該系列為DR_CAN動態系統的建模與分析系列視頻筆記，詳見https://space.bilibili.com/230105574
由于筆者水平有限，文中難免存在一些不足和錯誤之處，誠請各位批評指正。

1 一階系統的一般形式

2 單位階躍

3 階躍響應

將單位階躍函數的 (s) 域表示與一階系統的傳遞函數相乘，我們可以得到這個系統的輸出，再對其進行拉普拉斯逆變換，即可得到系統輸出在時域中的表現：

4 時間常數

時間常數（英語：Time constant）是一個描述一階線性時不變系統中對隨時間變化的輸入信號的響應能力的參數，由上升沿時間確定，通常用 ( au) 表示，在形式為 (a/(s+a)) 的一階系統中，( au = 1/a) ，當 (t = au) 時，系統的輸出約等于收斂值的0.63倍。

類似的，穩定時間，也叫整定時間 (T_{ss} = 4 au) 。也就是四倍的時間常數，當 (t = T_{ss}) 時，系統的輸出約等于收斂值的0.98倍：

5 系統識別

時間常數是一階線性時不變系統的一個主要的特征參數，因此我們可以通過時間常數來進行系統識別。

以上一節的流體模型為例，我們通過一個管子像水槽中注水，并且注水的速度是恒定的 (C = 5) ，通過記錄水位高度的變化曲線，我們可以得到系統的穩定時間，從而得到系統的時間常數。

假設系統穩定時間為4s，即系統輸出等于0.98倍的 (C) 時 (t=4)，那這個系統的時間常數就為1。我們又可以根據( au = 1/a) ，即 ( au = R/g) ，計算出 (R) 的值。這樣一來我們就得到了這個系統的傳遞函數：

6 換一種思路

左上角的圖是通過傳遞函數來分析得到的這個一階系統的階躍響應。另外的，我們可以拋開傳遞函數，通過相空間來分析這個系統的響應，關于相空間可以參考筆者之前的博客3B1B微分方程系列筆記（一）。

首先我們寫出描述這個系統階躍響應的微分方程，這個微分方程可以通過拉普拉斯逆變換得到，即圖片左下部分的公式，我們可以以 (x) 和 (dot{x}) 為坐標軸畫出圖形，其中藍色和褐色部分分別表示 (a) 為不同極性時的情況。而黑色和綠色部分分別代表 (a>0) 時初始位置不同的情況。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的（四）一阶系统的阶跃响应与时间常数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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