導言

眾所周知，一個無窮數列（sequence，定義就是無窮項的）的排序十分講究，比如1-1+1-1+1…不能這樣去算：(1-1)+(1-1)+…=0，這種算法很明顯錯的（不代表所有數列都不滿足交換），但是為什么呢？本章就試圖用嚴格的定義去理解無窮數列。

數列的極限
數列是什么？a1, a2, a3,…實際上，自變量就是這個下標，所以這么理解：數列就是正整數N—>R的函數f, an=f(n)
在開始之前我們必須明白一件事情，對于這樣一個普通的數列來說，從哪里開始（1，4，10000等等）開始并不重要，重要的是通向無盡的道路上所見到的風景，我們關注的，其實是這個數列的“尾巴（tail）”，因為這個尾巴才真正決定這個數列是否收斂
極限是什么？我相信你還是知道的吧！經典的定義為ε-δ
我們來比較一下，怎么樣的數列算收斂？經典的定義為ε-N，在此不做多解釋，同樣的我們也可以用鄰域、拓撲。收斂到L，則稱L為極限
極限是唯一的，如果一個數列有極限，那么數列是有界的。
所以我認為人這種生物也是必然收斂的，人的終點必然是死亡，不管一個人去到多遠的地方，甚至其他星球，不管他做出什么成績，也會有無法完成的事，都擁有一樣的極限。正如偉大哲學家迪奧布蘭度所說：人的能力是有限的。但有限的事物并非一定會收斂，比如（1，-1，1，-1…)
如何判定有界數列是否收斂？我們考察單調收斂數列，發現這個肯定收斂！主要就是確定上確界s，取一個e，s-e自然不是上界咯，取N讓aN>s-e，然后發現an(n>N)滿足收斂的條件

Subsequence（子數列）& Bolzano–Weierstrass Theorem
1，2，3，5，6，4…的一個子數列：1，5，6，4…，不可以1，2，3，4，5…，取的元素構成子數列，下標必須遞增
子數列跟它的媽媽原數列有什么聯系與不同呢？
兩者極限相同（如果原數列有極限，收斂）
如果原數列發散，子數列也可能收斂，比如1，-1，+1，-1，+1…（對，又是他）可以變成1，1，1，1，1…

波爾查諾-維爾斯特拉斯定理
是指有界數列必有收斂子列。從極限點的角度來敘述致密性定理，就是：有界數列必有極限點。證明挺好玩的:撒無限個不占面積的巧克力豆在一個芝士蛋糕上，我們將蛋糕對半（或者隨便一刀切），至少有一塊蛋糕上有無限的巧克力豆，類似地我們可以繼續切切切然后我們就會切出一塊不占面積的蛋糕，上面有無限顆巧克力豆！但是最終這塊不存在的蛋糕在原本蛋糕上的地址是一定的，也就是我們的聚點（收斂點）

上下極限
發散的數列可能有他們的上下極限，記為lim sup An / lim inf An(n—>∞n），意思是把所有下標大于等于m的數列項取出來，湊成一個集合，看看上確界。由于上確界取小不取大，所以m增大之后，我們迭代得到的這個上確界遞減。
數列收斂==數列上下極限相等
數列每一個子序列都收斂到 X => Xn收斂到X

柯西序列（Cauchy，我的超人）

是不是聽起來比N-ε更高端？但很好玩的是柯西收斂判別與收斂等價，快下班了，證明懶得寫了

Cesaro Means
若xn收斂于L，yn = (x1 + x2 + · · · + xn)/n
則n—>∞，yn=L

總結

以上是生活随笔為你收集整理的L3 Sequence的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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