一階RC低通濾波

從模擬到數(shù)字?
本文整理自網(wǎng)絡(luò)、《匠人手記》等書籍文章

• 模擬電路低通濾波時(shí)域、頻域
• 軟件低通濾波

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典型電路

?
圖1 典型RC電路?
直流、交流、脈沖信號都可以用它

時(shí)域

電容電流：?

Ic=dqdt=d(C?Uo)dt=CdUodt
基爾霍夫電壓定律得：?
Ui=RCdUodt+Uo
Ui的單位是伏特，RC的單位為秒，τ=RC；?
解得:?
Uo(t)=Ui(1?e∧(?t/RC))
假設(shè)電容初始電壓值為0?
R=1000Ω?
C=4.7uF?
Ui=1V?
t=0.0001~0.1s?
τ=RC?
Vc(τ)=0.632?
?
圖2 一階RC系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線

頻域

u1=Ui；u2=Uo；?
以電容電壓作為輸出，電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為：?

H(jω)=U2U1=1jωCR+1jωC=11+jωRC
令ωc= 1RC=1τ
ωc即為截止頻率；

幅值和相角函數(shù)：?

|H(jω)|=11+(ωωc)2????????√

θ(ω)=?arctanωωc

各變量取值：?
R=1000Ω?
C=4.7uF?

j=?1???√
ω=1RC
fc=12πRC
A(f)=1j2πfRC+1
|A(fc)|=0.707?
θ(f)=180arg(A(f))π
θ(fc)=-45

f=0.001、1、…….100000

幅頻和相頻特性圖：?
?
圖3?
?
圖4?
幅頻特性圖的對數(shù)表示：?
?
圖5

-當(dāng)ω<ωc時(shí)，幅值是平行于坐標(biāo)的直線，基本無衰減；　

-當(dāng)ω>>ωc時(shí)，是斜率與-20dB/十倍頻成比例的一條直線；　

-當(dāng)ω=ωc時(shí)，增益衰減至0.707，即-3dB，相位滯后45度，對應(yīng)低通濾波器，該頻率通常被稱為截止頻率。

缺點(diǎn)：?
采用這種模擬濾波器抑制低頻干擾時(shí)，要求濾波器有較大的時(shí)間常數(shù)和高精度的RC網(wǎng)絡(luò)，增大時(shí)間常數(shù)要求增大R值，其漏電流也隨之增大，從而降低了濾波效果；

軟件上的一階低通濾波

優(yōu)點(diǎn)：

-采用數(shù)字濾波算法來實(shí)現(xiàn)動態(tài)的RC濾波，則能很好的克服模擬濾波器的缺點(diǎn)；?
-在模擬常數(shù)要求較大的場合這種算法顯得更為實(shí)用；?
-其對于周期干擾有良好的抑制作用，?
-比較節(jié)省RAM空間

缺點(diǎn)

-不足之處是帶來了相位滯后，導(dǎo)致靈敏度低；?
-同時(shí)它不能濾除頻率高于采樣頻率的二分之一（稱為奈奎斯特頻率）的干擾（例如采樣頻率為100Hz，則它不能濾除50Hz以上的干擾信號）對于高于奈奎斯特頻率的干擾信號，應(yīng)該采用模擬濾波器。?
-對沒有乘、除法運(yùn)算指令的單片機(jī)來說，程序運(yùn)算工作量較大

基本濾波算法：

算法由來：?
頻率分析中一階RC低通濾波在S域的傳遞函數(shù)：?

VoutVin=1RCs+1,(s=jω)
通過z變換（方法很多，如一階前向差分、雙線性變換等這里用一階后向差分法）?
s=1?z∧(?1)T,T表示采樣周期

帶入S域傳遞函數(shù)中：?

Y(z)X(z)=1RC1?z∧(?1)T+1=TRC(1?z∧(?1))+T
推導(dǎo)轉(zhuǎn)化為差分方程后可得：?
Y(n)=TT+RCX(n)+RCT+RCY(n?1)
通過Z變換把S域的傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化成時(shí)域的差分方程，分析可得到

一階RC數(shù)字濾波的基本算法

X為輸入，Y為濾波后得輸出值，則：?

Y(n)=a?X(n)+(1?a)?Y(n?1)

a為與RC值有關(guān)的一個(gè)參數(shù)，稱為濾波系數(shù)，其值決定新采樣值在本次濾波結(jié)果中所占的權(quán)重，其值通常遠(yuǎn)小于1，當(dāng)采樣間隔t足夠小的時(shí)候，?

a=tRC

-濾波系數(shù)越小，濾波結(jié)果越平穩(wěn)，但是靈敏度越低；

-濾波系數(shù)越大，靈敏度越高，但是濾波結(jié)果越不穩(wěn)定

-本次輸出值主要取決于上次濾波輸出值，當(dāng)前采樣值對本次輸出貢獻(xiàn)比較小，起到修正作用；

-截止頻率：

fl=a2πt
例如：t=0.5s (f=2Hz), a=1/32?
則fl=(1/32)/(2*3.14*0.5)=0.01Hz;

基本程序：

按照一階濾波的基本原理與公式寫程序，如下：

/*程序中整數(shù)運(yùn)算比小數(shù)運(yùn)算快，為加快程序的處理速度，為計(jì)算方便，a取一整數(shù)，1-a用256-a來代替，a則取0~255,代表新采樣值在濾波結(jié)果中的權(quán)重（也可將1-a的基數(shù)改為100-a，計(jì)算結(jié)果做相應(yīng)處理，這里不做說明）*/#define a 128 char value; //上次濾波值 char filter() {char new_value;new_value=get_ad();//本次采樣值return(256-a)*value/256+a*new_value/256； }

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程序初步優(yōu)化

減少乘、除的運(yùn)算次數(shù)以提高運(yùn)算速度。?
具體優(yōu)化辦法：?
先將新采樣值與上次濾波結(jié)果進(jìn)行比較，然后根據(jù)比較采用不同的公式計(jì)算，這樣程序的運(yùn)算效率提高了一倍；?
化解基本公式可得:?

當(dāng)Xn<Y(n?1)時(shí)，Yn=Y(n?1)?(Y(n?1)?Xn)×a÷256;
當(dāng)Xn>Y(n?1)時(shí)，Yn=Y(n?1)+(Xn?Y(n?1))×a÷256;

流程圖：?

程序：

/*入口：NEW_DATA 新采樣值OLD_DATA 上次濾波結(jié)果k 濾波系數(shù)(0~255)(代表在濾波結(jié)果中的權(quán)重)出口： 本次濾波結(jié)果*/char filter_1(char NEW_DATA,char OLD_DATA,char k) {int result;if(NEW_DATA<OLD_DATA){result=OLD_DATA-NEW_DATA;result=result*k;result=result+128;//+128是為了四色五入result=result/256;result=OLD_DATA-result;}else if(NEW_DATA>OLD_DATA){result=NEW_DATA-OLD_DATA;result=result*k;result=result+128;//+128是為了四色五入result=result/256;result=OLD_DATA-result;}else result=OLD_DATA;return((char)result); }

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濾波分析：?
當(dāng)濾波系數(shù)為30的時(shí)候：?
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當(dāng)濾波系數(shù)為128的時(shí)候：?
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當(dāng)濾波系數(shù)為200的時(shí)候：?
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可見濾波系數(shù)越小，濾波結(jié)果越平穩(wěn)，但是靈敏度越低；濾波系數(shù)越大，靈敏度越高，但濾波結(jié)果也越不穩(wěn)定；

不足

-靈敏度和平穩(wěn)度間的矛盾

-小數(shù)舍棄帶來的誤差?
比如：本次采樣值=25，上次濾波結(jié)果=24，濾波系數(shù)=10；?
根據(jù)算法得本次結(jié)果=24.0390625?
在單片機(jī)中，很少采用浮點(diǎn)數(shù)，小數(shù)部分要么舍棄，要么進(jìn)行四色五入。這樣結(jié)果就變成24；假如采樣值一直為25那么，結(jié)果永遠(yuǎn)是24；濾波結(jié)果和實(shí)際數(shù)據(jù)一直存在無法消除的誤差。?
嚴(yán)重時(shí)會導(dǎo)致，在數(shù)據(jù)采樣數(shù)據(jù)穩(wěn)定在某一數(shù)值上時(shí)，濾波結(jié)果曲線偏離實(shí)際值（即濾波結(jié)果在穩(wěn)定時(shí)與實(shí)際結(jié)果存在較大誤差）；

改善辦法

改變?yōu)V波系數(shù)，增大會導(dǎo)致平穩(wěn)度降低，濾波系數(shù)太大濾波也就喪失意義；?
將小數(shù)位參與計(jì)算，會給CPU帶來沉重運(yùn)算壓力；

優(yōu)化方法 —– 動態(tài)調(diào)整濾波系數(shù)

1、實(shí)現(xiàn)功能：?
-當(dāng)數(shù)據(jù)快速變化時(shí)，濾波結(jié)果能及時(shí)跟進(jìn)，并且數(shù)據(jù)的變化越快，靈敏度應(yīng)該越高（靈敏度優(yōu)先原則）?
-當(dāng)數(shù)據(jù)趨于穩(wěn)定，并在一個(gè)范圍內(nèi)振蕩時(shí)，濾波結(jié)果能趨于平穩(wěn)（平穩(wěn)度優(yōu)先原則）?
-當(dāng)數(shù)據(jù)穩(wěn)定后，濾波結(jié)果能逼近并最終等于采樣數(shù)據(jù)（消除因計(jì)算中小數(shù)帶來的誤差）?
2、調(diào)整前判斷：?
-數(shù)據(jù)變化方向是否為同一個(gè)方向（如當(dāng)連續(xù)兩次的采樣值都比其上次濾波結(jié)果大時(shí)，視為變化方向一致，否則視為不一致）?
-數(shù)據(jù)變化是否較快（主要是判斷采樣值和上一次濾波結(jié)果之間的差值）?
3、調(diào)整原則：?
-當(dāng)兩次數(shù)據(jù)變化不一致時(shí)，說明有抖動，將濾波系數(shù)清零，忽略本次新采樣值?
-當(dāng)數(shù)據(jù)持續(xù)向一個(gè)方向變化時(shí)，逐漸提高濾波系數(shù)，提供本次采樣值得權(quán)；?
-當(dāng)數(shù)據(jù)變化較快（差值>消抖計(jì)數(shù)加速反應(yīng)閾值）時(shí)，要加速提高濾波系數(shù)

調(diào)整濾波系數(shù)的程序流程:

幾個(gè)常量參數(shù)及其取值范圍：?
（不同的取值會影響濾波的靈敏度和穩(wěn)定度）?
1、消抖計(jì)數(shù)加速反應(yīng)閾值，取值根據(jù)數(shù)據(jù)情況確定?
2、消抖計(jì)數(shù)最大值，一般取值10；?
3、濾波系數(shù)增量，一般取值范圍為10~30?
4、濾波系數(shù)最大值，一般取值255；?

在調(diào)用一階濾波程序前，先調(diào)用調(diào)整濾波系數(shù)程序，對系數(shù)進(jìn)行即時(shí)調(diào)整

濾波效果

1、當(dāng)采樣數(shù)據(jù)偶然受到干擾，濾波結(jié)果中的干擾完全被濾除?
2、當(dāng)數(shù)據(jù)在一個(gè)范圍內(nèi)振蕩時(shí)，濾波結(jié)果曲線非常平滑，幾乎是一根直線?
3、當(dāng)采樣數(shù)據(jù)發(fā)生真實(shí)的變化時(shí)，濾波結(jié)果也能比較及時(shí)地跟進(jìn)?
4、當(dāng)采樣數(shù)據(jù)趨于穩(wěn)定時(shí)，濾波結(jié)果逐漸逼近并最終等于采樣數(shù)據(jù)

-最終改進(jìn)算法，兼顧了靈敏度和平穩(wěn)度的要求；同時(shí)又不太消耗系統(tǒng)的RAM；?
-只要合理調(diào)整幾個(gè)常量，以使得算法更合適實(shí)際應(yīng)用；

應(yīng)用

下面是一個(gè)使用了動態(tài)調(diào)整濾波的例子：

程序：

//用MPU6050測得數(shù)據(jù)；對x軸濾波處理#define Threshold_1 8 //閾值1用于一階帶參濾波器，變化角度大于此值時(shí)，計(jì)數(shù)增加 #define Threshold_2 30 //閾值2用于一階帶參濾波器，計(jì)數(shù)值大于此值時(shí)，增大參數(shù)，增強(qiáng)濾波跟隨float K_x=0; //濾波系數(shù) u8 new_flag_x=0;//本次數(shù)據(jù)變化方向 u8 num_x=0;//濾波計(jì)數(shù)器/*****帶系數(shù)修改的一階濾波函數(shù)入口： NEW_DATA 新采樣的角度值OLD_DATA 上次濾波獲得的角度結(jié)果k 濾波系數(shù)(代表在濾波結(jié)果中的權(quán)重)flag 上次數(shù)據(jù)變化方向 出口： result 本次濾波角度結(jié)果*/ float filter_1_x(float NEW_DATA,float OLD_DATA,float k,u8 flag) {//角度變化方向，new_flag=1表示角度增加，=0表示角度正在減小if((NEW_DATA-OLD_DATA)>0)new_flag_x=1;else if((NEW_DATA-OLD_DATA)<0)new_flag_x=0;if(new_flag_x==flag) //此次變化與前一次變化方向是否一致，相等表示角度變化方向一致{num_x++;if(fabs((NEW_DATA-OLD_DATA))>Threshold_1)//當(dāng)變化角度大于Threshold_1度的時(shí)候，進(jìn)行計(jì)數(shù)器num快速增加，以達(dá)到快速增大K值，提高跟隨性num_x+=5; if(num_x>Threshold_2) //計(jì)數(shù)閾值設(shè)置，當(dāng)角度遞增或遞減速度達(dá)到一定速率時(shí)，增大K值{K_x=k+0.2; //0.2為K_x的增長值，看實(shí)際需要修改num_x=0;}}else {num_x=0;K_x=0.01; //角度變化穩(wěn)定時(shí)K_x值，看實(shí)際修改}OLD_DATA=(1-K_x)*OLD_DATA+K_x*NEW_DATA;return OLD_DATA; }

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上幾張圖片：?

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修改程序中的閾值1和閾值2，可獲得不同的濾波效果

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再次聲明：本文整理自網(wǎng)絡(luò)、《匠人手記》等書籍文章，僅作為個(gè)人學(xué)習(xí)筆記

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的一阶RC低通滤波的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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