不會匯聚在同一個點上，而沿著Z軸形成前后不同的一系列焦點群。
其中孔徑半角大的入射光線離開主軸z距離較遠，稱為遠軸光線，他們的折射傾向很大； 孔徑半角小的入射光線則離主軸較近， 稱為近軸光線，他們的折射傾向很小，因此，如果把圖中的像平面沿著z軸左右移動，就可以得到一個最小的散焦圓斑， 這個最小散焦圓斑的半徑用Rs來表示。 如果把最小散焦圓斑折算到物平面上去，則可以得到： rs = Rs/M
其中rs的物理意義和衍射規定的分辨率r0相似，我們用rs的大小來衡量球差的大小。顯然rs變小，那么透鏡的分辨率就有可能提高。
應用：光學玻璃制成的凸透鏡引起的球差可以使用相同材料的凹透鏡，組成透鏡組加以部分校正。
像場彎曲
在透鏡物平面上，物體AB上沒一點發出的單色光束通過透鏡折射后，每一個物點均得到一個像點，由于近軸光線和遠軸光線的折射程度不同，因此，整個像平面不可能是一個平面。這就是像場彎曲。
色差
色差有兩種類型，即軸向色差和垂軸色差。
如上圖所示的軸向色差，即由物點P發出的多色光束經過透鏡之后，波長最短的紫光折射傾向最大，紅光的折射傾向最小，因此各種顏色的光便匯聚在了主軸Z的不同位置上， 因此物點P在像平面上得到的不是一個像點，而是各色像群的匯聚。 如果把像平面順著主軸左右移動，那么可以得到一個尺寸最小的散焦斑， 其半徑用Rc來表示， 若把其半徑Rc折算到物平面上，那么 rc = Rc/M。
垂軸色差的原理類似。
在實際使用的過程中，顯微鏡的透鏡（物鏡或目鏡）都是由一組透鏡組成的， 位于最前沿的凸透鏡擔負這放大的作用，而后繼的透鏡組是為了消除各種像差而安置的，這些透鏡就是所謂的校正透鏡。
透鏡的分辨率
顯微鏡的分辨率是由物鏡的分辨率來決定的，因為只有被物鏡分辨出的結構細節才能被目鏡進一步放大，因此，一個模糊的組織雖然經過目鏡放大其圖像仍然不能分辨。
如前所述， 由于光學透鏡成像時存在著像差和衍射效應，使得成像的物點不能成為理想的像點（幾何點），而擴展成了各種散焦斑（散焦斑，顧名思義，所成像的焦點位置時分散的）。
如果散焦斑的尺寸接近于理想像點的大小，那么透鏡的分辨率可以接近無限大。
但是事實上，光學透鏡的缺陷只能部分得到校正而不能完全消除，所以透鏡的分辨率會受限于各種缺陷形成的散焦斑的大小。
一旦透鏡成像，那么各種最小散焦斑都是客觀地重疊在像平面上，因此透鏡的分辨率將受到這些散焦斑中尺寸最大斑點的影響。
例如： R0 Rs Rc 分別代表著衍射、球差和色差在像平面上形成的最小散焦斑的半徑，其中如果R0的數值最大，那么透鏡的分辨率應該是 r0 = R0/M。 我們可以通過增加孔徑半角α和介質折射率或改用較短波長的光源來較少R0的數值，使得分辨率提高。 當R0的數值降低到比球差（或色差）的散焦斑半徑Rs小時，繼續采用這種辦法就不能使得分辨率提高了，因為此時透鏡的分辨率是由rs = Rs/M 來決定的，
只有采用繼續減小Rs的方法才能使得透鏡的分辨率進一步提高。
X射線的物理特性
X射線的產生極其性質
通常使用上圖所示的X射線管來產生X射線。
陰極（又稱燈絲）多用鎢絲制成，通電加熱后，就可以發射大量電子，陽極就是靶，一般都是由純金屬（Cu Cr V Fe）制成，正對著陰極，陽極表面經過了拋光，稱為鏡面。當在陰陽極之間加上直流高壓時， 電子就從陰極以高速碰撞到陽極表面，其運動受阻后，電子的大部分動能轉為熱能，使得靶（陽極）溫度升高， 另外約有1%左右的動能轉化為了X射線能，這樣就可以從陽極鏡面向外發射X射線。 并通過玻（金屬旁）玻璃窗口射到X射線管外。
X射線的本質
X射線和我們平時看到的光差不多，都是電磁波，區別在于X射線的波長短，只有0.01~10nm， 而一般可見光的波長約為400~700nm。顯然波長越短的能力越強。因此，X射線特點： 它是肉眼看不到的，具有很強的穿透能力。根據X射線的波長長短，還可以分為“硬”X射線（波長較短）和“軟”X射線（波長較長）。
波長和能量的關系如下所示：
另外，E 還等于 hv（miu）。 因為C = λv。
X射線的性質
X射線的折射系數接近于1， 所以當它穿過不同的媒質時， 幾乎毫不偏折的直線傳播。
X射線的波長短（0.1~10nm， 而可見光的為400~700nm），所以肉眼看不到。
X射線的穿透能力很強。 可以穿透金屬等，對零件內部缺陷（如氣孔、夾雜、裂紋等）進行無損探傷。
X射線對有機物質（包括人的肉體）都是有害的，可以破壞殺死生物組織細胞作用。 因此與X射線接觸時要有一定的防護措施，如加上鉛制品保護等。
X射線譜
當我們采用適當的方法去測量由X射線管發出的波長及其相對強度的時候，會把它們標注在“強度-波長”坐標上，便可以得到X射線強度隨著波長λ而變化的曲線，即X射線譜。
值得注意的是：從上圖中可以看出，整個譜線呈現兩種曲線分布特征，其中丘包狀的為連續譜，而豎直尖峰為特征普，它們對應著兩種X射線輻射的物理過程。
一、連續譜
丘包狀的連續譜是大量的高速運動的電子與靶材碰撞時而減速，不同的能量損失轉化為不同波長的X射線，并按照統計規律分布。
不同管壓下的連續譜的短波端都有一個突然截止的極限波長值λ0稱為短波限（對應關系）。 而連續譜頂部所對應的波長值，大約位于1.5λ0處。
問題：為什么具有短波限？
用量子論很容易解釋，即如果在外加電壓U作用下，擊靶時電子的最大動能是eU， 電子質量是m， 若電子在一次碰撞中將全部能量轉化為一個光量子，這個具有最高能量的光量子的波長就是λ0。
eU = hvmax = hc/λ0 = 1/2 mv2其中，hv的v是頻率，而1/2mv2中的v是速度。 如果U用kv作為單位，拉姆達用nm表示，將光速c、普朗克常量h、電子電荷e值帶入即可得到：
λ0 = K/U其中，K = 1.24nm * kV
這就解釋了為什么具有短波限
但是作這樣能量交換的擊靶電子僅僅占一小部分，其他大量的電子在于陽極原子做復雜的碰撞中， 輻射出大于λ0的其他各種波長的X射線連續譜。
故：
連續譜短波限只和管壓有關。當固定管壓、增加管流或者增大陽極靶材原子序數時，λ0不變。僅僅使得各波長X射線強度增高。
當加大管壓時， 連續譜各波長強度都響應提高，最高強度所對應的波長和短波限λ0值都向短波方向移動。
另外， 連續譜強度分布曲線下所包圍的面積與（在一定實驗條件下）單位時間所發射的連續X射線總強度成正比。 根據實驗規律，我們可以得知這個總強度 I連 值為：
I連 = α i Z U2
式子中，α 值約為(1.1~1.4)*10（-9）
i為管電流
Z為原子序數；
U為管電壓
根據上式，可以推算出X射線管發射連續X射線的效率如下：
連續X射線總強度/X射線管功率=αiZU2/iU = αZU
所以為了效率更高，就需要選用重金屬靶X射線管并且使用60~80kV的高壓工作。 就是這個道理。
二、 特征（標識）X射線譜
舉例： 當鉬陽極X射線管壓超過20kv時，在某些特定波長位置上，出現強度很高、非常狹窄的譜線疊加在連續譜強度分布曲線上。改變管流、管壓，這些譜線都只改變強度，而波長固定不變。 這就是特征X射線輻射過程所產生的特征X射線譜，或稱為標識X射線譜。
特征X射線譜的產生和陽極物質的原子結構有關。 物質的原子結構是最中間有一個原子核，往外走，依次是K、M、L。。。 并且越靠近原子核的電子層能量越低（能量高的、有本事的都跑了，所以在最外層）。
原理：高速運動的電子（從陰極發射而來），由于其能量很高，直接達到了原子內部，因而有可能直接把最靠近原子核的K層的一個電子給打了出去，這時原子處于K激發態。但是內層更穩定啊，所以這時L層或M層的電子就會來補位。
如果電子是由L層的來補充，那么電子從L層躍遷到K層時，原子處于L激發態，其能量降低到 Wl = hvL.那么現在這個原子的能量總體是降低的，降低的能量就會以X射線的形式發射出來。
上述原理解釋完畢 。。
但是： 能量為什么會降低，又降低了多少呢？
首先，如果陰極發射來的電子要將K層電子打出去，那么相當于原子需要吸收一定的能量來使得K層電子逃逸，這個能量為Wk= hvk。
其次，要從L層到K層，那么原子處于L激發態，hvl。？？？
所以 能量差為Wk - Wl = hvk - hvl 。 這個能量發出的X射線就是Kα射線， 如果不是L層，而是M層來補，那就會hvk - hvm，最終發射出來的射線就是K(beita)射線。 這兩者是最常用的。
所以說， 這樣就可以定性的討論出特征X射線的波長是固定的，而且每一個元素都有自己的特征X射線。
所以：原子內層電子造成空位是產生特征輻射的前提。 而想要擊出靶材原子內層電子，比如K層，由陰極射來的電子的動能必須大于K層電子與原子核的結合能Ek，或K層電子的逸出功Wk，即 eUk = -Ek = Wk 其中，我們把Uk叫做陰極電子擊出靶材原子所需的臨界激發電壓。 這就說明了為什么某種靶材的X射線管必須當管壓達到一定的值之后，才能產生特征X射線的原因。
莫塞來在1914年發現了這樣的一條規律： 不同靶材的同名特征譜線，其波長隨著靶材的原子序數Z的增加而變短，并給出了如下公式。 書67頁。
因此可以得出， 如果希望得到波長短的特征射線，就要用原子序數比較大的物質做陽極。
且同一物質的特征X射線的波長與管電壓無關，但是其強度和管電壓有關：
I標 = K3i(U - Uk)n
為了提高特征射線的強度可以采用較高的管電壓，但同時也提高連續X射線的強度使其背底提高。 適宜的管電壓選用激發態的3~5倍，這時特征射線和連續射線的強度比最大，峰背比最高，對于利用特征曲線最為有利。
X射線與物質的相互作用
當X射線穿過物質時，并不是所有的都能穿過去，如一部分被衰減，一部分穿透，衰減的大部分為真吸收，余下的改變方向被散射了。 下面分為X射線的散射和X射線的吸收來作講解。
X射線的散射 --- 相干散射
什么是相干散射？
X射線光子和受原子核束縛很緊的電子（如原子內層電子）相碰撞之后彈射，光子的方向改變了，但是能量幾乎沒有損失，于是產生了波長不變的散射線。 這就是相干散射
之所以說是相干散射，是因為在入射X射線的作用下都產生這種散射，于是在空間中形成了可以滿足波的相互干涉條件的多元波，故稱這種散射為相干散射。
那么什么是相互干涉的條件呢？ 如下所示：
說的很明確，頻率相同。 而X射線散射光子正好滿足這個條件。
X射線的散射 --- 非相干散射
即當X射線光子與原子中受束縛力弱的電子發生了碰撞后，電子被撞離原子并且帶走光子的一部分能量成了反沖電子。 因能量損失而波長變長的光子也被撞偏了一個2θ角度稱為散射光子。 散射光子和反沖電子的能量之和等于入射光子的能量。 根據能量和動量守恒定律，可以求得散射束的波長增大值：
Δλ = λ’ - λ0 = 0.00243（1 - cos2θ）
由于這種散射效應是由康普頓和我國物理學家吳有訓首先發現的，所以稱為康-吳效應， 稱這種散射為康普頓散射或者是量子散射。
散布于各個方向的量子散射波不僅波長不同，而且相位和入射波的相位也不存在確定性的關系，所以不能互相干涉，所以稱為非相干散射。 注意： 入射束波長越短、 被照物質元素越輕，康普頓效應越顯著。
X射線的真吸收 --- 光電效應與熒光（二次特征）輻射
當入射X射線光量子的能量足夠大時，同樣可以將原子內層電子擊出。光子擊出電子產生了光電效應。 被擊出的電子稱為光電子。
（被打掉了內層電子的受激）原子將隨之發生如前所述外層電子向內層躍遷的過程，稱由X射線激發產生的特征輻射為二次特征輻射。 二次特征輻射屬于光致發光的熒光現象，所以又稱為熒光輻射。
注意： 這里和前面的特征X射線譜不同，這里是因為X射線本身又激發出了X射線，而之前說的是由陰極發射的電子激發的X射線。
X射線的真吸收 --- 俄歇效應
如果原子K層電子被擊出，L層電子向K層躍遷， 其能量差（Ek - El）可能不是以一個K系X射線光量子的形式釋放，而是被包括空位層在內的臨近電子（或較外層電子）所吸收， 使這個電子受激發而逃出原子，這就是俄歇效應。
實驗表明： 輕元素俄歇效應發射幾率比熒光X射線發射幾率要大，所以輕元素的俄歇效應要比重元素強烈。
我們把由于光電效應、俄歇效應和熱效應而消耗的那部分入射X射線能量稱為物質對X射線的真吸收。
X射線的衰減規律
一、 衰減規律和線吸收系數
實驗表明： 當一束單色X射線透過一層均勻介質時， 其強度將隨著穿透深度的增加按指數規律減弱，即：
I = I0 e (-ult)
其中I0是入射束的強度， I是透射束的強度，t是物質的厚度，ul是線吸收系數。 I/I0是透射系數。
二、質量吸收系數
為了避開線吸收系數隨著吸收體物理狀態的不同而改變的困難， 可以使用ul/p來代替ul，p為吸收物質密度，這樣，就成了：
I = I0e(-umpt)
um = ul/p 稱為質量吸收系數，表示單位質量物質對X射線的吸收程度。 對波長一定的X射線和一定的物質來說，Um為一個定值，不隨吸收體物理狀態的改變而改變。
X射線的衍射原理(重要)
倒易點陣簡介
我們知道： 空間點陣共有7大晶系，14種類型。 可以使用[uvw]來表示空間點陣中的某一晶向，用（hkl）表示空間點陣中的某一晶面族的晶面。這樣的點陣稱為正點陣。（補： 如果直接表示一個面是非常麻煩的，所以我們使用垂直于該面的法線的方向來標識這個面，用（）來包含，因為面一般是圓的，而線是直的，所以使用[]來標識線）。
如果從正點陣的原點出發， 向（hkl）晶面做垂線， 即（hkl）的法線，記這個發現的向量為ON。 在ON上取一點Phkl， 使得OPhkl的長度和（hkl）的面間距成反比，那么Phkl就是倒易點， 所有正點陣晶面的倒易點組成了倒易點陣。
從原點到Phkl點的矢量ghkl即為倒易矢量，其大小是：ghkl = k/ dhkl (其中，K是比例常數，可令其等于1或X射線的波長) d是面間距
下面介紹的是倒易矢量的基本性質：
背景：設有一正空間點陣，其基本平移矢量為a、b、c，這些矢量都是單胞的棱，并分別具有長度a、b、c。 由基本平移矢量向三個方向平移重復就可以得到整個空間點陣。
現在針對這一點陣以特定的方法來定義其倒易點陣： 令倒易點陣晶胞的基矢（基本平移矢量）為a*、b*、c*， 并令倒易軸 c* ⊥ a和b, a*⊥ b和c , b*⊥ a和c 。
那么正倒點陣基本平移矢量之間的關系是：
a* = b X c / V ;
b* = c X a / V ;
c* = a X b / V ;
其中V是單胞的體積。 即有：V = a(bXc) = b(aXc) = c(aXb)
不難得出： a* 點乘 b = a* 點乘 c = b* 點乘 a = b* 點乘 c = c* 點乘 a = c* 點乘 b = 0
而相同文字的倒易矢量與正矢量的數量積為1， 即： c* 點乘c = a* 點乘a = b* 點乘 b = 1
可以看出： 如果正點陣的晶軸相互垂直，那么倒易點陣也將垂直且平行晶軸，如立方和正方晶系，其他的晶系沒有這個關系。
通過上面的介紹可以知道： 倒易矢量 g hkl 的方向可以表征正點陣(hkl) 晶面的發現方向，而g hkl的長度為(hkl)晶面間距的倒數。
倒易點陣的好處在于使得晶體學中的問題的解決都變的簡易，例如單胞體積、晶面間距、晶面夾角的計算以及晶帶定理的推導等。 這里做一個簡介 。
晶帶和晶帶軸
在晶體中，如果若干個晶面同時平行于某一軸向時， 則這些面屬于同一晶帶， 而這個軸向就稱為晶帶軸。
若晶帶軸的方向為[uvw]， 晶帶中某晶面的指數為(hkl)，則(hkl)的倒易矢量g必定垂直于[uvw]。 將晶帶軸表達為晶體點陣中的一個矢量，而將g表達為倒易點陣中的一個矢量，則有：
晶帶軸矢量 = ua + vb +wc
g hkl = ha* + kb* + lc*
....
....
可知：
hu + kv + lw = 0
這就是晶帶定理。 它可以作為晶面和晶向是否平行的判據。 同樣也可以用來判別某個晶面是否屬于某一晶帶。
注： 當某晶帶中兩個晶面的指數已知時， 則對應倒易矢量的矢積必然平行于晶帶軸矢量。（注意右手法則的使用） 我們可以通過聯立方程來求解晶帶軸的指數，但是為了方便，一般采用交叉法求解。
說了這么多，其實就是在說 我們可以通過交叉法求解同屬于一個晶帶的兩個晶面的晶帶軸。
如： 兩個晶面的指數分別為： （h1k1l1）和（h2k2l2），那么可以得到相應的晶帶軸為：
方法： 即上面重復寫 一個向量， 下面也重復寫一個向量，然后最左邊和最右邊的共4個值直接不要， 中間的四個四個的分別做 行列式的運算，依次得到了uvw的值。 例如： u = k1l2 - k2l1
布拉格定律（布拉格方程是衍射中最重要也是最基本的方程）
X射線在和晶體中束縛較緊的電子相遇時，電子會發生受迫振動并發射與X射線波長相同的相干散射波， 這些波相互干涉，使得在某些方向獲得加強，另外一些方向則被削弱。 電子散射波干涉的總結果被稱為衍射。
布拉格方程的導出(布拉格方程一定是和X射線一起討論的)
一束平行的單色的X射線，以theda角照射在原子面AA上，如果入射線在LL1同相位(即相位差為0)，那么面上的原子M1和M的散射線中， 處于反射先位置的MN和N1M1在到達NN1時為同光程。 這說明同一晶面上的原子的散射線，在原子面的反射線方向上可以是互相加強的。 X射線不僅可以照射到晶體表面，還可以照射到晶體內一系列平行的原子面。如果相鄰兩個晶面的反射線的相位差為2PI的整數倍，那么所有平行晶面的反射線可一致加強， 從而在該方向上獲得衍射。
2dsinθ = n λ
這就是著名的布拉格方程。其中的θ是掠射角或布拉格角。 入射線和衍射線之間的夾角為2θ， 稱為衍射角。 n為反射的級， d為物體的厚度。
布拉格方程的簡單理解：
其實布拉格方程的推導是非常簡單的，即 入射-反射線 和 入射-進入-反射-出線 的波程差為 2dsinthita ， 而如果希望兩者得到加強，那么就要是波長的整數倍，于是可得布拉格方程。
布拉格方程就是解釋衍射問題的，而衍射是干涉的總結過， 而如果發生干涉就要滿足布拉格條件，所以布拉格方程也就是衍射的必要條件。
當振動方向相同、波長相同的兩列波疊加時， 將造成某些固定區域的加強或減弱，稱為波的干涉。 當一系列的平行波疊加時， 也可以發生干涉， 其加強或減弱的必要條件是這些波的波程差（或相位差）為波長的整數倍（相當于相位差為2PI的整數倍。）
波程差： 波程差是兩列波從波源傳播到某一質點的路程之差。
在波的干涉中，當兩波源的相位差為0時，若某質點的波程差為整數倍的波長，那么該質點為振動被加強的點 若某質點波程差為n + 1/2波長, （不是整數）， 那么該質點是振動被減弱的點。
在波的干涉中，當兩波源的相位差為PI時，若某質點的波程差為n + 1/2倍的波長，那么該質點為振動被加強的點 若某質點波程差為整數倍波長, （不是整數）， 那么該質點是振動被減弱的點。
光程： 光程是一個折合量， 可以理解為在相同的時間內光線在真空中傳播的距離。
在傳播時間相同或者相位改變相同的條件下， 把光在介質中傳播的路程折合為光在真空中傳播的相應路程。
在數值上， 光程等于介質折射率乘以光在介質中傳播的路程。
布拉格方程的討論
值得注意的是，之前我們再推導布拉格方程時，是以反射為基礎的，但是X射線的反射和普通的鏡面反射是不同的，對于鏡子而言，在任何的角度下都可以發生反射，但是對于X射線而言，只有再滿足布拉格條件的相應的θ角的 情況下才能發生反射。 因此，我們稱這種有選擇的反射為選擇反射。 在布拉格方程中，n為反射的級。
在布拉格方程中，共聯系了四個量，晶面間距d、掠射角theta、 反射級數n和X射線的波長λ。 當知道了其中的三個量就可以求出另外一個量。 但是在不同的場合下， 某個量可能表現為常量或者變量，比如在勞埃法中， 波長λ是變量， 間距為d的晶面與入射線所在的角度theta是常量。 在粉末法中， λ是常量，而某種晶面的theta角確實變量。
1. 反射級數
公式中的n就是反射級數。
由相鄰的兩個平行晶面反射出的X射線束， 其波程差用波長去度量所得的整份數在數值上就等于n。
假若X射線照射到晶體的（100），而且剛好可以發生二級反射， 則相應的布拉格方程為 2d100sin（theta） = 2λ。 設想在每兩個（100）中間均插入一個原子分布和它完全相同的面。 此時面族中最近原點的晶面在X軸上截距已經變成了1/2， 故面族的指數可以寫成（200）， 又因為間距變成了原來的一半， 所以相鄰晶面反射線的程差就只有一個波長。于是這種情況相當于（200）發生了一級反射，其布拉格方程可以寫為2d200sin（theta） = λ。 而d200的厚度是d100厚度的兩倍，所以又可以寫成： 2 (d100/2)sin(theta) = λ， 即和上面的黃色式子相比，相當于將2移到了左邊。 也就是說:可以將（100）的二級反射看成是（200）的一級反射。
更一般的說法是：
把（hkl）的n級反射看做n(hkl)的一級反射。
即寫成 2dsin(theta) = λ，即始終可以認為反射級數永遠等于1， 因為反射級數n實際上已經包含在了d之中， 也就是說， （hkl）是n級反射， 可以看成是來自某種虛擬的晶面的一級反射。
2. 干涉面指數
點到平面的距離公式如下（后面需要用到）：
晶面(hkl)的n級反射面n(hkl)，用符號（HKL）表示，顯然， H=nh, K=nk,L=nl。 （HKL）稱為反射面或干涉面。而（hkl）是實際存在的面， （HKL）只是為了簡化問題而引入的虛擬晶面。 HKL這三個干涉面的數值稱為干涉指數。顯然干涉指數是有最大公約數n的。 如果n=1， 那么干涉指數就成了晶面指數。
對于立方晶系， 晶面間距d（hkl）和晶面指數的關系是 ： d(hkl) = a / (根號下 (h方 + k方 + l方))。 干涉面間距d（HKL）與干涉指數的關系類似， 即d(HKL)=a/(根號下（H方+K方+L方）)。 在實際使用時，我們一般用的都是后者， 即干涉面間距。
3. 掠射角
掠射角（theta）是入射線或反射線與晶面的夾角，一般可以用來表征衍射的方向。
通過公式 sin(theta) = λ/(2d)， 可以看出， 如果λ一定，那么d相同的晶面必然在theta也相同的情況下才能同時獲得反射。 另外， 如果λ一定，那么d減小，theta就一定要增大，說明：間距小的晶面，其掠射角必須是大的，否則他們的反射線就無法加強。 在粉末法中，這個概念非常的重要。
４． 衍射極限條件
當ｄ一定時， λ減小， ｎ可增大。 說明對于同一種晶面，如果采用短波Ｘ射線照射時， 可以獲得較多級數的反射， 因為λ小，那么等式的左邊也要小， 等式左邊小好辦，讓d處于不同的級數，可以越來越小，但是sin(theta)也要滿足條件。（如此： 我們就可以從多個角度去照射，都能得到衍射， 只是不同的角度，ｄ是不同的，但是如果使用長波Ｘ射線照射時， 所能發生衍射的掠射角要少的多，因為必須要讓d足夠大，才能滿足條件， 所以這時的d就不能太小了）
另外，在晶體中，干涉面的化取是無限的， 但是并不是所有的干涉面都可以參與衍射，因為 dsin(theta)=λ/2， 或者d >= λ/2， 此表達式說明： 只有間距大于或等于X射線半波長的那些干涉面才能參與反射。
很明顯， 當采用短波X射線照射時， 能參與反射的干涉面將會增多。
（補充:） --- 衍射角： 2（theta） ， 什么是衍射角？ 衍射角是入射方向和衍射方向的夾角， 實際上也就是入射和反射反向的夾角， 這里的夾角不是中間的，而是互補的角，作圖很容易得到，衍射角為2（theta）
厄瓦爾德圖解及其應用
根據布拉格方程，我們可以做一個簡單的變形（書81頁），就可以得到一個可以用來做圓的式子。 其中，以1/λ為半徑做圓，然后以直徑為斜邊的內接三角形都是直角三角形。 接著， 令X射線沿著直徑AO'的方向入射，取OB為1/d， AO和AB的夾角為（theta）， 于是可以得知，這樣的三角形式滿足布拉格方程的。 2theta是衍射角。任何一個從O觸發的矢量只要他的端點觸及圓周，就可以發生衍射。 而在三位空間中，矢量的端點可以觸及球面，那可以得知，所有的X射線沿著球的直徑入射， 那么球面上的所有的點都滿足布拉格條件， 從球心作某點的連線就是衍射方向。正因為此，球面上的所有的點都滿足布拉格條件，所以這個球就被稱為反射球， 又稱厄瓦爾德球。
重要概念： 可知1/d(hkl) 所在的矢量就是g矢量，即為倒易矢量， 而倒易矢量的終點B就是倒易點，倒易點的空間分布就是倒易點陣， 各個倒易點的起始點就是倒易點陣原點（顯然只有這一個， 原點只有一個， 而倒易點分布在整個圓上，或者整個球上）。
勞埃法
這是最早的X射線分析方法，它用垂直于入射線的平底片記錄衍射線而得到勞埃斑點（？）。 書上的9-8圖用于單晶體取向的測定和晶體對稱性的研究（這個在14章中講述，只是說明了勞埃法的應用場景，而不需要掌握，即圖9-8不需要掌握）。
勞埃法的原理： 采用連續X射線照射不動的單晶體。 注意： 不動是關鍵詞
這里的連續是說，X射線在照射時，其波長范圍并不是一個特定的值，而是在一定范圍內變化的， 即連續譜的波長有一個范圍，從λ0 （短波限）到λm。
圖9-9中是零層倒易點陣以及兩個極限波長反射球的截面。
（個人理解： 講道理這里的倒易點陣應該是無限密的，這里為什么這么寬松呢？ ）
顯然，倒易點陣可以理解為沒有間距的點陣，即每一個倒易點都是和周邊的倒易點緊密相連的，但是書上畫的倒易點陣確實離散的，究其原因，顯然，我們不可能在書上畫成密密麻麻的點陣，而是選取一些特殊的點作為倒易點陣來研究（如書中選取的整數點陣）， 這樣的研究才是簡單的。 并且沒有失去本質。
大球以B為中心， 其半徑等于λ0的倒數（λ0就是短波限）， 而小球以A為中心， 其半徑為λm的倒數，在這兩個球之間，還有無數個以A到B之間的為圓心的球，不一一畫出，半徑顯然就是從1/λ0到1/λm，不難理解，凡是落在這兩個球面之間的區域的倒易節點， 均滿足布拉格條件， 他們將與對應某一波長的反射球面相交而獲得衍射。 如其中的120倒易節點， 其所在的球的球心C到該點的方向就是衍射方向(該方向和入射方向的夾角)。 其它的類似。
總結： 實際上勞埃法并沒有干什么事情，它的建立是在厄瓦爾德球的基礎之上的， 解決的問題是連續X射線照射不動的單晶體時如何獲得衍射角的問題。 除此之外，無他。
周轉晶體法（不是很理解）
周轉晶體法的原理是： 使用單色X射線照射轉動的單晶體， 并使用一張以旋轉軸為軸的圓筒形底片來記錄。 書84頁 圖9-10
注意： 這里的關鍵詞是單色X射線，這意味著它和勞埃法不同， 因為勞埃法是連續X射線； 轉動是關鍵詞，如果也不轉動，它研究什么呢？
晶體繞晶軸旋轉相當于其倒易點陣圍繞過O點并與反射球相切的一根軸轉動，于是，某些節點將瞬時的通過反射球面。 處在與旋轉軸垂直的同一個平面上的界限，與反射球面也將相較于同一水平面的圓周上。 因此，所有衍射光束矢量S/λ必定與反射球面相交于同一水平面的圓周上，也就是衍射光束必定位于同一個圓錐面上，這樣，層線的形成也就成了十分自然的事情。
為什么會分層？
書上說的比較迷糊，但是理解起來書上圖的形成原因還是不難的： 因為我們知道 dsin(theta) = λ，其中的d是包含了n之后的結果，講道理，初始的d是一個定值，然后根據不同的n，那么d的值是離散的，至少在n值比較小的時候表現出來是這樣，如果n比較大，那么可能就會越來越接近了，書上的例子中λ是固定的（單色X射線）， 所以說d的離散就導致了theta的離散，那么分層就不難理解了。也就是說，并不可能是一個完整的球，只是所有的倒易節點都在這個球上而已。
我們知道分層不難理解，可是，為什么要旋轉起來呢？ 如果不旋轉，應該也可以得到啊 ? 意義何在？
讓晶體旋轉的意義何在？
這個要看書上的82頁的圖，要理解這個平面， 而不是一個球，這一點非常重要，因為并不是說在這一層上，你可以得到密密麻麻的一個圓，因為和平面狀態下的相比一旦有一點偏離，就有可能不滿足布拉格條件，所以我認為書上的82頁中提及厄瓦爾德球的時候說是球上所有的嗲你都滿足布拉格條件的論斷是錯誤的 。
但是只要讓晶體轉起來，那么就有可能保證完全滿足條件而達到書上的狀態， 書上9-12顯然是外面的圓筒形底片伸開之后的效果，不難理解。
粉末法（有時間再看）
采用單色X射線照射多晶試樣。 多晶體就是數量眾多的單晶或微晶的取向混亂的集合體。
X射線的衍射強度
殘余應力的測定
殘余應力是一種內應力。 內應力是指產生應力的各種因素不復存在時， 由于形變、體積變化不均勻而存留在構建內部并自身保持平衡的應力。
應力的分類一般是下面三種：
第一類內應力在較大的材料區域（很多晶粒范圍）內幾乎是均勻的。
第二類內應力在材料的較小范圍內（一個晶粒或晶粒內的區域）近乎均勻。
第三類內應力在非常小的材料區域（幾個原子間距）也是不均勻的。
我國文獻中習慣把第一類內應力稱為“殘余應力”， 把第二類內應力稱為“微觀應力”或“顯微應力”， 把第三類應力稱為“超微觀應力”或“超顯微應力”。
顯然， 第一類應力大于第二類應力大于第三類應力。
重要： 殘余應力是一種彈性應力，它與材料中局部區域存在的 殘余彈性應變相聯系， 所以殘余應力總是材料中發生了不均勻的彈塑性變形的結果。而造成材料不均勻彈塑性變形的原因有：
冷、熱變形時沿截面塑性變形不均勻。
零件加熱、冷卻時，體積內溫度分布不均勻；
加熱、冷卻時， 零件截面內相變過程不均勻。
殘余應力與構件的疲勞強度、耐應力腐蝕能力和尺寸穩定性有關。 有時，殘余應力是有害的，會造成穩定性下降，應力腐蝕等； 而有時，殘余應力是有利的，會提高疲勞壽命等等。 所以對殘余應力的檢測至關重要。
方法一： 使用應力松弛法。 即使用鉆孔、開槽、剝層等方法使應力松弛，然后利用電阻應變片測量變形以計算殘余應力。但是這是一種破壞性的測試。
方法二：無損法。即使用超聲、磁性、中子衍射、X射線衍射等方法。 這種方法快速、準確、可靠、能測量小區域的應力，還可以區分出三種不同類別的應力。 所以本章主要介紹X射線測量應力的方法。
殘余應力的測定原理
X射線不是直接測量應力， 而是先測量材料的“晶格應變”， 再借助材料的彈性特征參量確定應力。
而通過X射線，我們可以測得空間某方位的應變，所以只要確定了殘余應力和空間某方位的應變之間的關系就可以利用后者得到前者了。
且假定是平面應力狀態， 即垂直于紙面的應力為0（非常小，可以忽略的情況下），這種平面應力假定是合理的。
最終我們可以得到 σφ =KM ，
其中K為應力常數， 它決定于被測材料的彈性性質（彈性模量E、posongbi u）以及所選衍射面的衍射角。不能使用機械方法測定的多晶平均彈性常數計算K值， 而需要使用無殘余應力試樣加上已知外應力的方法測算。
而M是。。。。直線的斜率， 由于K值是負值，所以M>0時，應力為負值,為壓應力， 當M<0時， 應力為正，即拉應力。 如果說。。。。關系失去線性，那么就是說材料的狀態偏離推導應力公式的假定條件， 這樣，我們就需要使用其他特殊方法來測定M。
所以，可知，殘余應力的測定原理就是找出應力和應變之間的關系即 ... = KM。 然后只要可以測出KM， 就可以完成任務。
殘余應力的測定方法
同傾法
特點是測量方向平面和掃描平面重合。
側傾法
特點是測量方向平面和掃描平面垂直。
優點： 可以測量復雜形狀工作的表面參與應力、可利用較低角度衍射線進行應力測定、測量精度高。
定峰法
應力常數K的確定
透射電子顯微鏡
透射電子顯微鏡和光學顯微鏡的區別主要在下面幾個方面：
透射電子顯微鏡的照明光源是電子束，光學顯微鏡的照明光源是可見光。
電子束是使用電磁透鏡來聚焦的，而可見光是使用玻璃透鏡來聚焦。
透射電鏡的物鏡和投影鏡（相當于目鏡）之間有一個中間鏡， 中間鏡的引入不僅僅可以調節放大倍數，而且可以進行電子衍射操作。
可見光形成的像可以在毛玻璃或者白色屏幕上顯示出來， 而電子束形成的像只能在熒光屏上顯示出來。
綜上所述：照明光源和透鏡的性質不同是電子顯微分析和光學顯微鏡分析存在差別的根本所在。
電子顯微鏡的電子光學問題
電子射線束的特性
電子波的波長
電子射線是光源， 和可見光一樣，具有波粒二象性， 于是電子波的波長取決于電子運動的速度和質量。 即λ = h /(mv)。 而速度v和加速電壓U之間的關系為 0.5 m v 2 = e U 。 所以最終可以得到
λ = h/ (根號下 2emU)。
也就是說電子束的波長僅僅和加速電壓有關。 （補充：這樣說是不對的，因為m也是一個變量， 當電子束的速度很大時， 就要考慮到相對論效應了。 即 m = m0/ (根號下 1 - (v/c)2)）。
注： 電子束的波長一般比可見光要小5個數量級左右，一般可見光的波長在400~700nm， 而X射線的波長在0.1~10nm， 可以知道電子束的波長在0.00幾納米。
電子波的折射
電子從一個強度的電場到另外一個強度的電場會發生折射這是不難理解的（以一定的角度，如果垂直進入，就不會發生折射了），因為一旦進入，在平行于電場方向的速度分量會因為受力而導致增加，那么結果就是方向發生了改變，這樣，我們就認為發生了折射，但是和可見光不同，可見光從光疏介質到光密介質時， 角度減小，并且速度減小； 但是對于電子束而言，雖然角度減小了，但是速度卻增加了。
成像透鏡及其性質
靜電透鏡
一對電位不等的圓筒就可以構成一個最簡單的經典透鏡，如果一個圓筒的電位比另一個圓筒低，那么電力線方向就由高壓方向指向低壓方向。 如果我們再垂直于電力線方向畫出等位面，那么其形狀就和凸透鏡方向是相似的。 當電子束從低電壓方向向高壓方向照射時， 就會在筒軸線的某一點上聚焦。
磁透鏡
一個電子在磁場中會受到洛倫茲力，判斷的方式如下。
首先知道左手力，右手電。
伸出攤平的左手，讓磁感線垂直穿過手心，然后四指指向正電荷的運動方向，那么和四指垂直的大拇指的方向就是受力的方向。
其中， 通電的短線圈就是一個簡單的磁透鏡， 他能造成一種不均勻分布的磁場， 。。。。。最終， 穿過線圈的電子在洛倫茲力的作用下回向主軸靠近。 這就是聚焦的原理。
書上167頁的是帶有鐵殼的磁透鏡示意圖。 導線外圍的磁力線都在鐵殼中通過，由于在軟磁殼的內側開一道環狀的狹縫，從而可以減小磁場的廣延度， 使得大量磁力線集中在縫隙附近的狹小地區之內，增加了磁場的強度。 為了進一步縮小磁場的軸向寬度，還可以在環狀間隙兩邊接觸一堆頂端成圓錐形的極靴， 帶有極靴的磁透鏡可以使有效磁場集中到沿透鏡軸幾毫米的范圍之內。
我們知道成像的條件是 1/f = 1/L1 + 1/L2 。
對于光學透鏡而言， 焦距f是不同改變的，所以如果希望滿足成像條件，就必須同時改變L1和L2。
但是磁透鏡（由磁來產生和光學透鏡一樣的聚焦效果的透鏡即磁透鏡）可以通過改變電流的大小來改變焦距f， 所以在磁透鏡成像時，可以在保持物距不變的情況下，改變焦距和像距來滿足成像條件。 也可以保持像距不變，改變焦距和物距來滿足條件。注意理解這三個關鍵詞： 焦距、物距、像距之間的關系和區別。
重點內容
電磁透鏡的像差
其像差分為兩類：
幾何像差（單色光引起的像差） --- 主要包括球差和像散。
色差（非單色光，而是因電子波的波長或能量發生一定幅度的改變而造成的） --- 即由波長不同的多色光引起的像差。
之前我們提到過像差這個概念， 它是一個非常寬泛的概念， 即在此之下又包含了其他很多不同的具體的像差。
球差： 和我們之前將光學玻璃透鏡所說的球差是一樣的， 但是這里我們可以通過電子光學實驗倒出球差的計算公式： rs = (1/4) Cs α 3。 其中rs代表球差的大小（s即為sphere球的意思），它是球差引起的散焦半徑（散焦即偏離了焦點，顯然，這個散焦半徑越大，那么球差就是越大的）Rs除以放大倍數M（放大即Maximum的意思，就是m，放大，所以這里都不難理解）的值，即 rs = Rs/M 。 Cs是球差系數。 α是透鏡的孔徑半角。 由于α是三次方的關系，所以不難理解對于電磁透鏡而言， 降低α將會使得球差明顯減小。
像散： 極靴內孔不圓， 上下極靴的軸線錯位，制作極靴的材料材質不均勻以及極靴孔周圍局部污染等原因都會使磁透鏡的磁場產生橢圓度。 透鏡磁場的這種非旋轉型對稱， 會使得它在不同方向上的聚焦能力出現差別，結果使得成像物點P通過透鏡后不能在像平面上聚焦成一點，這就是像差。 而在聚焦最好的情況下， 能得到一個最小的散焦斑，把最小的散焦斑Ra折算到物點P的位置上去，就形成了一個半徑為ra的圓斑，用ra來標識像散的大小，ra可以通過ra = fa * α來計算，其中fa為磁透鏡出現橢圓度時造成的焦距差， 如果磁透鏡在制造過程中已有固有的像散，那么就可以引入一個強度和方位都可以調節的校正磁場來進行補償，這就是消像散器。
色差：即如果入射電子能量出現一定的差別，能量大的電子在距離透鏡光心比較遠的地方聚焦，而能量低的電子在距焦心近的地方聚焦， 就會形成一個焦距差， 把像平面在之間移動時，也會得到一個最小的散焦斑，其半徑為Rc。 同樣的，Rc再除以透鏡的放大倍數，就可以得到rc。 其中 rc可以通過這個式子計算： rc = Cc *α *(δE/E) 。 其中的Cc為色差系數， (δE/E) 為電子束能量變化率。 當Cc和孔徑角α一定時，(δE/E) 的值取決于加速電壓的穩定性和電子穿過樣品時發生彈性散射的程度。 如果樣品很薄，就可以把后者的影響去掉。 所以采取穩定加速電壓的方法可以有效的減小色差。
電磁透鏡的分辨率和放大倍數
除了球差、像散和色差外，與光學透鏡相同， 電子束穿過電磁透鏡成像時也會發生衍射效應。 而衍射效應可以在像平面上形成半徑為R0的散焦斑。 把R0折算到成像物體上，其尺度就是電磁透鏡衍射效應的分辨率r0。
說明： 我們知道，這幾種造成誤差都是會導致在像平面上形成半徑為。。的散焦斑。然后再折算到成像物體上。
同樣的， 電磁透鏡的分辨率大小受到衍射效應、球差、像散和色差等諸多因素， 而分辨率的具體尺度取決于r0 rs ra rc 中具有最大數值的那個量。
所以如果希望提高分辨率，只要把幾個r中的最大的r降低一點就可以提高分辨率了。
透射電鏡的分辨率分為點分辨率和晶格分辨率：
點分辨率： 其大小等于透射電鏡電子顯微鏡剛能分清的兩個獨立顆粒的間隙或中心間距。
晶格分辨率： 利用定向成長的單晶體薄膜作為標準樣品，用平行于晶體薄膜作為標準樣品，用平行于晶體薄膜某一晶面的電子束攝取該晶面的間距條紋。
一般來說， 5000倍以下的低放大倍數是利用光柵復型進行校正的，而高放大倍數是利用晶格條紋來標定的。
電磁透鏡的景深和焦長
景深 --- 是指像平面固定時（像距固定），能維持物像清晰的范圍內，允許物平面（樣品）沿透鏡主軸移動的最大距離。
即如果我們保持像距固定時，移動樣品（物平面），上移和下移，然后就會在像平面上形成一個半徑為R散焦斑， 如果衍射效應是決定透鏡分辨率的控制因素（即在上述諸多因素中r0是最大的），那么在像平面上由衍射引起的散焦半徑R0，所以只要物平面在移動的過程中造成的散焦半徑是小于R0的，那么并不會影響物像的清晰度。 那么就是說在主軸上移動不會影響清晰度，所以這移動的距離就是景深。用Df表示，并且可以得出： Df = 2r0/tanα。 其中α是孔徑半角。一般可以求出Df為200~2000nm，即在這個范圍內移動不會造成清晰度的改變。金屬薄膜試樣的厚度一般只有200~300厚，所以在上述景深范圍內可以保證樣品整個厚度范圍內的各個結構都可以清晰看到。
焦長 --- 透鏡的焦長是指在固定樣品的條件下（物距不變），像平面沿透鏡主軸移動時仍能保證物象清晰的距離范圍。
即如果把像平面向靠近物體的方向移動一段距離，會散焦成一個半徑為R的欠焦斑，如果向后移動一段距離，會形成一個半徑同樣為R的過焦斑， 同樣，如果衍射效應還是決定透鏡分辨率的因素的話，最小散焦半徑還是R0。 那么就可以得到Dl的值為 2*r0*M/tanβ， 其中的Dl就是焦長，一般可以得到Dl為8mm。 考慮到電子顯微鏡是多級放大，所以總得放大倍數很高，那么M=2000倍時， Dl可以達到80cm， 所以在透射電鏡中，雖然熒光屏和照相底片的距離很大，還是可以得到清晰的圖像。 可以看奧，隨著α的減小，Df和Dl都可以變大，所以，在電磁透鏡中加入一個直徑較小的光瀾時，可以使得景深和焦長明顯變大。
透射電子顯微鏡的光路系統
透射電鏡的光路是由三個部分組成的： 照明系統、 成像系統、觀察記錄裝置。
照明系統
照明系統主要是由電子槍和聚光鏡組成。 其中電子槍是用來發射電子的光源，而聚光鏡是用來將電子槍發射出來的電子匯聚成的交叉點進一步匯聚到樣品表面上去。
一般電子槍是自偏壓回路。 負的高壓直接加在柵極上，而陰極和負高壓之間因為加上了一個偏壓電阻，所以使得柵極和陰極之間有一個數百伏的電壓差。。。。。
而聚光鏡是因為電子顯微鏡要求樣品被照明的范圍很小，因此把電子槍提供的光斑直徑進一步會縮聚小，以便于得到一束強度高、直徑小、相干性又好的電子束。高性能電子顯微鏡一般采用的是雙聚光鏡系統。
雙聚光鏡的優點： 在較大的范圍內調節電子束束斑的大小； 可以限制樣品上被照射的面積，使得照射部分以外的區域免受污染； 使得樣品的溫度降低，可以減少熱漂移，防止燒壞，以及電子束的發散度小，以便于得到高質量的衍射花樣。
成像系統
成像系統主要是由物鏡、中間鏡和投影鏡組成的。
物鏡： 作用是第一次放大像。
電子顯微鏡的分辨率是由一次像來決定的，只有被物鏡分辨出來的結構細節，通過中間鏡和投影鏡放大，才能被肉眼看清。
物鏡是一個強勵磁短焦距的透鏡（f = 1 ~ 3mm）， 它的放大倍數較高，一般為100~300倍。
物鏡的分辨率主要決定于極靴的形狀和加工精度。 一般來說，極靴的內孔和上下極靴之間的距離越小，那么物鏡的分辨率就越高。為了減小物鏡的球差，往往在物鏡的后焦面上安放一個物鏡光闌，物鏡光闌可以減小球差、像散和色差，還可以提高圖像的襯度。
注意： 在使用電子顯微鏡進行圖像分析時， 物鏡和樣品之間的距離（物距）不變，所以通常改變物鏡的焦距和像距來滿足成像條件。 這與普通的光學顯微鏡不同，如金相光學顯微鏡是焦距不變，我們通過調節物距和像距來滿足成像條件。
中間鏡： 利用其可變倍率來控制電鏡的總放大倍數。
中間鏡是一個弱透鏡，其焦距很長，放大倍數可以通過調節勵磁電流來改變。 一般情況下， 中間鏡的放大倍數在0~20倍之間，當M>1時，中間鏡起放大作用； 當M<1時，中間鏡起縮小作用。
舉例： 如果物鏡的放大倍數是M0 = 100. 投影鏡的放大倍數是Mp = 100. 則當調節中間鏡的放大倍數為Mi = 20倍時，總的放大倍數是M = 100 * 100 * 20 。
在中間鏡的上方，物鏡的像平面位置上有時可以加入一個中間鏡光闌。這個光闌孔的直徑是分檔可變的， 習慣上稱之為選區光闌。 作用是： 只讓通過光闌孔的一次像所對應的樣品區域提供衍射花樣，以便于對該微區組織進行晶體結構分析。
投影鏡： 作用是把經中間鏡放大（或縮小）的像（或電子衍射花樣）進一步放大，并投影到熒光屏上
它和物鏡一樣，是一個短焦距的強磁透鏡。 投影鏡的勵磁電流是固定的。 因為成像電子束進入投影鏡時孔徑角很小，因此它的景深和焦長都非常大。
觀察和記錄裝置
觀察和記錄裝置包括熒光屏和照相機構。 在熒光屏下面放一個可以自動換片的照相暗盒， 照相時只要把熒光屏垂直束起，電子束即可使得照相底片曝光。
電子顯微鏡在工作時，整個電子通道都必須置于真空系統中。新式的電子顯微鏡中，電子槍、鏡筒、照相室之間都裝有氣閥，各部分都可以單獨抽真空， 因此，在更換燈絲、清洗鏡筒和更換底片時，可以不破壞其他部分的真空狀態。 厲害！
主要部件的結構和工作原理
樣品傾斜裝置
在電鏡下分析薄晶體樣品的組織結構時，應該對他進行三維立體的觀察，為此，必須使得樣品相對于電子照射方向作有目的的傾斜， 以便從不同的角度獲得各種形貌和晶體的特征。
為什么呢？ 這就相當于我們要觀察的全面，而不是盲人摸象，只能看到一個地方，而看不清楚全貌。
現在設備都配備有樣品傾斜裝置，最常用的就是 --- 側插式傾斜裝置 --- 即樣品桿從側面進入物鏡極靴中去的意思。
電子束傾斜和平移裝置
新式的電子顯微鏡具有電磁偏轉器，利用電磁偏轉器可以使入射電子束平移和傾斜。
消像散器
消像散器可以是機械式的，也可以是電磁式的。 機械式的是在磁透鏡的磁場周圍放置幾塊位置可以調節的導磁體，用他們來吸引一部分磁場，把固有的橢圓形磁場校正成接近旋轉對稱的磁場。 電磁式的是通過電磁極間的吸引和排斥來校正橢圓形磁場的。 即通過改變兩組電磁體的勵磁強度和磁場的方向，就可以把固有的橢圓形磁場校正成旋轉對稱磁場，起到了消除像散的作用。
消像散器一般都安裝在透鏡的上下極靴之間。
光闌
透射電子顯微鏡中有三種光闌，它們是聚光鏡光闌、物鏡光闌和選取光闌。
聚光鏡光闌
聚光鏡光闌的作用是限制照明孔徑角。
物鏡光闌
物鏡光闌又稱襯度光闌，通常它安放在物鏡的后焦面上，常用物鏡光闌孔的直徑是 20~120 um范圍。
選區光闌
選區光闌又稱視場光闌，為了分析樣品上的一個微小區域，應該在樣品上放一個光闌，使得電子束只能通過光闌孔限定的微區。 對這個微區進行的衍射叫做選區衍射。
電子衍射
透射電子顯微鏡的最主要特點是它可以進行形貌分析，又可以進行電子衍射分析。電子衍射和X射線衍射是非常相似的，不同如下：
電子波的波長比X射線短的多， 在同樣滿足布拉格條件時，它的衍射角很小。 而X射線產生衍射時，衍射角可以達到接近90度。
在電子衍射時， 采用薄鏡樣品， 2dsin(theta) = λ， 如果d小了，那么hteta的范圍可以廣一些，所以采用薄晶樣品， 于是略微偏離布拉格條件也可以發生衍射。
電子波的波長短，所以采用厄瓦爾德圖解時，反射球的半徑很大，在衍射角theta較小的范圍內反射球的球面可以看成一個平面。
原子對電子的散射能力更強，所以電子衍射束的強度更大。
電子束的布拉格衍射
我們通常考慮的都是一級衍射，即當是n級衍射時，我們看作是與之平行但晶面間距小n倍的一級衍射。電子衍射的入射角很小，這一點不難理解。
在電子衍射操作過程中，常在稍微偏離布拉格條件的情況下也可以得到衍射束的強度，這和X射線有所不同。
在大塊晶體中產生布拉格衍射時，相鄰兩層晶面產生的散射波振幅相位相同，此時在衍射方向上兩個振幅相加， 如果每層晶面產生的振幅為F，那么衍射振幅為2F，如果說晶體具有N層晶面，那么在符合布拉格條件時總振幅的大小為NF， 而大塊的晶體往往有數萬層原子面，因此振幅是非常高的。
當相鄰兩層晶面產生的散射波之間具有一定的相位夾角時，兩層的散射波振幅之和為A（不是2F了，因為有夾角，所以在矢量相加時，肯定不是2F）， 而五層晶面在衍射時的總振幅為A'，不難想象，合成總振幅在0~2R范圍內變化，最大值是軌跡圓半徑的兩倍。
在大晶體中， NF比2R大得多（幾個數量級），所以大塊晶體在進行X射線分析時，如果不滿足布拉格條件，那么衍射束的強度可以忽略了。 相比NF（即真正衍射時應該的振幅）差的太多。
在小晶體中， NF和2R在數值上像差并不懸殊，所以此時所獲得的衍射振幅就可以和滿足布拉格的振幅相比較。 所以在電子衍射操作時，在偏離布拉格條件的一定范圍內仍然存在。
電子衍射時布拉格方程的厄瓦爾德圖解
K 入射矢量
K' 衍射矢量
2theta 衍射角
g矢量（衍射晶面矢量） --- 和衍射面的發現方向平行。 即g矢量是垂直于衍射晶面的，所以我們才稱之為衍射晶面矢量。
我們認為---只要代表衍射晶面的矢量端點落在了厄瓦爾德球面上，就能產生布拉格衍射，因此：厄瓦爾德球又稱為衍射球或者反射球。
在作圖過程中，我們首先規定了厄瓦爾德球的半徑為1/λ， 同時令g（hkl）= 1 /d(hkl）， 這樣做的目的是在于最終能夠倒出布拉格方程的數學式。應當指出的是： 由于這兩個規定條件，使得爾瓦德爾球本身已經置于倒易空間了。 所以在倒易空間中人一個g矢量就是（hkl）晶面的代表，如果我們能記錄到各個g（hkl）矢量的排布方式，俺么就可以通過坐標轉換推測出正空間中各衍射面間的相對方位，這就是電子衍射分析要解決的主要問題。
g矢量
g矢量是和正空間中（hkl）晶面相互對應的一個倒易矢量。
書上的184頁很好的解釋了g矢量，即abc分別是正空間的基矢，a*b*c*分別是倒易空間中的基矢， 然后我們由倒易空間中的定義可以得知： c* = (a X b)/V。 V就是這個晶胞的體積，即V = c . (a X B)。 所以我們就可以得到 c*的模長是OP分之一，而OP是面間距，所以由此我們成功的解釋了g矢量的模式正空間中面間距的倒數這一論證。 另外，我們可以看出g矢量確實是垂直于面的，且和(AXB)的方向是平行的。
于是我們也可以看出： c*矢量的放下你個就是晶胞（001）的發現發現，他和（001）面面間距倒數想等。 于是a*對應于（100）面，b*對應于010面， c*對應于001面。
電子衍射的基本公式和產生衍射的充要條件
電子衍射是把操作倒易點陣的圖像通過空間旋轉并在正空間中記錄下來。用底片記錄下的圖像稱為衍射花樣。
經過推導，我們可以推得衍射的基本公式： R = λ L g（hkl）。 其中λL稱為電子衍射的相機常數， 而L是相機長度。 其中， R是正空間的矢量，而g是倒空間的矢量，所以λL是用來協調正倒空間的比例常數。 有了這個常數，我們就可以通過在底片上測得R進而求得g。 然后根據g利用正、倒空間的坐標轉換就可以推知正空間中各衍射晶面的相對方位。
產生衍射的充要條件
補充內容：
A可以推出B，那么A是B的充分條件；
B可以推出A，那么A是B的必要條件；
A和B之間可以相互推出，那么A是B的充要條件。
而滿足布拉格方程只是產生衍射的必要條件。 即產生衍射一定是滿足布拉格方程的，但是滿足布拉格方程不一定會產生衍射。
因為衍射束的強度和結果振幅的平方成正比， 如果結構因數為0，那么即使滿足布拉格條件，也不能在衍射方向上記錄到衍射束的強度。
通俗的說， 布拉格方程是一定要滿足的，但是同時你還要有振幅啊，如果沒有振幅，那么這個衍射就沒有強度，所以還是不能產生衍射。
在X射線衍射課程中已經介紹了計算典型的晶體結構的結構因數（到底是什么），常見幾種晶體結構的消光（又是什么? 消光應該是說光不能發生衍射，即消光？ ）（即Fhkl = 0）規律如下：
簡單立方： Fhkl恒不為0，也就是說，簡單立方不存在消光的情況。
面心立方： hkl有奇有偶時， Fhkl = 0. （顯然這里的一定是約分后的狀態，比如123有奇有偶，如果乘上2，就全是偶了，所以必須是約分后的）hkl全奇全偶時， 不會消光。如{100}{210}{112}會不會產生衍射，而{111}{200}{220}就會產生消光。
體心立方： h + k + l = 奇數 時消光。 如果h+k+l是偶數，那么就不會消光。 如{100}{111}{012}就會消光，不會產生衍射，而{200},{110},{112} 就會衍射。
密排六方： h + 2k = 3n 且 l為奇數時， 消光。 如（0001）（0331）等就不會產生衍射。
零層倒易面
書上187頁的零層倒易面實際上就是書上185頁中16-5圖的g矢量所在的平面（注意：這個平面認為是屬于球的，即近似把球的地面看做一個平面，雖然實際上不是的，但是因為入射角很小，所以我們近似認為g矢量是平著的）
顯然，零層倒易面上的各倒易矢量和晶帶軸r = [uvw] 是垂直的，所以 g(hkl) 點乘 r = 0。 即hu + kv + lw = 0 這就是所謂的晶軸定理。
標準電子衍射花樣
標準電子衍射花樣是標準零層倒易截面的比例圖像， 倒易點的指數就是衍射斑點的指數。
相對于某一個特定的晶帶軸【uvw】的零層倒易截面內個倒易點的指數受到兩個條件的約束： 第一個條件是各倒易點和晶帶軸的指數間必須滿足晶帶定理， 第二個條件是只有不消光的晶面才能在零層倒易軸上出現倒易點。
書上188和189頁舉了一些例子。
偏離矢量
從幾何意義上來說，電子束方向和晶帶軸面上的各倒易點不可能和厄瓦爾德球相交（因為零層倒易面是一個平面啊，球是一個圓的）。
所以如果想要兩者相交，就得把晶體傾斜，這樣才有可能（真的需要這樣嗎？）。
但是在晶體衍射操作時， 晶帶軸和電子束的軸線嚴格保持重合時，仍然可以使得g矢量端點不在球上就發生衍射（為什么啊，這不是不符合布拉格定律了嗎？）。
這是因為薄晶體（對！ 之前說過的）電子衍射操作時衍射束的強度分布有一定的寬度范圍，也就是說在稍微偏離布拉格條件的情況下， 仍有一定強度的衍射束產生， 此時薄晶體樣品的倒易點已經不再是一個幾何點了。 而是一根沿著樣品厚度最薄方向上的擴展的桿子（見190頁的16-10圖）。 且桿子的長度和樣品的厚度t成反比，因此樣品越薄，倒易桿就越長。
偏離時，倒易桿中心到球心交截點的距離可以使用s來表示， s就是偏移矢量， 其中如果theta為負，那么s為正。
薄晶體電子衍射時， 倒易點延伸成桿狀是獲的零層倒易面比例圖像的主要原因， 其他一些因素也可以促進電子衍射花樣的形成， 例如電子束的波長短，使得球很大，那么在小角度就是平面了， 所以就可以獲得比例圖像，另外， 加速電壓波動，使得球有一定的厚度。 或者電子束有一定的發散度也可以。
電子顯微鏡中的電子衍射
電子在鏡筒中是按照螺旋軌跡前進的， 衍射斑點到物鏡的第一次像之間有一段距離，電子束通過這段距離時會轉過一定的角度，這個角度就是磁轉角fai。
單晶體電子衍射花樣的標定
標定單晶體電子衍射花樣的目的是：
確定零層倒易層上面各個g（hkl）矢量端點的指數。
定長零層倒易層的法線方向（即晶帶軸[uvw]）。
確定待測晶體的點陣類型和物像。
對于不同條件，標定的方法是不同的，我們主要分為下面三種情況：
已知相機常數和已知樣品的晶體結構時衍射花樣的標定。
相機常數不知、晶體結構已知時衍射花樣的標定。
已知相機常數、不知晶體結構時衍射花樣的標定。
用對照標準電子衍射花樣法進行標定。
用查表法進行標定。
已知相機常數和已知樣品的晶體結構時衍射花樣的標定。
（1） 測量靠近中心斑點（最亮的）的幾個衍射斑點到中心斑點的距離R1、R2、R3、R4。。。
（2） 根據衍射基本公式 R = λL(1/D) 求出相應晶面間距d1、d2、d3、d4。。。
（3） 因為晶體結構是已知的，所以每一個d值都相當于某一個晶面族的面間距，所以可以根據d值得知晶面族指數{hkl}，即由d1查出{h1k1k1}，由d2查出{h2k2l2}，依次類推。
（4） 測定各個衍射斑點之間的夾角φ（即相對于中心斑點而言）。
（5） 決定離開中心斑點最近的衍射斑點的指數。 如果R1最短，那么相應斑點的指數應該為{h1k1l1}當中的一個。 對于hkl三個指數都不等的面族來說如{123}，一共有48種標定方法； hkl中有兩個相等的面族，如{112}，共有24種標定方法（為什么？？？）。。。。因此，第一個斑點的指數可以是等價晶面中的任意一個。
（6） 決定第二個斑點的指數。 第二個斑點的指數不能任選，而是只有和第一個斑點的夾角符合夾角公式的才可以。 如對于立方晶系而言，必須滿足。。。（此處省略一個公式） 在決定第二個斑點指數時， 應該進行嘗試校核，即只有h2k2l2帶入夾角公式后滿足才是正確的，否則就是錯誤的，重新嘗試下一個。注意： h2k2l2一般不止一個，所以第二個斑點指數也有一定的任意性。
（7） 一旦確定了兩個斑點，那么其他的斑點可以根據矢量運算求得，如圖所示，進行矢量相加即可。--- 至此，第一個目的達到。
（8） 根據晶帶定理求得倒易面法線的方向， 即晶帶軸的指數。 書195頁。至此，第二個目的也達到。
2. 相機常數未知，晶體結構已知時衍射花樣的標定。
測量數個斑點的R值，用下標校核各低指數晶面的d(hkl)間的比值 方法如下：
3.已知相機常數、不知晶體結構時衍射花樣的標定。
4. 用對照標準電子衍射花樣法進行標定
即把攝的的電子衍射花樣和附錄中標準的比較，如果兩者相似，就立即可以按照標準花樣上的各指數標定照片上斑點的指數。 這種方法對于已知晶體的標定非常有效， 但是標準電子衍射花樣只有有限的幾個主要晶帶的衍射花樣，如果對于其他的，還是要采用其他方法。
5.用查表法進行標定
事先使用計算機根據晶體的各項參數（晶體類型、晶格常數和夾角公式等）算出每種晶體的特定表格， 然后可以利用相鄰兩個R矢量的比例和他們之間的夾角查出相應斑點的指數和花樣的晶帶軸。當兩個R矢量夾角足夠大時，查表法是最為常用的方法， 對于非立方晶系來說尤如此。
多晶體的電子衍射花樣
即花樣中出現了多個同心圓環，每個圓環是由多晶體中同一{hkl}面族的晶面發生衍射而造成的。
菊花線
一些缺陷較少、具有一定厚度的薄晶體樣品，在衍射花樣內還會出現亮暗成對的平行線條， 這種線條就是菊花線。
薄晶體的電子顯微分析
薄晶體樣品（薄膜）的制備
如果要分析薄晶體，那么我們就需要制備薄晶體樣品， 一般來說電子束的加速電壓在200kv時， 可以穿透500nm厚的鐵膜。。。 所以一般而言我們都要求金屬的樣品厚度在500nm以下。
合乎要求的薄膜樣品必須具備下列條件：
薄膜樣品的組織結構必須和大塊樣品相同，在制備過程中，這些組織結構不發生變化。
樣品對于電子束而言必須有足夠的“透明度”，因為只有樣品能被電子束透過，才有可能進行觀察和分析。
薄膜樣品應該有一定的強度和剛度， 在制備、夾持、操作過程中，在一定的機械力作用下不會引起變化或損壞；
在樣品制備過程中不允許表面產生氧化和腐蝕，氧化和腐蝕會使樣品的透明度下降，并造成很多假象。
通常我們采用的方法是：將薄膜從大塊樣品上直接截取下來；分為下面三個步驟：
從實物或大塊試樣上切割厚度為0.3~0.5厚的薄片。
對樣品薄片預先減薄，即使用砂紙磨。
最終減薄。
衍射襯度原理
薄晶體樣品受到電子束照射時，如果晶體中所有晶面都和布拉格條件有很大的偏差，那么入射電子束就可以全部透過樣品， 而沒有衍射產生。 此時透射束的強度可認為和入射電子束的強度相等。
如果薄晶體樣品中有某些晶面符合或基本符合布拉格條件，在結構因數不等于0的情況下，這些晶面就會產生衍射。 那么透射束的強度就會小于入射束。
如果樣品內部存在許多晶粒（或各種組成相），在電子束照射下，有些晶粒不會發生衍射（或衍射強度很低）， 而另一些則相反， 可以想象在使用透射束成像時， 前者的亮度要比后者大，這種由于樣品中不同晶體（或者同一晶體不同位向）衍射條件不同而造成的襯度差別就是衍射襯度。
那么什么是襯度呢？
襯度指的是圖像上不同區域間存在的明暗程度的差異，也正是因為襯度，我們才能看到各種具體的圖像。
成像襯度是光學顯微鏡的另一個關鍵問題，有些顯微鏡觀察對象，如生物標本，其細節間亮度差別甚小，加之顯微鏡光學系統設計制造誤差使其成像襯度進一步降低而難于分辨，此時，看不清物體細節，不是總放大倍率過低，也不是物鏡數值孔徑太小，而是由于像面襯度太低的緣故。
書上208頁的圖17-2是形成衍射襯度的示意圖， 圖中表示了薄晶體內兩顆不同位向的晶體A和B成像的情況。 簡化分析，認為B晶粒中僅有一組晶面產生衍射，A晶粒中所有的晶面都偏離布拉格條件很遠。
(1)如果使用透射束成像， 則物鏡光闌放在中心斑點的位置。 可以看到，由于B晶粒產生了衍射，所以衍射束（衍射束強度I(hkl)卻被物鏡光闌擋住， 所以在像平面上B晶粒的亮度就比A要低。 因為Ib = I0 - Ihkl 而 Ia = I0）
(2)如果我們把光闌孔向左移動，那么他的位置就會和衍射斑hkl重合， 那么，由于透射束完全被光闌遮住，所以A晶粒就完全顯示不出亮度。 與之相反，此時B晶粒將由衍射束提供的強度（Ib = Ihkl）在像平面上成像。這種使用衍射束形成的電子衍射圖像叫做暗場像。
（3） 第一章中我們曾經討論過成像透鏡形成的球差， 由于衍射束遠離透鏡的主軸， 所以球差就會很大，因此要得到高質量的暗場像可以采用中心暗場，即把入射電子束相對于衍射晶面傾斜2theta角， 傾斜操作可以借助于顯微鏡內上下偏轉線圈來完成，這是衍射斑（副焦點）hkl將會移動到透鏡的中心位置， 由于衍射束和透鏡的主軸重合，球差大大減小， 所以中心暗場的圖像將會比普通的暗場圖像更加清晰。
注意: 在成像過程中，如果不加光闌，也可以得到衍襯圖像，只是得到的圖像襯度比較低， 這是因為沒有物鏡光闌時， 不僅透射束參與了成像，而且大部分晶面指數比較低的衍射束也同時參與了成像， 此時熒光屏上的各組成相的襯度是依靠他們各自的晶面指數較高的衍射束被鏡筒擋掉而產生的， 因此物鏡光闌的直徑越小， 被擋住的衍射束越多，圖像的襯度就越高。在攝取顯微組織照片時， 要使用小孔徑的物鏡光闌的道理就在于此。
晶體缺陷分析(重點學習 )
這里所指的晶體缺陷主要是下列幾種， 即層錯、位錯、和第二相例子在基體上造成的畸變。
層錯
層錯是一種面缺陷， 它存在于某些確定的晶面上。 層錯的缺陷矢量R是以它的位移矢量來表示的。、
對面心立方晶體而言， 層錯的位移矢量有兩類。 即 R = (正負) 1/3 <111> 和 R =(正負) 1/6 <112> 。書上219頁最上面的圖就是層錯， 其中層錯面和薄膜表面平行，層錯距離上下表面的距離分別是t1和t2， 上部晶體可以視為理想晶體， 缺陷矢量R=0； 下部晶體是含有層錯的晶體， 它相對于上面的理想晶體位移了一個R矢量。從形式上來看，層錯的缺陷矢量具有最簡單的表達式。
如果坐標原點假定在薄膜上表面。那么層錯的缺陷矢量和厚度t的關系為： 當t <= t1 時，R=0； 當 t > t1 時， R = 常數。 當R =(正負) 1/3 <111>時， R的方向和和法線方向一致； 當R為1/6。。時， R的方向和法線方向平行。
如果R = 1/3, 那么由此得到的附件相位角為： α = 2 * PI * g(hkl) 點乘(正負) 1/3 <111> = (正負) 2PI/3 (h + k +l)。
同理，如果R= 1/6， 那么附加相位角為：α = 2 * PI * g(hkl) 點乘 (正負) 1/6 <112> = (正負) PI/3 (h + k +2l)。
其中， g(hkl)是衍射晶面的倒易矢量， hkl表示衍射晶面指數，因為面心立方晶體結構因數不為0的條件是 hkl必須全奇或者全偶， 所以在{111}層錯面上算出來的α只能是兩類：
第一類α = （正負）2nPI （n=0 正負1 正負2 。。。）
另一類是 正負2/3 n PI。
當是第一類時， 圖中具有層錯的晶柱底部計算出的衍射波振幅和理想晶體晶柱底部的衍射振幅大小上并沒有差別， 因此層錯不顯示襯度。
但當時后者時， 含有層錯的晶柱底部的衍射波振幅大小將不同于理想晶體晶柱底部的衍射波振幅， 從而在襯度上出現差別。利用(負113)(420)(333) 這些面作為衍射晶面時， 把他們的晶面指數帶入求解附加相位角的公式，可以看到不管R等于1/3的層錯還是1/6的層錯，他們的附加相位角都是 2nPI類型， 所以層錯均不可見。
但是改用(113)(負420)這種形式的帶入時，α都是2/3nPI類型的，此時兩類層錯都能顯示出襯度。
使用(222)面作為衍射晶面時，R = +- 1/6 <112> 的層錯，其α為正負8/3pi，可以顯示出襯度； 而R=正負1/3<111>的層錯，不顯示襯度。
而若利用(131)時，情況剛好和上面的相反。
綜上所述： 在面心立方中， 只有選擇合適的衍射晶面，使得附加相位角為正負2/3npi時，才能使得在透射電子顯微鏡下看到層錯。
由此可見，在透射電子顯微鏡下看不到層錯，不是因為不存在層錯，而是因為選擇了α=+- 2nPI的衍射晶面才造成的。
位錯
AB是螺位錯線，位錯線周圍有應變場， 使得晶柱PQ畸變為P'Q'， 根據螺位錯線周圍原子的唯一特性， 可以確定缺陷矢量R的方向和伯氏矢量b的方向一致， 圖中X表示了晶柱和位錯線之間的水平距離， z表示了晶柱內不同深度的坐標， 薄晶的厚度為t，因為晶柱位于螺位錯的應力場之中，晶柱內個點應變量都不相同， 因此各點R矢量的數值均不相同， 即R應該是坐標Z的函數。
為了便于描述晶體的畸變特點，我們把度量R的長度坐標轉換成角坐標β， 如下： R/b = β/(2π)。 可以得知當β轉一周時， 螺位錯的畸變量剛好是一個伯氏矢量。 B角的位置也已經標出， 可以得出：
R = （b/（2π））* arctan （(z-y)/x）
所以不難看出晶柱位置確定以后（x、y一定）R是z的函數，因為晶體中引入缺陷矢量后，即附加相位角α = 2 π g 點乘 R。
所以： α = g 點乘 βarctan （(z-y)/x）= n β。
如果 gb=0： 那么附加相位角就等于0， 此時即使有螺位錯線存在，也不顯示出襯度。
如果gb!=0: 那么螺位錯線附近的襯度和完整晶體部分的襯度不同，其中存在的差別就可以通過下面的兩個式子完整的表達出來。
說明： α 即附加相位角， 如果它為0， 那么就無襯度； 如果它不為0，那么就有襯度。
所以gb點乘b = 0是位錯線不可見性判據。 利用它可以確定位錯線的伯氏矢量。 因為gb=0表示g和b相互垂直，如果選擇兩個g矢量作衍射操作時， 位錯均不可見，即 g1b = 0； g2b = 0； 那么通過聯立求解就可以求得伯氏矢量。
第二相粒子
這里指的第二相例子主要是指那些和基體之間處于共格或者半共格狀態的粒子，他們的存在會使基體晶格發生畸變，由此就引入了缺陷矢量R， 使產生畸變的晶體部分和不產生畸變的晶體部分之間出現襯度的差別， 因此， 這類襯度被稱為應變場襯度。
在進行薄膜衍射分析中， 樣品中的第二相粒子不一定都會引起基體晶格的畸變，因此在熒光屏上看到的第二相粒子和基體間的襯度差別是下列原因造成的；
由于第二相粒子和基體之間的晶體結構和位向存在差別造成的襯度。
第二相的散射因子和基體不同造成的襯度。
掃描電子顯微鏡和電子探針
掃描電子顯微鏡和透射電子顯微鏡的成像原理完全不同，它是使用從樣品表面激發出的各種物理信號來調制成像的。目前顯微斷口分析工作都是使用掃描電子顯微鏡來實現的。
剛剛說到，掃描電子顯微鏡的工作原理是使用從樣品表面激發出的各種物理信號來調制成像的，那么從樣品表面激發出了什么呢？
背散射電子 --- 即被固體樣品中的原子核反彈回來的一部分入射電子。 分為彈性和非彈性背散射電子。 其中彈性背散射電子沒有能量損失，而非彈性背散射電子的能量損失很大。 說明：由于背散射電子來自樣品表層幾百納米的深度范圍，且它的產額隨著原子序數的增大而增多，所以不僅可以做形貌分析，還可以用來顯示原子序數襯度， 定性地用作成分分析。
二次電子 --- 即在入射電子作用下被轟擊出來并離開樣品表面的核外電子叫做二次電子。 二次電子的能量很低，但是由于二次電子都是在5~10nm的深度范圍內發射出來的， 所以對樣品的表面狀態非常敏感。 因此可以非常有效的顯示樣品的表面形態。 二次電子和原子序數無關，所以不能用來做成分分析。
吸收電子 --- 即入射電子進入樣品能量消耗殆盡，最后被樣品吸收。 若溢出表面的背散射電子和二次電子越少，那么吸收電子就越多。 注意： 由于二次電子在不同原子序數上的原子的差別不大，而背散射電子越多，即吸收電子越少，那么原子序數越大。 所以吸收電子能夠產生原子序數襯度，同樣也可以進行定性的微區成分分析。
透射電子 --- 即穿透樣品透射出去，就是透射電子。
特征X射線 --- 即當內層的電子被激發或電離時， 原子就會處在較高的激發狀態， 此時外層電子將內層躍遷以填補內層電子的空缺， 從而使得原子的能量降低。 然后中間相差的能量就會發生特征X射線。 且原子序數和特正能量之間是有對應關系的， 利用這個關系可以進行成分分析， 如果我們用X射線探測器測到了樣品微區中存在某一種特征波長，就可以判定這個微區中存在相應的元素。
俄歇電子 --- 及如果在5中多余的能量不是以X射線的形式釋放，而是通過哦給了其他的電子使之釋放，那么這個電子就是俄歇電子。 因為每一種院子都有自己特定的殼層能量，所以他們的俄歇電子也各有特征值。
掃描電子顯微鏡的構造和工作原理
掃描電子顯微鏡是由電子光學系統 信號收集圖像顯示記錄系統 真空系統三個部分組成的
電子光學系統
包括電子槍、電磁透鏡、掃描線圈和樣品室
電子槍自然就是用于發射電子之用
電磁透鏡一般都是三個聚光鏡，前兩個聚光鏡把電子束光斑縮小， 第三個聚光鏡是弱透鏡，具有較長的焦距，布置這個末級透鏡（稱為物鏡）的目的是在樣品室和透鏡之間留有一定的空間，以便裝入各種信號探測器。 掃描電子顯微鏡照射到樣品上的電子束直徑越小， 那么成像單元的尺寸越小，所以分辨率就越高。
掃描電圈 --- 作用是使得電子束偏轉，并在樣品表面作有規則的掃動。
樣品室 --- 樣品室內除了安放樣品外，還安放信號探測器。 各種不同信號的收集和相應檢測器的安放位置有很大的關系，如果安置不當，則有可能收不到信號或者受到的信號非常弱。
信號收集和圖像顯示系統
二次電子、背散射電子和透射電子的信號都可以采用閃爍計數器來進行檢測。 信號電子進入閃爍體后立即電離， 當離子和自由電子復合后就產生可見光。 可見光信號通過光導管送入光電倍增器， 光信號放大后即又轉化成電流信號輸出。 電流信號經過視頻放大器放大后就成為了調制信號。 如前所述， 由于鏡筒中的電子束和顯像管中電子束是同步掃描的， 而熒光屏上每一點的亮度是根據樣品上被激發出來的信號強度來調制的， 因樣品上個點的狀態不同， 所以接受到的信號也不同， 于是就可以在顯像管上看到一幅反映試樣各點狀態的掃描電子顯微圖像。
真空系統
為保證掃描電子顯微鏡中電子光學系統的正常工作，對鏡筒內的真空度有一定的要求。一般情況下， 如果真空系統能夠提供一定的真空度時， 就可以防止樣品的污染， 如果真空度不足，那么除了樣品被嚴重污染之外， 還會出現燈絲壽命下降、極間放點等問題。
掃描電子顯微鏡的主要性能
分辨率 --- 二次電子和俄歇電子的分辨率高， 而特征X射線調制成顯微圖像的分辨率最低。 不同信號造成分辨率之間的差別如圖（230頁）。 即俄歇電子和二次電子因為其本身能量較低以及平均自由程很短，所以只能在樣品的淺層表面內溢出。 俄歇電子和二次電子只能在一個和束斑直徑相當的圓柱體內被激發出來， 因為束斑直徑就是一個成像檢測單元的大小。
因為圖像分析時， 二次電子（或俄歇電子）信號的分辨率最高，所以所謂掃描電子顯微鏡的分辨率就是二次電子像的分辨率。
掃描電子顯微鏡的分辨率是通過測定圖像中兩個顆粒（或區域）間的最小距離來確定的。 測定的方法就是在已知放大倍數的條件下，把在圖像上測到的最小間距除以放大倍數就是分辨率， 目前商品生產的掃描電子顯微鏡的二次電子分辨率已經優于3nm。
X射線的衍射強度
X射線的測量過程中，除了衍射方向之外， 衍射線的強度也是非常重要的。
影響衍射強度的因素很多， 在粉末法中， 主要因素有下面幾種: 偏振因數、結構因數、多重性因數、洛倫茲因數、吸收因數和溫度因數，其中偏振因數和洛倫茲因數又合稱為角因數。
電子散射因數fe， 它是一個很小的數， 說明一個電子的相干散射是很弱的；
而 1 + cos2theta2 / 2 稱為偏振因數， 表明當入射線非偏振時， 相干散射線在不同方向上發生不同程度的偏振， 其強度隨2theta變化。
電子和原子對衍射強度的影響
當入射線和原子內部受核束縛較緊的電子相遇， 光量子能量不足以將原子電離，但是電子可以在X射線交變電場作用下發生受迫振動， 這樣的電子就成為一個電子波的發射源， 向周圍輻射和入射X射線波長相同的輻射稱為相干散射。 因為各電子所散射的射線波長相同， 有可能相互干涉。 湯姆遜用經典的方法總結了此現象， 推導了相干散射強度的湯姆遜散射公式。
X射線為非偏振光，射到電子e后，在空間一點P的相干散射強度為 Ie
多重性因數
晶體中同一晶面族{hkl}的各等同晶面， 其原子排列相同， 晶面間距不等， 在多晶衍射中他們有同一的衍射角2theta， 所以其衍射將重疊在同一個衍射環上，。 某種晶面的等同晶面數增加，參與衍射的幾率隨之增加， 相應的衍射也將增強。 我們稱某種晶面的等同晶面數為影響衍射強度的多重性因數P。 多重性因數和晶體對稱性及晶面指數有關， 如立方晶系{100}面族， P = 6; {110} 面族， P = 12； 四方晶系{100}面族， P = 4。
吸收因數
由于試樣本身對入射線和衍射線的吸收， 使得衍射強度的實測值與計算值不符。 為了修正這一影響， 需要在強度公式中乘以吸收因數A(theta)， 它表示衍射線經過試樣吸收之后的射出率。 吸收因數與試樣的形狀、大小、組成以及衍射角有關。
1. 圓柱試樣的吸收因數
如果試樣半徑r和線吸收系數ul較大時， 入射線僅僅穿透一定的深度便被吸收了。 實際上只有一薄層物質參與衍射。衍射線穿過試樣也同樣受到吸收，其中在透射方向比較嚴重， 背射方向影響較小。
當衍射強度不受吸收影響時，通常取 A(theta) = 1， 對同一試樣， theta越大，吸收越小， A（theta）的值就接近1.
2. 平板試樣的吸收因數
X射線衍射儀采用平板試樣， 通常是使入射線與衍射線相對于板面呈等角配置， 此時的吸收因數可以近似看做與theta無關，它和ul成反比。
溫度因數
晶體中的原子（或離子）始終圍繞其平衡位置振動， 其振動幅度隨著溫度的升高而加大。 這個振幅和原子間距相比是不可忽略的。 原子熱振動使得晶體點陣原子排列的周期性受到破壞，使得原來嚴格滿足布拉格條件的相干散射產生附加的相位差，從而使得衍射強度減弱。 為了修正實驗溫度給衍射強度帶來的影響， 需要在積分強度公式前面加上溫度因數 e (-2M), 在溫度T下的X射線衍射前度It與 0 K下的衍射強度I之比為e(-2M)。 這是一個小于1的值。
單胞對衍射強度的影響
簡單點陣只由一種原子組成， 每個晶胞只有一個原子， 它分布在晶胞的頂角上， 單位晶胞的散射強度相當于一個原子的衍射強度。復雜點陣晶胞中含有n個相同或不相同種類的原子，他們除了占據單胞的頂角之外， 還可能出現在體心、面心或其他位置。 復雜點陣單胞的散射波振幅應該為單胞中各原子的散射振幅的矢量合成。 由于衍射線的相互干涉， 某些方向的強度將會加強， 而某些方向的強度將會減弱甚至消失。 這種規律習慣稱為系統消光。 研究單胞結構對衍射強度的影響， 在衍射分析的理論和應用中都十分重要。
結構因數公式的推導
根據圖10-4， 我們取單胞的頂點O為坐標原點， A為單胞中任一原子j， 它的坐標矢量為 OA= rj = xja + yjb + zjb. 其中abc為單胞的基本平移矢量， xj、yj、zj為A原子的坐標。
A原子和O原子間散射波的光程差為 δ = rj S - rj S0 = rj （S-S0）。 利用布拉格關系矢量公式和倒易矢量公式可得相位差為。。。
為什么沒有面心四方和底心四方？
結束
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總結
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