當(dāng)前位置：首頁 > 编程资源 > 编程问答 >内容正文

编程问答

R语言中ARMA，ARIMA（Box-Jenkins），SARIMA和ARIMAX模型用于预测时间序列数据

發(fā)布時間：2024/3/12 编程问答 25 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 R语言中ARMA，ARIMA（Box-Jenkins），SARIMA和ARIMAX模型用于预测时间序列数据小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

在本文中，我將介紹ARMA，ARIMA（Box-Jenkins），SARIMA和ARIMAX模型如何用于預(yù)測給定的時間序列數(shù)據(jù)。

?

使用后移運算符計算滯后差異

我們可以使用backshift運算符來執(zhí)行計算。例如，后軸運算符可用于計算的時間序列值的滯后差異?y經(jīng)由yi?Bk(yi),?i∈k+1,…,tyi?Bk(yi),?i∈k+1,…,t其中kk表示的差異滯后。對于k=1k=1，我們獲得普通的成對差異，而對于k=2k=2我們獲得相對于前任先前的成對差異。讓我們考慮R中的一個例子。

使用R，我們可以使用diff函數(shù)計算滯后差異。函數(shù)的第二個參數(shù)表示所需的滯后kk，默認(rèn)設(shè)置為k=1k=1。例如：

By <- diff(y) # y_i - B y_i B3y <- diff(y, 3) # y_i - B^3 y_i message(paste0("y is: ", paste(y, collapse = <span style="color: ## y is: 1,3,5,10,20 ## By is: 2,2,5,10 ## B^3y is: 9,17

?自相關(guān)函數(shù)

要計算自相關(guān)，我們可以使用以下R函數(shù)：

<code>get_autocor <- function(x, lag) {x.left <- x[1:(length(x) - lag)]x.right <- x[(1+lag):(length(x))]autocor <- cor(x.left, x.right)return(autocor) }</code>

<code># correlation of measurements 1 time point apart (lag 1) get_autocor(y, 1) </code> ## [1] 0.9944627 <code># correlation of measurements 2 time points apart (lag 2) get_autocor(y, 2)</code> ## [1] 0.9819805

數(shù)據(jù)的高度自相關(guān)表明數(shù)據(jù)具有明確的時間趨勢。

部分自相關(guān)

由于觀察到較大滯后的自相關(guān)可以是較低滯后的相關(guān)結(jié)果，因此通常值得考慮部分自相關(guān)函數(shù)（pACF）。pACF的想法是計算部分相關(guān)性，這種相關(guān)性決定了對變量的最近觀察的相關(guān)性。pACF定義為：

φkk:=Corr(yt,yt?k|yt?1,?,yt?k+1)k=0,1,2,?φkk:=Corr?(yt,yt?k|yt?1,?,yt?k+1)k=0,1,2,?

使用pACF可以識別是否存在實際滯后的自相關(guān)或這些自相關(guān)是否是由其他測量引起的。

計算和繪制ACF和pACF的最簡單方法是分別使用acf和pacf函數(shù)：

<code>par(mfrow = c(1,2)) acf(y) # conventional ACF pacf(y) # pACF</code>

在ACF可視化中，ACF或pACF被繪制為滯后的函數(shù)。指示的水平藍(lán)色虛線表示自相關(guān)顯著的水平。

分解時間序列數(shù)據(jù)

?StSt
TtTt
?t?t

執(zhí)行分解的方式取決于時間序列數(shù)據(jù)是加法還是乘法。

加法和乘法時間序列數(shù)據(jù)

加法模型假設(shè)數(shù)據(jù)可以分解為

yt?=?St?+?Tt?+??t.yt?=?St?+?Tt?+??t.

另一方面，乘法模型假設(shè)數(shù)據(jù)可以被分解為

添加劑：每個時期的季節(jié)效應(yīng)放大器相似。
乘法：季節(jié)性趨勢隨時間序列的變化而變化。

AirPassengers數(shù)據(jù)集提供了乘法時間序列的示例。

<code>data(AirPassengers) plot(AirPassengers)</code>

log(StTt?t)=log(St)+log(Tt)+log(?t)log?(StTt?t)=log?(St)+log?(Tt)+log?(?t)AirPassengers?數(shù)據(jù)集：

<code>plot(log(AirPassengers))</code>

正如我們所看到的，采用對數(shù)已經(jīng)使季節(jié)性成分的幅度沿時間均衡。請注意，總體增長趨勢沒有改變。

在R中分解時間序列數(shù)據(jù)

要分解R中的時間序列數(shù)據(jù)，我們可以使用該decompose函數(shù)。請注意，我們應(yīng)該通過type參數(shù)提供時間序列是加法的還是乘法的。

示例1：AirPassengers數(shù)據(jù)集

對于AirPassengers數(shù)據(jù)集，我們指定數(shù)據(jù)是乘法的并獲得以下分解：

<code>plot(decompose(AirPassengers, type = "multiplicative"))</code>

分解表明，多年來航空公司乘客總數(shù)在增加。此外，我們已經(jīng)觀察到的季節(jié)性影響已被清楚地捕捉到。

示例2：EuStockMarkets數(shù)據(jù)集

讓我們考慮可以為EuStockMarkets數(shù)據(jù)集找到的分解：

] # DAX data # data do not seem to be multiplicative, use additive decomposition decomposed <- decompose(daxData, type = <

該圖顯示了1992年至1998年的DAX數(shù)據(jù)中的以下內(nèi)容：

整體價值穩(wěn)步上升。
季節(jié)性趨勢強(qiáng)烈：每年年初，股價相對較低，并在夏季結(jié)束時達(dá)到相對最大值。
除1997年和1998年之間的最終測量外，隨機(jī)噪聲的貢獻(xiàn)可以忽略不計。

固定與非固定過程

生成時間序列數(shù)據(jù)的過程可以是靜止的也可以是非靜止的。例如，數(shù)據(jù)EuStockMarkets和AirPassengers數(shù)據(jù)都是非平穩(wěn)的，因為數(shù)據(jù)有增加的趨勢。為了更好地區(qū)分固定和非固定過程，請考慮以下示例：

# climate data library(tseries) data(nino)

左圖顯示了一個靜止過程，其中數(shù)據(jù)在所有測量中表現(xiàn)相似。右圖顯示了一個非平穩(wěn)過程，其中平均值隨著時間的推移而增加。

介紹了與時間序列數(shù)據(jù)分析相關(guān)的最重要概念后，我們現(xiàn)在可以開始研究預(yù)測模型。

ARMA模型

ARMA代表自回歸移動平均線。ARMA模型僅適用于固定過程，并具有兩個參數(shù)：

p：自回歸（AR）模型的順序
q：移動平均（MA）模型的順序

ARMA模型可以指定為

?^?=?c?+?ε?+?Σi?=?1pφ一世?t?-?我-?Σj?=?1qθ?εt?-?j。y^t=c+?t+∑i=1p?iyt?i?∑j=1qθj?t?j.

使用以下變量：

cc
?t?ttt?t～N(0,σ2)?t～N(0,σ2)
?∈Rp?∈Rp
ytyttt
θ∈Rqθ∈Rq
?t?ttt

使用backshift運算符制定ARMA模型

使用backshift運算符，我們可以通過以下方式制定ARMA模型：

（?1?-?Σi?=?1pφ一世乙一世）y?=?（?1?-?Σj?=?1qθ?乙?）ε?(1?∑i=1p?iBi)yt=(1?∑j=1qθjBj)?j

?p(B)=1?∑pi=1?iBi?p(B)=1?∑i=1p?iBiθq(B)=1?∑qj=1θjBjθq(B)=1?∑j=1qθjBj

?p(B)yt=θq(B)?t.?p(B)yt=θq(B)?t.

ARIMA模型

總之，ARIMA模型具有以下三個參數(shù)：

p：自回歸（AR）模型的順序
d：差異程度
q：移動平均（MA）模型的順序

在ARIMA模型中，通過將替換差異，將結(jié)果轉(zhuǎn)換為差異ytyt

(1?B)dyt.(1?B)dyt.

然后通過指定模型

?p(B)(1?B)dyt=θq(B)?t.?p(B)(1?B)dyt=θq(B)?t.

d=0d=0(1?B)0yt=yt(1?B)0yt=ytdd

(1?B)1yt(1?B)2yt=yt?yt?1=(1?2B+B2)yt=yt?2yt?1+yt?2(1?B)1yt=yt?yt?1(1?B)2yt=(1?2B+B2)yt=yt?2yt?1+yt?2

在下文中，讓我們考慮ARIMA模型的三個參數(shù)的解釋。

pp

p∈N0p∈N0d=0d=0Byt=yt?1Byt=yt?1?1?1yt?1yt?1yt?2yt?2?1?1?2?2

p=1p=1d=0d=0q=0q=0

y^t=μ?t+?1yt?1y^t=μ?t+?1yt?1

自回歸的影響

我們可以使用該arima.sim函數(shù)模擬自回歸過程。通過該功能，可以通過提供要使用的MA和AR項的系數(shù)來指定模型。在下文中，我們將繪制自相關(guān)圖，因為它最適合于發(fā)現(xiàn)自回歸的影響。

) par(mfrow = c(2, 2)) # 880000">"ARIMA(1,0,0)") # plot partial acf acf(x, type = "partial", main = "Partial aut "color:#880000">0.65, 0.3)), n = 1000) plot(x, main = "ARIMA(2,0,0)") acf(x, type = "partial"

第一個例子表明，對于ARIMA（1,0,0）過程，訂單1的pACF非常高，而對于ARIMA（2,0,0）過程，訂單1和訂單2自相關(guān)都很重要。因此，可以根據(jù)pACF顯著的最大滯后來選擇AR項的順序。

dd

?ARIMA（0,1,0）模型簡化為隨機(jī)游走模型

y^t=μ+?t+yt?1.y^t=μ+?t+yt?1.

?差異的影響

以下示例演示了差異對AirPassengers數(shù)據(jù)集的影響：

), main = "After differencing")</code>

雖然第一個圖表顯示數(shù)據(jù)顯然是非靜止的，但第二個圖表明差異時間序列是相當(dāng)靜止的。

qq

其中當(dāng)前估計值取決于先前測量值的殘差。

移動平均線的影響

可以通過繪制自回歸函數(shù)來研究移動平均線的影響：

x <- arima.sim(list(ma = 0.75),n = 1000) plot(x, main = "ARIMA(0,0,1)") acf(x, main = )</code>

請注意，對于自回歸圖，我們需要注意第一個x軸位置表示滯后為0（即標(biāo)識向量）。在第一個圖中，只有第一個滯后的自相關(guān)是顯著的，而第二個圖表明前兩個滯后的自相關(guān)是顯著的。為了找到MA術(shù)語的數(shù)量，適用與AR術(shù)語類似的規(guī)則：MA術(shù)語的順序?qū)?yīng)于自相關(guān)顯著的最大滯后。

在AR和MA術(shù)語之間進(jìn)行選擇

為了確定哪個更合適，AR或MA術(shù)語，我們需要考慮ACF（自相關(guān)函數(shù)）和PACF（部分ACF）。使用這些圖我們可以區(qū)分兩個簽名：

AR和MA術(shù)語的影響

AR和MA術(shù)語的組合導(dǎo)致以下時間序列數(shù)據(jù)：

# ARIMA(1,0,1) x <- arima.sim(list(order = c(1,0,1), ar = 0.8, ma = 0.8), n = 1000) plot(x, main = "ARIMA(1,0,1)") acf(x, main = x <- arima.sim( ) plot(x, main = "ARIMA(2,0,2)") acf(x, main = "ACF") pacf(x, main = "pACF")</code>

?SARIMA模型

?P：季節(jié)性自回歸（SAR）項的數(shù)量
D：季節(jié)差異程度
問：季節(jié)性移動平均線（SMA）的數(shù)量

ARIMAX模型

R中的預(yù)測

auto.arimaforecastppddqqPPDDQQstepwiseapproximationFALSE

SARIMA模型用于固定過程

我們將使用包中的nino數(shù)據(jù)展示ARMA的使用，該數(shù)據(jù)tseries給出了Nino Region 3.4指數(shù)的海面溫度。讓我們驗證數(shù)據(jù)是否靜止：

d=0d=0

為了驗證是否存在任何季節(jié)性趨勢，我們將分解數(shù)據(jù)：

<code>nino.components <- decompose(nino3.4) an>

沒有整體趨勢，這是固定過程的典型趨勢。但是，數(shù)據(jù)存在強(qiáng)烈的季節(jié)性因素。因此，我們肯定希望包含對季節(jié)性影響進(jìn)行建模的參數(shù)。

季節(jié)性模型

(P,D,Q)S(P,D,Q)SD=0D=0ninoS=12S=12

<code>nino.season <- nino.components$seasonal ode>

P=2P=2Q=0Q=0

非季節(jié)性模型

ppqq

< tyle="color:#000000"><code>par(mfrow = c(1,2)) acfp <- acf(n #888888"># transform lag from years to months acfp$lag <- acfp$lag * 12 plot(acfp, main = months acfpl$lag <- acfpl$lag * 12 plot(acfpl, main = "pACF")</code>

?我們可以使用包中的Arima函數(shù)來擬合模型forecast。

# non-seasonal model: (p,d,q) order.non.seasonal <- c(2,0 r:#880000">2,0,0) A <- Arima(nino3.4, order = order.non.seasonal,seasonal = order.seasonal)</code>

我們現(xiàn)在可以使用該模型來預(yù)測未來Nino 3.4地區(qū)的氣溫如何變化。有兩種方法可以從預(yù)測模型中獲得預(yù)測。第一種方法依賴于predict函數(shù)，而第二種方法使用包中的forecast函數(shù)forecast。使用該predict功能，我們可以通過以下方式預(yù)測和可視化結(jié)果：

<code># to construct a custom plot, we can us n> ## ## Attaching package: 'ggplot2' ## The following object is masked from 'package:forecast': ## ## autolayer 0), cbind(fortify(fore df$y + plot.df$sd * 1.96 plot.df$lower <- plot.df$y - plot.df$sd * 1.96 ggplot(plot.df, aes(x = x ,y = y)) + ylab("Temperature") + xlab("Year")</code>

如果我們不需要自定義繪圖，我們可以使用以下forecast函數(shù)更輕松地獲取預(yù)測和相應(yīng)的可視化：

# use the forecast function to use the built-in plotting function: forecast <- forecast(A, h = 60) # predict 5 years into the future plot(forecast)

用于非平穩(wěn)數(shù)據(jù)的ARIMA模型

為了演示ARIMA模型對非平穩(wěn)數(shù)據(jù)的使用，我們將使用包中的gtemp數(shù)據(jù)集astsa。該數(shù)據(jù)集提供全球平均陸地 - 海洋溫度偏差的年度測量值。

<code>library(astsa) data(gtemp)

d=1d=1

<span style="

現(xiàn)在，數(shù)據(jù)似乎是靜止的。

<code>par(mfrow = c(1,

p=0p=0q=1q=1

<span style="

我們現(xiàn)在可以預(yù)測未來幾年平均陸地 - 海洋溫度偏差將如何變化：

tyle="color:#000000"><cod 8"># predict 30 years into the future pan>

該模型表明，未來幾年平均陸地 - 海洋溫度偏差將進(jìn)一步增加。

關(guān)于空氣質(zhì)量數(shù)據(jù)集的ARIMAX

為了展示ARIMAX模型的使用，我們將使用臭氧數(shù)據(jù)集。

讓我們加載臭氧數(shù)據(jù)集并將其劃分為測試和訓(xùn)練集。請注意，我們已確保訓(xùn)練和測試數(shù)據(jù)包含連續(xù)的時間測量。

<code>data(airquality) ozone <- subset(na.omit(airquality)) set.seed(123) N.train <- ceiling(0.7 * nrow(ozone)) N.test <- nrow(ozone) - N.train # ensure to take only subsequent measurements for time-series analysis: trainset <- seq_len(nrow(ozone))[1:N.train] testset <- setdiff(seq_len(nrow(ozone)), trainset)</code>

由于數(shù)據(jù)集未指示相對時間點，我們將手動創(chuàng)建此類注釋：

為此，我們將在臭氧數(shù)據(jù)集中創(chuàng)建一個新列，該列反映了相對時間點：

"%j")) max.date <- as.numeric(format(max(dates), "%j")) ozone.ts <- ts(ozone$Ozone, start = min.date, end = max.date, frequency = 1) ozone.ts <- window(ozone.ts, , 231) # deal with repetition due to missing time values ozone$t <- seq(start(ozone.ts t</code>

現(xiàn)在我們有了時間維度，我們可以繪制臭氧水平的縱向行為：

<code>library(ggplot2) ggplot(ozone, aes(x = t, y = Ozone)) + geom_line() +geom_point()</code>

時間序列數(shù)據(jù)似乎是固定的。讓我們考慮ACF和pACF圖，看看我們應(yīng)該考慮哪些AR和MA術(shù)語

< :#880000">"partial")</code>

自相關(guān)圖非常不清楚，這表明數(shù)據(jù)中實際上沒有時間趨勢。因此，我們會選擇ARIMA（0,0,0）模型。由于具有參數(shù)（0,0,0）的ARIMAX模型沒有傳統(tǒng)線性回歸模型的優(yōu)勢，我們可以得出結(jié)論，臭氧數(shù)據(jù)的時間趨勢不足以改善臭氧水平的預(yù)測。讓我們驗證一下：

library(MASS) get.weights <- function(ozone) {z.scores <- (ozone$Ozone - mean(ozone$Ozone)) / sd(ozone$Ozone)weights <- exp(z.scores)weights <- l$pred, ozone[testset, "Ozone"])^2 print(Rsquared.linear)</code> ## [1] 0.7676977 <code>print(Rsquared.temporal)</code> ## [1] 0.7569718

我們可以看到具有負(fù)二項式可能性的線性模型優(yōu)于ARIMAX模型。

關(guān)于空氣質(zhì)量數(shù)據(jù)集的ARIMAX

要在更合適的數(shù)據(jù)集上演示ARIMAX模型，讓我們Icecream從Ecdat包中加載數(shù)據(jù)集：

<

該Icecream數(shù)據(jù)集包含以下變量：

缺點：人均品脫的冰淇淋消費量。
收入::美元平均每周家庭收入。
價格：每品脫冰淇淋的價格。
temp：華氏溫度的平均溫度。

測量結(jié)果是從1951-03-18到1953-07-11的四周觀測。

我們將模擬缺點，冰淇淋消費作為時間序列，并使用收入，價格和平均值作為外生變量。在開始建模之前，我們將從數(shù)據(jù)框中創(chuàng)建一個時間序列對象。

"1951-03-18"), as.Date("1953-07-11"))) months <- c(seq(3,12), se or:#880000">1, 52, 4)) ice.ts <- ts(Icecream$cons, start = c(1951, 3), end = c(1953, 6), frequency = 52/4)</code>

我們現(xiàn)在調(diào)查數(shù)據(jù)：

<code>plot(decompose(ice.ts))</code>

因此，數(shù)據(jù)有兩種趨勢：

總體而言，1951年至1953年間，冰淇淋的消費量大幅增加。

冰淇淋銷售在夏季達(dá)到頂峰。

ppqq

"partial")</code>

由于季節(jié)性趨勢，我們可能適合ARIMA（1,0,0）（1,0,0）模型。但是，由于我們知道溫度和外生變量的收入，因此它們可以解釋數(shù)據(jù)的趨勢：

<code>plot(Icecream$temp) # explains the seasonal trend</code><

由于income解釋了整體趨勢，我們不需要漂移術(shù)語。此外，由于temp解釋了季節(jié)性趨勢，我們不需要季節(jié)性模型。因此，我們應(yīng)該使用ARIMAX（1,0,0）模型進(jìn)行預(yù)測。為了研究這些假設(shè)是否成立，我們將使用以下代碼將ARIMAX（1,0,0）模型與ARIMA（1,0,0）（1,0,0）模型進(jìn)行比較

yle="color:#880000">"income", "temp")],order = c(1,0,0)) preds <- forecast(A, xreg = Icecream[test, c("income", "temp")]) plot(preds) lines(window(ice.ts, c(1951, 22), c(1951, 24) lines(x = as.numeric(rownames(as.data.frame(preds))), y = as.data.frame(preds)[,2], lty = 2)</code>

ARIMAX（1,0,0）模型的預(yù)測顯示為藍(lán)色，而ARIMA（1,0,0）（1,0,0）模型的預(yù)測顯示為虛線。實際觀察值顯示為黑線。結(jié)果表明，ARIMAX（1,0,0）明顯比ARIMA（1,0,0）（1,0,0）模型更準(zhǔn)確。

但請注意，ARIMAX模型在某種程度上不像純ARIMA模型那樣有用于預(yù)測。這是因為，ARIMAX模型需要對應(yīng)該預(yù)測的任何新數(shù)據(jù)點進(jìn)行外部測量。例如，對于冰淇淋數(shù)據(jù)集，我們沒有超出1953-07-11的外生數(shù)據(jù)。因此，我們無法使用ARIMAX模型預(yù)測超出此時間點，而ARIMA模型可以實現(xiàn)：

<code>preds <- forecast(A.season, h = 60) plot(preds)</code>

非常感謝您閱讀本文，有任何問題請聯(lián)系我們！

?

大數(shù)據(jù)部落?-中國專業(yè)的第三方數(shù)據(jù)服務(wù)提供商，提供定制化的一站式數(shù)據(jù)挖掘和統(tǒng)計分析咨詢服務(wù)

統(tǒng)計分析和數(shù)據(jù)挖掘咨詢服務(wù)：y0.cn/teradat（咨詢服務(wù)請聯(lián)系官網(wǎng)客服）

?QQ：3025393450

【服務(wù)場景】??

科研項目; 公司項目外包;線上線下一對一培訓(xùn);數(shù)據(jù)采集;學(xué)術(shù)研究;報告撰寫;市場調(diào)查。

【大數(shù)據(jù)部落】提供定制化的一站式數(shù)據(jù)挖掘和統(tǒng)計分析咨詢

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/tecdat/p/10821111.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的R语言中ARMA，ARIMA（Box-Jenkins），SARIMA和ARIMAX模型用于预测时间序列数据的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。

上一篇： oracle 基本语法大全
下一篇： ibm 2011年服务器型号,IBM x