麥克斯韋方程組（詳細）

1 安培環路定律

在真空中，磁場強度$\mathbf{H}$沿任意回路的線積分，等于該回路所限定的曲面上穿過的總電流。
$${\oint }_l\mathbf{H}?dl=\sum _{i=1}^n{I}_i$$

根據麥克斯韋提出的位移電流假設,得到全電流定律
$${\oint }_l\mathbf{H}?\mathrm{d}\mathbf{l}={\int }_S\left({\mathbf{J}}_{\mathrm{c}}+\frac{?\mathbf{D}}{?t}\right)?\mathrm{d}\mathbf{S}$$
該式子表明，磁場不僅由傳導電流產生，也能由變化的電流產生，即位移電流產生。

2 法拉第電磁感應定律

磁場中的一個閉合導體回路由于某種原因引起穿過導體回路的磁通量發生變化時，回路中就產生了感應電流，表示回路中感應出了電動勢，且感應電動勢的大小正比于磁通對時間的變化率
$${\mathcal{E}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}}=?\frac{\mathrm{d}\Psi }{\mathrm{d}t}$$
麥克斯韋將法拉第電磁感應定律的應用范圍推廣到介質或真空中的任意閉合曲線的情況，表示為
$${\oint }_l\mathbf{E}?dl=?{\int }_S\frac{?\mathbf{B}}{?t}?d\mathbf{S}$$

3 電流連續性方程

在系統內，電荷可以從一個物體轉移到另一個物體上，或者在一個物體內部移動，但在任意時刻系統內正負電荷的代數和總是恒定的。
$${\oint }_S{\mathbf{J}}_c?d\mathbf{S}=?{\int }_V\frac{?{\rho }_V}{?t}dV$$

4 電場的高斯定律

穿過任何閉合曲面的電通量等于該閉合曲面所包圍的凈電荷
$${\oint }_S\mathbf{E}?\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}{\int }_V{\rho }_V\mathrm{d}V$$
或者
$${\oint }_S\mathbf{D}?\mathrm{d}\mathbf{S}={\int }_V{\rho }_V\mathrm{d}V$$

5. 磁場的高斯定律

磁通連續原理
$${\oint }_S\mathbf{B}?\mathrm{d}\mathbf{S}=0$$

6.麥克斯韋方程組

6.1 麥克斯韋方程組的積分形式

前面介紹了5個重要的方程，將其中四個方程歸為一組即為麥克斯韋方程組的積分形式
$$\begin{gathered} {\oint }_l\mathbf{H}?\mathrm{d}\mathbf{l}={\int }_S\left({\mathbf{J}}_{\mathrm{c}}+\frac{?\mathbf{D}}{?t}\right)?\mathrm{d}\mathbf{S} \\ {\oint }_l\mathbf{E}?dl=?{\int }_S\frac{?\mathbf{B}}{?t}?d\mathbf{S} \\ {\oint }_S\mathbf{D}?\mathrm{d}\mathbf{S}={\int }_V{\rho }_V\mathrm{d}V \\ {\oint }_S\mathbf{B}?\mathrm{d}\mathbf{S}=0 \end{gathered}$$
由電荷守恒導出的電流連續性方程，也是電磁理論中的重要方程
$${\oint }_S{\mathbf{J}}_c?d\mathbf{S}=?{\int }_V\frac{?{\rho }_V}{?t}dV$$

麥克斯韋主要由四個方程組成，第一個方程稱為全電流定律，是安培環路定律的推廣；第二個方程由法拉第電磁感應定律導出；另兩個方程為電場和磁場的高斯定律。

6.2 麥克斯韋方程組的微分形式

6.2.1 散度定理（高斯定理）

某一矢量散的體積分等于該矢量穿過該體積的封閉表面的總通量
$${\int }_V??\mathbf{F}\mathrm{d}V={\oint }_S\mathbf{F}?\mathrm{d}\mathbf{S}$$

6.2.2 斯托克斯定律

一個矢量場的旋度在一開放曲面上的曲面積分等于該矢量沿此曲面的曲線積分
$${\int }_S(?\times \mathbf{F})?\mathrm{d}\mathbf{S}={\oint }_l\mathbf{F}?\mathrm{d}\mathbf{l}$$

6.2.3 微分形式

應用斯托克斯定律可以導出麥克斯韋前兩個方程的以及電流連續性方程微分形式
$$\begin{gathered} ?\times \mathbf{H}={\mathbf{J}}_c+\frac{?\mathbf{D}}{?t} \\ ?\times \mathbf{E}=?\frac{?\mathbf{B}}{?t} \end{gathered}$$

$$??{\mathbf{J}}_c=?\frac{?{\rho }_V}{?t}$$

由散度定理可以寫出電磁場的高斯定律微分形式
$$\begin{array}{c}??\mathbf{D}={\rho }_V\\ ??\mathbf{B}=0\end{array}$$

7 媒介的電磁性質和邊界條件

7.1 本構方程

? 麥克斯韋的積分形式以及微分形式歸根結底還是描述的宏觀電磁現象。要根據物質的微觀模型和性質，將麥克斯韋方程組推廣到一般電磁材料中。傳導、極化、磁化是物質在電磁場中的三種基本現象。通過對材料的電磁性質的研究，可以獲得三個本構方程（物態方程）。

傳導：

本構方程：
$${\mathbf{J}}_{\mathrm{c}}=\sigma \mathbf{E}$$
$\sigma$為金屬的電導率， ${\mathbf{J}}_{\mathrm{c}}$為電流密度，上式就是歐姆定律的微分形式。反應材料和電場關系的本構方程之一。

極化：

? 在外電場作用下，電介質中出現有序排列的電偶極子，表面上出現束縛電荷的現象，稱為電介質的極化
$$\mathbf{P}={\chi }_c{\epsilon }_0\mathbf{E}$$
$\mathbf{P}$是一個宏觀物理量，表示電介質的極化程度。${\chi }_c$稱為電極化系數，是一個量綱為一的量。 ${\epsilon }_0$ 為真空介電常數。
本構方程：
$$\mathbf{D}={\epsilon }_0\mathbf{E}+\mathbf{P}$$
磁化：

? 在外磁場作用下，物質中的原子磁矩都會受到一個扭矩作用，對外產生磁效應，影響磁場分布，這種現象成為物質的磁化。

$\mathbf{M}$定義為磁化強度
重要公式：
$${\mathbf{J}}_{\mathrm{n}\mathrm{s}}=\mathbf{M}\times {\mathbf{a}}_{\mathrm{n}}$$
${\mathbf{J}}_{\mathrm{n}\mathrm{s}}$為束縛電流面密度，$a_{\mathrm{n}}$為面元法線。
$$\mathbf{M}={\chi }_{\mathrm{m}}\mathbf{H}$$
上式${\chi }_{\mathrm{m}}$稱為極化率

本構方程：
$$\mathbf{B}={\mu }_0（\mathbf{H}+\mathbf{M}）$$

7.2 媒介中的麥克斯韋方程組

$$\begin{gathered} ?\times \mathbf{H}={\mathbf{J}}_c+\frac{?\mathbf{D}}{?t} \\ ?\times \mathbf{E}=?\frac{?\mathbf{B}}{?t} \\ ??\mathbf{D}={\rho }_V \\ ??\mathbf{B}=0 \\ ??{\mathbf{J}}_c=?\frac{?{\rho }_V}{?t} \\ {\mathbf{J}}_{\mathrm{c}}=\sigma \mathbf{E} \\ \mathbf{D}={\epsilon }_0\mathbf{E}+\mathbf{P} \\ \mathbf{B}={\mu }_0(\mathbf{H}+\mathbf{M}) \end{gathered}$$

說明：麥克斯韋方程組中的4個方程并不是相互獨立的，后面兩個散度方程可以通過前面兩個旋度方程加電流連續性方程導出（方程的獨立是相對的）。

上述方程中含有$\mathbf{E}$、$\mathbf{D}$$、$$\mathbf{B}$、$\mathbf{H}$、${\mathbf{J}}_c$五個未知矢量，以及一個未知標量${\rho }_V$（3*5+1=16）

麥克斯韋方程組加上流連續性方程，含3個獨立的方程（可以認為是兩個旋度方程加電流連續性方程）,這3個獨立方程中含有7個標量方程。而3個本構方程含9個標量方程。（9+7=16）

上面8個方程即為一般媒質中完整的麥克斯韋方程組(麥克斯韋方程組4+電流連續性方程1+本構方程3)。

7.3 邊界條件

定義：決定分界面兩側電磁場變化關系的方程稱為邊界條件

由于邊界中，媒質的性質發生了突變，故微分形式的麥克斯韋方程組不適用了，可以用麥克斯韋方程組的積分形式進行推導。

邊界條件總結如下：

• H的切向分量在界面處不連續，其數量等于界面處的自由表面電流密度

$$H_{1t}?H_{2t}=J_{\mathrm{n}\mathrm{s}}$$

• E的切向分量在整個界面上是連續的

$$E_{1t}=E_{2t}$$

• B的垂直分量在界面B上連續

$$B_{1n}=B_{2n}$$

• D的垂直分量在界面處不連續，其數量等于界面處的自由表面電荷密度

$$D_{1n}?D_{2n}={\rho }_s$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的麦克斯韦方程组的组成由来、媒介的电磁性质和边界条件的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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