实数系的基本定理_初中篇1|知实数-为什么0.9的循环等于1？
(初一下學期)弘毅: 為什么0.9的循環等于1?
我：說來話長，你坐下聽我慢慢說。
摘要：1. 該問題的普遍性2. 有理數3. 從有理數到實數4. 真正理解實數-極限與拓撲5. 關于高中及以前的數學-結合自身需求
這是一個好問題，恭喜你已經成為一個愛思考的人類！
1. 該問題的普遍性
其實不只是你說的這個，除了0，其它任何一個有限小數都有兩種表示方法:
比如2. 有理數
首先說說我們認識實數的過程。在遠古時代，人類發明任何文字之前，人類就已經通過我們的兩只手兩只腳學會了1，2，3，4。從4到一般的正整數是人類的第一次抽象思維活動，開始用手指或者小石頭來表示更多的正整數，以及后來的二進制，六十進制和十進制等。
千萬不要小看從4到更大的正整數，以及正整數的十進制表示，這兩步都是花費了很長的時間進化而來。
從每個人之從嬰兒慢慢長大的進程可窺視人類發展的一部分進程規律。比如從一兩歲的小孩學習數數也能看到一些縮影，有不少小孩在數數上有困難，而更多小孩在整數相加減的進位退位上有困難。
假設我們已經學會了整數的加減乘，現在來學習除法。把1分成2份，我們很快發現這不是一個整數，于是你在學校學會了一個新的記號
, 老實說只看這個新的記號，其實你還是不知道它是什么東西，再后來你就學習了這里要講的重點了:實數的小數表示。你學到了利用正整數的十進制和除法規則，得到它的小數表示為
。3. 從有理數到實數
到了初中，你開始知道什么是有理數，什么是無理數了。
然后你的老師就開始給你強制灌輸一些定理了:
任何一個有理數的小數表示要么是有限長度要么是無限循環的，反過來任何一個這樣表示的小數一定是有理數。注意:這里沒說一個有理數是不是就只有一種小數表示。
無理數定義為無限不循環小數。無理數和有理數統稱實數。
到目前為止，相當于把有理數這個數的概念擴充到了實數，這叫概念的延拓，在數學中非常普遍。
在無理數被發現之前，人們就把有理數叫數，有了無理數才有有理數的叫法，在虛數被發現之前實數就是數，有了虛數才有實數的叫法。
這里的做法就是從有限長度或者無限循環小數推廣到任意小數。
這種處理方法到目前為止，其實只有一個好處，那就是在近似計算或者粗略比較大小的時候，把無限長度的小數近似到滿意的位數得到一個粗略的答案。
這對于一個初中生理解整個實數集是一種非常經濟的方式，性價比是不錯的。但對于好學嚴謹的學生來講，這是不夠的。
因為從邏輯上來講，它其實沒有太大幫助。它只是告訴你一個表達方式，而在數學上或者自我要求比較高的人的內心深處，它依然沒有告訴你這樣表達的小數到底是什么。
首先涉及到無限位數，不論循環還是不循環小數，這都不是現在就能理解的事情。
而且你的老師馬上就會說:
有理數的關于相反數，絕對值和四則運算以及大小比較等，對于實數也同樣適用。這時候，你的內心是崩潰的，尼瑪，一個無限不循環小數跟另一個小數(有理或者無理)要怎么相加減呢？
4. 真正理解實數-極限與拓撲
要完全理解實數，以及證明下面的:
有理數的關于相反數，絕對值和四則運算以及大小比較等，對于實數也同樣適用。那必須運用極限。
將所有無限位的小數看成一個無限求和，即級數，這在大一高數(或者數分)中可以學到。
比如 定義成 ，就這個式子而言，高一學了等比數列求和公式后，你就可以得到實際上，
對任何一個無限小數 ，我們都可以用級數 來表示，由于 ,我們有 。由單調有界定理知道，級數 是收斂的。即用無限小數 表示一個實數的方式的確是合理的。其實極限的思想和概念是很直觀和初等的，無論是幾千年的古人，比如莊子的'一尺之棰，日取其半，萬世不竭'，還是目前讀小學初中的現代小孩，理解起來都是很自然的。
但是極限的數學定義是非常繁瑣的，極限的嚴格的數學定義是花費了好多代一流數學家的艱苦工作的，從牛頓萊布尼茨提出并應用微積分開始直到柯西等人才真正完成。
Newton-From Wikipedia, the free encyclopediaLeibniz-From Wikipedia, the free encyclopedia有了極限的強大工具，你會發現每個無理數都是一列有理數的極限。
利用極限的性質，你可以很方便的證明你老師說的:
有理數的關于相反數，絕對值和四則運算以及大小比較等，對于實數也同樣適用。歸根結底，我們可以很好的理解有限，但是無限讓我們困惑，猶豫不決或者魯莽而容易犯錯。
極限就是一座寶貴的橋梁讓我們從有限走到無限，化無限為有限。
隨著你對數學的深入學習，其實你會發現實數集是一個非常豐富的系統。
首先它有很好的序結構，即大小關系，任何兩個實數都可以比較大小。而復數就沒有這么好的序結構，隨便兩個復數是無法比較大小的；
其次是很好的拓撲結構，比如它是完備的，粗略的講就是它的極限是封閉的。而有理數集就不是，因為有理數列的極限可以是無理數；
最后是很好的代數結構，實數的加法，乘法這兩個代數運算讓它成為一個域。
幾乎所有的數學分支都離不開其研究對象的序結構，拓撲結構和代數結構，比如我們這里要強調的就是實數的拓撲結構。
5. 關于高中及以前的數學-結合自身需求
實際上高中及以前的數學內容是不系統和不嚴格的，粗略的講它是以一種高性價比的方式來處理的。
因為高中畢業基本上處于成年分界線的年齡，所以高中及以前算是未成年。一是要學的內容太多，有語文，英語等其它課程，二是該年齡段的心智特點一般而言很難從事專業深入的研究工作.
比如你能為了一個看上去很小的數學問題而坐下來思考6個小時，直到你滿意為止嗎？有少數人就能，對，沒錯，這少數人一般數學都很好。
比如宇宙無敵的陶哲軒(Terence Tao)，12-13歲就學完了微積分等大學數學課程，21歲普林斯頓博士畢業，24歲正教授，31歲菲爾茲獎，想都不敢想......所以你要結合自己的需求，你要和自己在適當的程度達成和解，清楚的告訴自己在什么程度就可以讓自己滿意了，對這個問題放手，繼續往前走！
比如, 一個經濟但不嚴格的做法，你可以用:令 ，則 ，進而 .
如果你是一個普通的愛好者，到此就很好了，屬于媽媽心中的聰明孩子；
如果你會求
的極限(等比數列求和的極限)，那就屬于很厲害的角色了，可以參加數學競賽，是媽媽心中別人家的孩子；如果你能由此而引發去學習一般的極限概念，了解實數系統的拓撲結構，那你就是王者，媽媽只會跟你說不要太累，絕對不會催你學習。
說不定，你就是下一個陶哲軒了！
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的实数系的基本定理_初中篇1|知实数-为什么0.9的循环等于1？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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