1、用尺規(guī)作出一條直線，使其同時(shí)平分一個(gè)三角形的面積和周長(zhǎng)。

這是一個(gè)引人入勝的經(jīng)典問(wèn)題。很多人都研究過(guò)她。例如顧森在文[1]中探討過(guò)相關(guān)問(wèn)題，不過(guò)尺規(guī)作圖的過(guò)程不是很常見。即使有過(guò)程，基本也沒(méi)有作圖的思考過(guò)程。讓讀者感覺(jué)丈二和尚——摸不著頭腦。本篇文章想展示一下本人對(duì)此題的思考和探索過(guò)程。

我對(duì)這個(gè)問(wèn)題印象也非常深刻，因?yàn)檫@是我1996年參加的初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的選擇題第5題即和此問(wèn)題有關(guān)，題目為：

2、如果一條直線同時(shí)平分一個(gè)三角形的面積和周長(zhǎng)，則此直線一定通過(guò)此三角形的___。

A 內(nèi)心 ???B外心 ????C重心 ?????D垂心

當(dāng)時(shí)一卷中只有此題我答案不確定，最后因?yàn)闀r(shí)間關(guān)系我隨意選了C，考完試我突然醒悟，正確答案是A，證明并不太困難。

因?yàn)槿绻粭l直線JK通過(guò)內(nèi)心I且平分△ABC周長(zhǎng)，

即AJ+AK=BJ+BC+CK.

則連接AI,BI,CI,

我們知道內(nèi)心到三邊距離相等均為r，

為了方便，我們用[ABC]表示△ABC面積，其他類似。

這樣我們得到

[AJK]=[AJI]+[AKI]=0.5r(AJ+AK),

[BJKC]=[BJI]+[BIC]+[CIK]=0.5r(BJ+BC+CK),

從而[AJK]=[BJKC]，

即JK平分△ABC面積。

這就基本上證明了此結(jié)論。

但是這個(gè)證明答非所問(wèn)，文不對(duì)題，

因?yàn)樗皇亲C明了如果一條直線通過(guò)三角形內(nèi)心且平分三角形周長(zhǎng)，則平分其面積。

當(dāng)然類似可證如果一條直線通過(guò)三角形內(nèi)心且平分三角形面積，則平分其周長(zhǎng)。

我們需要證明的是如果一條直線平分三角形面積，且平分其周長(zhǎng)，則此直線通過(guò)三角形內(nèi)心。

這個(gè)感覺(jué)更難一些，不過(guò)可以考慮如法炮制。相當(dāng)于用同一法。

證明：設(shè)JK平分△ABC周長(zhǎng)和面積，

即AJ+AK=BJ+BC+CK，[AJK]=[BJKC]，

設(shè)角A內(nèi)角平分線交JK于I，I到三邊距離為r,r,x。

因?yàn)閇AJK]=[BJKC]，

即[AJI]+[AKI]=[BJI]+[BIC]+[CIK]，

即0.5r(AJ+AK)=0.5r(BJ+CK)+0.5x*BC，

把AJ+AK=BJ+BC+CK代入上式得到

0.5r(BJ+BC+CK)=0.5r(BJ+CK)+0.5x*BC，

故x=r,

則I為△ABC內(nèi)心，

即JK經(jīng)過(guò)△ABC內(nèi)心。

要用尺規(guī)作出JK，

下面希望得到一個(gè)關(guān)于AJ,AK的等式，

設(shè)△ABC邊角為a,b,c;A,B,C。2p=a+b+c,

∠JAI=θ=0.5A,

AJ+AK=p,

則[AJI]+[AIK]=[AJK],

即AJ*AIsinθ+AK*AIsinθ=AJ*AKsin2θ,

則AJ*AK=p*AI/(2cosθ)為定值,

這樣由兩線段和與積即可作出他們。

最笨的作圖方法是用求根公式，

比較巧妙的辦法是用初版于1959年，被譽(yù)為中國(guó)的幾何原本的書[2]中的方法，

利用韋達(dá)定理和切割線定理即可。

基本思路就是在AB直線上作出AG=AJ+AK=p,

在AC上作出AH=p,AN=AI/(2cosθ),

設(shè)AG,NH中垂線交于M,

以M為圓心MN為半徑的圓交AB于O,J,

JI交AC于K，則JK即為所求。

這樣就得到了如下作圖方法：

尺規(guī)作圖過(guò)程如下：

1、作△ABC內(nèi)心I，

2、在AB、AC上作AG=AH=p,

3 、過(guò)I作AI垂線交AC于P，

4、作AP中點(diǎn)N，

5、作AG、NH中垂線交于M，

6、以M為圓心MN為半徑畫圓

交AB于J，O，

7、JI交線段AB于K。

則JK即為所求的一條直線。

這樣算是得到了一種還算合理的作圖方法，當(dāng)然關(guān)鍵是得到的等式，熟悉幾何的讀者應(yīng)該不陌生，因?yàn)檫@其實(shí)這就是張角定理的證明思路。

至此顯然還沒(méi)有結(jié)束，因?yàn)檫€有很多疑問(wèn)。

首先的問(wèn)題是這樣的直線有幾條？

是不是一定存在呢？

答案是肯定的。

如果代數(shù)上證明，要么用均值不等式要么用判別式，都不太困難。

如果從幾何上看，過(guò)I的任意一條直線，不妨設(shè)直線上方的面積大，此直線繞著I旋轉(zhuǎn)180°后，上下面積顛倒，下面的面積大了，因?yàn)樾D(zhuǎn)過(guò)程中面積是連續(xù)變化的，所以中間一定有一個(gè)時(shí)刻兩邊面積相等，從而這樣的直線至少有一條。

那這樣的直線會(huì)不會(huì)更多呢？

答案是有可能的，上述作法中圓與AB交點(diǎn)有兩個(gè)J和O，JI滿足。如果OI能和線段AC相交，由對(duì)稱性則應(yīng)該也滿足，通過(guò)嘗試可以發(fā)現(xiàn)，這樣的直線最多有三條！如下圖，就是滿足條件的三條直線。

要嚴(yán)格證明最多有三條，及什么條件下有一條、兩條、三條，感覺(jué)還是比較困難的。

容易聯(lián)想到本公眾號(hào)前面一篇相關(guān)的文章[3]，里面探討了過(guò)一定點(diǎn)作直線平分三角形面積問(wèn)題，而本題可以轉(zhuǎn)化為過(guò)內(nèi)心I作直線平分三角形面積，根據(jù)[3]里面的結(jié)果可知這樣的直線最多有三條。

相關(guān)問(wèn)題基本解決。我又想到一個(gè)問(wèn)題：上述的作圖過(guò)程是按我的理解，先證明此直線過(guò)內(nèi)心，然后得到AJ、AK等式，尺規(guī)作圖得到的。如果不知道此直線過(guò)內(nèi)心，能否用尺規(guī)作圖作出此直線呢？

答案是肯定的。事實(shí)上，完全不需要引入三角形內(nèi)心！

因?yàn)橐李}意，此直線平分面積和周長(zhǎng)，就能得到AJ,AK的兩個(gè)天然的等式，即

AJ+AK=p,

AJ*AK=0.5bc,

這樣按照上面的思路，利用切割線定理，直接尺規(guī)作圖即可。

從而上述作圖過(guò)程可以改進(jìn)如下：

1、在AB延長(zhǎng)線上截取AE=p，在AC截取AF=AB,

2、作AC中點(diǎn)G，

3、作AE、GF中垂線交于M，

4、以M為圓心，MG為半徑畫圓交AB于J，O，AJ>AO,

5、在AB上截取AK=AO,

6、則JK即為所求的一條直線,

這樣，此題作圖過(guò)程就大大簡(jiǎn)化了，此題的難度也大大降低了，幾乎是一個(gè)小學(xué)或者初中的幾何問(wèn)題了。

最后，對(duì)上述思考過(guò)程做一總結(jié)，剛開始我依據(jù)慣性思維，先入為主的以為作圖必須要用過(guò)內(nèi)心的條件。先證明此直線過(guò)三角形內(nèi)心，又利用面積關(guān)系(本質(zhì)是張角定理的證明)，得到AJ,AK等量關(guān)系，最后利用韋達(dá)定理和切割線定理完成作圖。

通過(guò)最后的反思改進(jìn)，發(fā)現(xiàn)我繞了很大的彎路，完全不需要證明此直線過(guò)內(nèi)心，也不需要利用面積關(guān)系。其實(shí)只需要最基本的條件，平分面積，平分周長(zhǎng)，即可得到兩個(gè)等式，利用韋達(dá)定理和切割線定理很輕松就能完成作圖！

后來(lái)我在網(wǎng)上也找到一些作圖方法，好像有很多[4]，不過(guò)似乎都不夠簡(jiǎn)潔明了。

不過(guò)證明此直線過(guò)內(nèi)心也不是完全沒(méi)用的，畢竟這個(gè)結(jié)論對(duì)于探究此直線的存在條數(shù)有幫助，因?yàn)檫@樣就轉(zhuǎn)化為[3]中過(guò)一定點(diǎn)作直線平分三角形面積問(wèn)題。也算是失之西隅，得之東墻吧^^

參考文獻(xiàn)

1、?同時(shí)平分三角形的面積和周長(zhǎng)的直線

http://www.matrix67.com/blog/archives/5313

2、《初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究(平面幾何)》梁紹鴻 ?2008年 哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社

3、直線平分多邊形面積問(wèn)題

4 搜狗問(wèn)答：怎樣用一條直線將一個(gè)三角形的面積和周長(zhǎng)同時(shí)平分？(尺規(guī)作圖法)

https://www.sogou.com/link?url=DSOYnZeCC_rZXVZCtvPXjmRFzFBIhMTs0L1-c45Uka7fPWMK2bFMa63mlRzfPLR2

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的css3 三角形_用尺规作直线同时平分三角形面积和周长的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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