題目描述

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輸入

一個正整數T表示數據組數

接下來T行 每行兩個正整數 表示N、M

輸出

T行 每行一個整數 表示第i組數據的結果

樣例輸入

1
4 5

樣例輸出

122

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題解

莫比烏斯反演+線性篩

由于要處理多組詢問，所以 bzoj2154 的做法就不好用了，但是這個結論可以套用過來。

然后推公式：

（UPD：上面公式最后一行請自行把 $k$ 改成 $n$ ... 由于這里是圖片形式就不改了）

設f1(n)=n²mu(n)，f2(n)=n，則顯然f2是積性函數，f1為兩個積性函數的乘積，也是積性函數。

那么f為f1和f2的狄利克雷卷積，也是積性函數。

所以可以嘗試快篩f(n)。

當n為質數時，顯然f(n)=n-n^2。

當n不為質數時，即n=i*p，p|i，p是質數，那么觀察f(n)化簡之后的式子，n新增加出來的約數一定是包含p^2的，它的mu值一定是0，所以f(n)的改變只是從i*...變為了n*...，所以此時f(n)=f(i)*p。

這樣我們就可以快篩出f函數及其前綴和，然后對于每個詢問分塊求解即可。

#include <cstdio> #include <algorithm> #define mod 100000009 using namespace std; const int n = 10000000; typedef long long ll; int prime[n + 10] , tot; ll g[n + 10] , sum[n + 10]; bool np[n + 10]; ll s(int x) {return (ll)x * (x + 1) / 2 % mod; } ll cal(ll a , ll b) {int i , last;ll ans = 0;for(i = 1 ; i <= a && i <= b ; i = last + 1) last = min(a / (a / i) , b / (b / i)) , ans = (ans + (sum[last] - sum[i - 1] + mod) % mod * s(a / i) % mod * s(b / i) % mod) % mod;return ans; } int main() {int i , j , T , a , b;g[1] = sum[1] = 1;for(i = 2 ; i <= n ; i ++ ){if(!np[i]) g[i] = ((i - (ll)i * i) % mod + mod) % mod , prime[++tot] = i;for(j = 1 ; j <= tot && i * prime[j] <= n ; j ++ ){np[i * prime[j]] = 1;if(i % prime[j] == 0){g[i * prime[j]] = g[i] * prime[j] % mod;break;}else g[i * prime[j]] = g[i] * g[prime[j]] % mod;}sum[i] = (sum[i - 1] + g[i]) % mod;}scanf("%d" , &T);while(T -- ) scanf("%d%d" , &a , &b) , printf("%lld\n" , cal(a , b));return 0; }

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轉載于:https://www.cnblogs.com/GXZlegend/p/7000042.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【bzoj2693】jzptab 莫比乌斯反演+线性筛的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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