當前位置：首頁 > 编程资源 > 编程问答 >内容正文

编程问答

《高等统计物理学》Cookbook（持续更新）

發布時間：2024/3/12 编程问答 32 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了《高等统计物理学》Cookbook（持续更新）小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

在《高等統計物理學》系列文章中，有時候會用到一些重要的量子力學基礎知識，比如定態薛定諤方程的求解、產生和消滅算符等等。本部分為讀者建立一個即用即查的“工具箱”，為方便正文的高效學習。

內容
一. 薛定諤方程求解
二. 消滅算符和產生算符
三. 玻色子、費米子和保、泡利不相容原理
四. 高Tc超導體的主要性質

一. 薛定諤方程求解

1. 求解步驟

（1）分離變量；
$Ψ(r,t)=ψ(r)f(t);\Psi(r,t)=\psi(r)f(t) ;$ （2）構造等式；

借助薛定諤方程 $i??Ψ(r,t)?t=??22m?2Ψ(r,t)+U^(r)Ψ(r,t)，i\hbar\frac{\partial \Psi(r,t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2\Psi(r,t)+\hat U(r)\Psi(r,t) ，$ 代入得到 $i??ψ(r)f(t)?t=??22m?2ψ(r)f(t)+U^(r)ψ(r)f(t)=H^ψ(r)f(t)，i\hbar\frac{\partial \psi(r)f(t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2\psi(r)f(t)+\hat U(r)\psi(r)f(t)=\hat H\psi(r)f(t) ，$ 進而得 $i?ψ(r)?f(t)?t=f(t)H^ψ(r)，i\hbar\psi(r)\frac{\partial f(t)}{\partial t}=f(t)\hat H\psi(r) ，$ 整理得 $1i?df(t)f(t)1dt=1ψ(r)H^ψ(r)=E。\frac{1}{i \hbar}\frac{df(t)}{f(t)}\frac{1}{dt}=\frac{1}{\psi(r)}\hat H \psi(r)=E 。$ （3）微分方程解出 f(t) ；

很容易得到， $f(t)=Ce?i?Etf(t)=Ce^{-\frac{i}{\hbar}Et}$ （只是要特別注意一下這里放置C的位置）。

（4）定態薛定諤方程方程解出 $ψ(r)\psi(r)$ ；

（5）得到 $Ψ(r,t)。\Psi(r,t) 。$

（待解決問題1:按照該套路算出一維無限深勢阱、一維諧振子和氫原子的波函數）

二. 消滅算符和產生算符

1. 定義式

消滅算符： $a=(μω2?)12(x^+iμωp^)=(μω2?)12(x^+?μωddx)a=(\frac{\mu \omega}{2 \hbar})^{\frac{1}{2}}( \hat x+\frac{i}{\mu \omega}\hat p)=(\frac{\mu \omega}{2 \hbar})^{\frac{1}{2}}(\hat x+\frac{\hbar}{\mu\omega}\fracze8trgl8bvbq{dx})$ 產生算符： $a?=(μω2?)12(x^?iμωp^)=(μω2?)12(x^??μωddx)a^\dagger=(\frac{\mu \omega}{2 \hbar})^{\frac{1}{2}}(\hat x-\frac{i}{\mu \omega}\hat p)=(\frac{\mu \omega}{2 \hbar})^{\frac{1}{2}}(\hat x-\frac{\hbar}{\mu\omega}\fracze8trgl8bvbq{dx})$ 其中用到了動量算符： $p^=?i??r，\hat p=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial r} ，$ 與德布羅意關系 $p=?k(k=2πλ,?=h2π)p=\hbar k (k=\frac{2\pi}{\lambda},\hbar=\frac{h}{2\pi})$ 區分，并注意德布羅意關系中還有 $E=?ωE=\hbar \omega$ 。

注意：消滅和產生算符是指滿足下面這種對易關系的算符，它不局限于某種形式，比如在這里的量子力學中的一維諧振子，它可以通過動量算符和坐標算符的線性組合構造出，但只是其中的一種方式。生滅算符的作用就是用來看占有數表象的。（待解決問題2:它是怎么看的？在教材上看一看）

2. 性質

（1）一維諧振子的哈密頓量 $H=12μp2+12μω2x2H=\frac{1}{2\mu}p^2+\frac{1}{2}\mu\omega^2x^2$ 可以分解為 $H=?ω(a?a?12)=?ω(N?12)；H=\hbar\omega(a^\dagger a-\frac{1}{2})=\hbar\omega(N-\frac{1}{2}) ；$

證明：聯立消滅算符和產生算符的定義式可以得到 $x^=(?2μω)12(a+a?)\hat x=(\frac{\hbar}{2\mu \omega})^{\frac{1}{2}}(a+a^\dagger)$ 和 $p^=?i(μω?2)12(a?a?)，\hat p=-i(\frac{\mu \omega \hbar}{2})^{\frac{1}{2}}(a-a^\dagger) ，$ 注意這里如果平方的話， $a2?b2≠(a+b)(a?b)，a^2-b^2\neq(a+b)(a-b) ，$ 推薦不代入平方進去做，如下：

（2） $[a,a?]=1；[a,a^\dagger]=1 ；$

證明： $[a,a?]=aa??α?a=(μω2?)12(x^+iμωp^)(μω2?)12(x^?iμωp^)?(μω2?)12(x^?iμωp^)(μω2?)12(x^+iμωp^)=i?[p^,x^]=1\begin{aligned} [a,a^\dagger]&=aa^\dagger-\alpha^\dagger a=(\frac{\mu \omega}{2 \hbar})^{\frac{1}{2}}( \hat x+\frac{i}{\mu \omega}\hat p)(\frac{\mu \omega}{2 \hbar})^{\frac{1}{2}}(\hat x-\frac{i}{\mu \omega}\hat p)-(\frac{\mu \omega}{2 \hbar})^{\frac{1}{2}}( \hat x-\frac{i}{\mu \omega}\hat p)(\frac{\mu \omega}{2 \hbar})^{\frac{1}{2}}( \hat x+\frac{i}{\mu \omega}\hat p)\\ &=\frac{i}{\hbar}[\hat p,\hat x]=1 \end{aligned}$ （3） $[N,a?]=a?，[N,a]=?a;[N,a^\dagger]=a^\dagger ， [N,a]=-a ;$

證明： $[N,a?]=[a?a,a?]=a?aa??a?a?a=a?(aa??a?a)=a?[a,a?]=a?，[N,a^\dagger]=[a^\dagger a,a^\dagger]=a^\dagger aa^\dagger-a^\dagger a^\dagger a=a^\dagger(aa^\dagger-a^\dagger a)=a^\dagger[a,a^\dagger]=a^\dagger ，$ 同理可以證明到 $[N,a]=[a?a,a]=(a?aa?aa?a)=(a?a?aa?)a=?(aa??a?a)a=?[a,a?]a=?a。[N,a]=[a^\dagger a,a]=(a^\dagger aa-aa^\dagger a)=(a^\dagger a-a a^\dagger)a=-(a a^\dagger-a^\dagger a)a=-[a,a^\dagger ]a=-a 。$

3. 作用

$Na^\dagger|n>=(n+1)a^\dagger|n>$ $a∣n>=n∣n?1>，a?∣n>=n+1∣n+1>a|n>=\sqrt n|n-1> ， a^\dagger|n>=\sqrt{n+1}|n+1>$ 證明：對前兩個的證明過程如下：

對于第二個式子，它也說明了 $a?∣n>a^\dagger|n>$ 也是 N 的本征態，本征值為 $n + 1 。$ 由此可見，用 $a?a^\dagger$ 作用于 $∣ 0 >$ 可以得出 $N$ 的全部本征態。所以得到了下面兩個我們要證明的的結論，對后兩個的證明過程如下：
此外還有： $H∣n>=(n+12)∣n>，∣n>=(a?)nn!∣0>。H|n>=(n+\frac{1}{2})|n> ，|n>=\frac{(a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}|0> 。$

三. 玻色子、費米子和保、泡利不相容原理

1. 玻色子和費米子

凡自旋為 $?\hbar$ 的整數倍的粒子，波函數對于兩粒子的交換總是對稱的，成為玻色子；凡自旋為 $?\hbar$ 的半奇數倍的粒子，波函數對于兩粒子的交換總是反對稱的，成為費米子；

其中還要明白幾個概念：

全同粒子：同一類的粒子具有完全相同的內稟屬性，在量子力學中，把屬于同一類的粒子稱為全同粒子；
交換對稱性：全同粒子組成的多體系中，任何可觀測量，特別是哈密頓量，對于任何兩個粒子交換是不變的，即稱為交換對稱性；

對稱波函數和反對稱波函數：全同粒子組成的多體系中，對于任何兩個粒子的交換，其量子態是不變的，即要求該體系的波函數對于粒子的交換具有一定的對稱性。如果滿足 $Pijψ=+ψ，P_{ij}\psi=+\psi，$ 稱為對稱波函數例如過滿足 $Pijψ=?ψ，P_{ij}\psi=-\psi ，$ 稱為反對稱波函數。（其中 $P_{ij}$ 是交換兩個粒子的算符）。

2. 泡利不相容原理

不允許有兩個全同的Fermi子處于同一單粒子態（這里 $k$ 代表足以描述Fermi 子量子態的一組完備的量子數，特別要注意：對于有自旋的粒子，必須包含描述自旋態的量子數）。
對于Fermi子，要求波函數對于交換是反對稱的.歸一化的波函數可如下構成： $ψk1k2A(q1,q2)=12[ψk1(q1)ψk2(q2)?ψk2(q2)ψk1(q1)]，\psi_{k_1k_2}^A(q_1,q_2)=\frac{1}{\sqrt2}[\psi_{k_1}(q_1)\psi_{k_2}(q_2)-\psi_{k_2}(q_2)\psi_{k_1}(q_1)] ，$ 可以看出，當 $k1=k2時，ψA=0，k_1=k_2 時， \psi^A=0 ，$ 則說明這樣的狀態時不存在的。

四. 高Tc超導體的主要性質

同位素效應弱甚至無；
萬斯納效應不完全；
磁場穿透深度較大；
相干長度較短或者庫珀對的空間域性較強；
隧道實驗表明電子對存在
晶體結構有強低維特點，3個晶體常數相差3～4倍；
運輸系數具有很大的各向異性；
載流子濃度較低，且為空穴型導電。

總結

結束了這一部分的學習后，至少要做到：

（1）熟悉薛定諤方程的求解套路，并會解出一維無限深勢阱、一維諧振子和氫原子的波函數；

（2）能夠寫出消滅算符和產生算符的定義式；

（3）能夠寫出并證明消滅算符和產生算符的3個性質；（第1個有問題，其他沒問題）

（4）能夠分別寫出并證明消滅算符和產生算符的2個作用（能說出另外的兩個公式）；（一共4個公式，前2個有規律，用到3個關系的聯立；后兩個記住）

（5）能夠說出玻色子和費米子的定義，以及知道“全同粒子”、“交換對稱性“、”對稱波函數和反對稱波函數“的概念；

（6）能夠寫出泡利不相容原理及明白其由來；

（7）能夠說出高Tc超導體的8個主要性質；

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《高等统计物理学》Cookbook（持续更新）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。

上一篇：河北职高计算机专业高考分数线,河北职高对
下一篇：泡利不相容原理适用的空间范围（系统）是多