一階RC低通濾波

從模擬到數字
本文整理自網絡、《匠人手記》等書籍文章

• 模擬電路低通濾波時域、頻域
• 軟件低通濾波

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典型電路

圖1 典型RC電路
直流、交流、脈沖信號都可以用它

時域

電容電流：

Ic=dqdt=d(C?Uo)dt=CdUodt
基爾霍夫電壓定律得：
Ui=RCdUodt+Uo
Ui的單位是伏特，RC的單位為秒，τ=RC；
解得:
Uo(t)=Ui(1?e∧(?t/RC))
假設電容初始電壓值為0
R=1000Ω
C=4.7uF
Ui=1V
t=0.0001~0.1s
τ=RC
Vc(τ)=0.632

圖2 一階RC系統的階躍響應曲線

頻域

u1=Ui；u2=Uo；
以電容電壓作為輸出，電路的網絡函數為：

H(jω)=U2U1=1jωCR+1jωC=11+jωRC
令ωc= 1RC=1τ
ωc即為截止頻率；

幅值和相角函數：

|H(jω)|=11+(ωωc)2????????√

θ(ω)=?arctanωωc

各變量取值：
R=1000Ω
C=4.7uF

j=?1???√
ω=1RC
fc=12πRC
A(f)=1j2πfRC+1
|A(fc)|=0.707
θ(f)=180arg(A(f))π
θ(fc)=-45

f=0.001、1、…….100000

幅頻和相頻特性圖：

圖3

圖4
幅頻特性圖的對數表示：

圖5

-當ω<ωc時，幅值是平行于坐標的直線，基本無衰減；　

-當ω>>ωc時，是斜率與-20dB/十倍頻成比例的一條直線；　

-當ω=ωc時，增益衰減至0.707，即-3dB，相位滯后45度，對應低通濾波器，該頻率通常被稱為截止頻率。

缺點：
采用這種模擬濾波器抑制低頻干擾時，要求濾波器有較大的時間常數和高精度的RC網絡，增大時間常數要求增大R值，其漏電流也隨之增大，從而降低了濾波效果；

軟件上的一階低通濾波

優點：

-采用數字濾波算法來實現動態的RC濾波，則能很好的克服模擬濾波器的缺點；
-在模擬常數要求較大的場合這種算法顯得更為實用；
-其對于周期干擾有良好的抑制作用，
-比較節省RAM空間

缺點

-不足之處是帶來了相位滯后，導致靈敏度低；
-同時它不能濾除頻率高于采樣頻率的二分之一（稱為奈奎斯特頻率）的干擾（例如采樣頻率為100Hz，則它不能濾除50Hz以上的干擾信號）對于高于奈奎斯特頻率的干擾信號，應該采用模擬濾波器。
-對沒有乘、除法運算指令的單片機來說，程序運算工作量較大

基本濾波算法：

算法由來：
頻率分析中一階RC低通濾波在S域的傳遞函數：

VoutVin=1RCs+1,(s=jω)
通過z變換（方法很多，如一階前向差分、雙線性變換等這里用一階后向差分法）
s=1?z∧(?1)T,T表示采樣周期

帶入S域傳遞函數中：

Y(z)X(z)=1RC1?z∧(?1)T+1=TRC(1?z∧(?1))+T
推導轉化為差分方程后可得：
Y(n)=TT+RCX(n)+RCT+RCY(n?1)
通過Z變換把S域的傳遞函數轉化成時域的差分方程，分析可得到

一階RC數字濾波的基本算法

X為輸入，Y為濾波后得輸出值，則：

Y(n)=a?X(n)+(1?a)?Y(n?1)

a為與RC值有關的一個參數，稱為濾波系數，其值決定新采樣值在本次濾波結果中所占的權重，其值通常遠小于1，當采樣間隔t足夠小的時候，

a=tRC

-濾波系數越小，濾波結果越平穩，但是靈敏度越低；

-濾波系數越大，靈敏度越高，但是濾波結果越不穩定

-本次輸出值主要取決于上次濾波輸出值，當前采樣值對本次輸出貢獻比較小，起到修正作用；

-截止頻率：

fl=a2πt
例如：t=0.5s (f=2Hz), a=1/32
則fl=(1/32)/(2*3.14*0.5)=0.01Hz;

基本程序：

按照一階濾波的基本原理與公式寫程序，如下：

/*程序中整數運算比小數運算快，為加快程序的處理速度，為計算方便，a取一整數，1-a用256-a來代替，a則取0~255,代表新采樣值在濾波結果中的權重（也可將1-a的基數改為100-a，計算結果做相應處理，這里不做說明）*/#define a 128 char value; //上次濾波值 char filter() {char new_value;new_value=get_ad();//本次采樣值return(256-a)*value/256+a*new_value/256； }

程序初步優化

減少乘、除的運算次數以提高運算速度。
具體優化辦法：
先將新采樣值與上次濾波結果進行比較，然后根據比較采用不同的公式計算，這樣程序的運算效率提高了一倍；
化解基本公式可得:

當Xn<Y(n?1)時，Yn=Y(n?1)?(Y(n?1)?Xn)×a÷256;
當Xn>Y(n?1)時，Yn=Y(n?1)+(Xn?Y(n?1))×a÷256;

流程圖：

程序：

/*入口：NEW_DATA 新采樣值OLD_DATA 上次濾波結果k 濾波系數(0~255)(代表在濾波結果中的權重)出口： 本次濾波結果*/char filter_1(char NEW_DATA,char OLD_DATA,char k) {int result;if(NEW_DATA<OLD_DATA){result=OLD_DATA-NEW_DATA;result=result*k;result=result+128;//+128是為了四色五入result=result/256;result=OLD_DATA-result;}else if(NEW_DATA>OLD_DATA){result=NEW_DATA-OLD_DATA;result=result*k;result=result+128;//+128是為了四色五入result=result/256;result=OLD_DATA-result;}else result=OLD_DATA;return((char)result); }

濾波分析：
當濾波系數為30的時候：

當濾波系數為128的時候：

當濾波系數為200的時候：

可見濾波系數越小，濾波結果越平穩，但是靈敏度越低；濾波系數越大，靈敏度越高，但濾波結果也越不穩定；

不足

-靈敏度和平穩度間的矛盾

-小數舍棄帶來的誤差
比如：本次采樣值=25，上次濾波結果=24，濾波系數=10；
根據算法得本次結果=24.0390625
在單片機中，很少采用浮點數，小數部分要么舍棄，要么進行四色五入。這樣結果就變成24；假如采樣值一直為25那么，結果永遠是24；濾波結果和實際數據一直存在無法消除的誤差。
嚴重時會導致，在數據采樣數據穩定在某一數值上時，濾波結果曲線偏離實際值（即濾波結果在穩定時與實際結果存在較大誤差）；

改善辦法

改變濾波系數，增大會導致平穩度降低，濾波系數太大濾波也就喪失意義；
將小數位參與計算，會給CPU帶來沉重運算壓力；

優化方法 —– 動態調整濾波系數

1、實現功能：
-當數據快速變化時，濾波結果能及時跟進，并且數據的變化越快，靈敏度應該越高（靈敏度優先原則）
-當數據趨于穩定，并在一個范圍內振蕩時，濾波結果能趨于平穩（平穩度優先原則）
-當數據穩定后，濾波結果能逼近并最終等于采樣數據（消除因計算中小數帶來的誤差）
2、調整前判斷：
-數據變化方向是否為同一個方向（如當連續兩次的采樣值都比其上次濾波結果大時，視為變化方向一致，否則視為不一致）
-數據變化是否較快（主要是判斷采樣值和上一次濾波結果之間的差值）
3、調整原則：
-當兩次數據變化不一致時，說明有抖動，將濾波系數清零，忽略本次新采樣值
-當數據持續向一個方向變化時，逐漸提高濾波系數，提供本次采樣值得權；
-當數據變化較快（差值>消抖計數加速反應閾值）時，要加速提高濾波系數

調整濾波系數的程序流程:

幾個常量參數及其取值范圍：
（不同的取值會影響濾波的靈敏度和穩定度）
1、消抖計數加速反應閾值，取值根據數據情況確定
2、消抖計數最大值，一般取值10；
3、濾波系數增量，一般取值范圍為10~30
4、濾波系數最大值，一般取值255；

在調用一階濾波程序前，先調用調整濾波系數程序，對系數進行即時調整

濾波效果

1、當采樣數據偶然受到干擾，濾波結果中的干擾完全被濾除
2、當數據在一個范圍內振蕩時，濾波結果曲線非常平滑，幾乎是一根直線
3、當采樣數據發生真實的變化時，濾波結果也能比較及時地跟進
4、當采樣數據趨于穩定時，濾波結果逐漸逼近并最終等于采樣數據

-最終改進算法，兼顧了靈敏度和平穩度的要求；同時又不太消耗系統的RAM；
-只要合理調整幾個常量，以使得算法更合適實際應用；

應用

下面是一個使用了動態調整濾波的例子：

程序：

//用MPU6050測得數據；對x軸濾波處理#define Threshold_1 8 //閾值1用于一階帶參濾波器，變化角度大于此值時，計數增加 #define Threshold_2 30 //閾值2用于一階帶參濾波器，計數值大于此值時，增大參數，增強濾波跟隨float K_x=0; //濾波系數 u8 new_flag_x=0;//本次數據變化方向 u8 num_x=0;//濾波計數器/*****帶系數修改的一階濾波函數入口： NEW_DATA 新采樣的角度值OLD_DATA 上次濾波獲得的角度結果k 濾波系數(代表在濾波結果中的權重)flag 上次數據變化方向 出口： result 本次濾波角度結果*/ float filter_1_x(float NEW_DATA,float OLD_DATA,float k,u8 flag) {//角度變化方向，new_flag=1表示角度增加，=0表示角度正在減小if((NEW_DATA-OLD_DATA)>0)new_flag_x=1;else if((NEW_DATA-OLD_DATA)<0)new_flag_x=0;if(new_flag_x==flag) //此次變化與前一次變化方向是否一致，相等表示角度變化方向一致{num_x++;if(fabs((NEW_DATA-OLD_DATA))>Threshold_1)//當變化角度大于Threshold_1度的時候，進行計數器num快速增加，以達到快速增大K值，提高跟隨性num_x+=5; if(num_x>Threshold_2) //計數閾值設置，當角度遞增或遞減速度達到一定速率時，增大K值{K_x=k+0.2; //0.2為K_x的增長值，看實際需要修改num_x=0;}}else {num_x=0;K_x=0.01; //角度變化穩定時K_x值，看實際修改}OLD_DATA=(1-K_x)*OLD_DATA+K_x*NEW_DATA;return OLD_DATA; }

上幾張圖片：

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修改程序中的閾值1和閾值2，可獲得不同的濾波效果

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再次聲明：本文整理自網絡、《匠人手記》等書籍文章，僅作為個人學習筆記

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【滤波器学习笔记】一阶RC低通滤波的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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