FeynRules介紹

FeynRules是一個(gè)基于Mathematica的工具包，能夠從拉氏量出發(fā)，構(gòu)建費(fèi)曼規(guī)則，生成高能粒子物理仿真計(jì)算所需的模型文件，例如散射截面蒙特卡洛模擬，暗物質(zhì)計(jì)算等等。能方便地應(yīng)用于各種超標(biāo)準(zhǔn)模型費(fèi)曼規(guī)則的構(gòu)建，極大地方便理論家。其一般作為仿真計(jì)算的第一步。這里是官方主頁(yè)，同時(shí)可參考手冊(cè)。構(gòu)建自己的拉氏量模型，需要一些必要的信息和參數(shù)。

模型名和基本信息

這是包含模型名，作者的email，參考文獻(xiàn)等等信息。模型被load的時(shí)候這些信息將會(huì)打印出來(lái)。

指標(biāo)

拉氏量中的某些場(chǎng)會(huì)帶兩個(gè)指標(biāo)，規(guī)范指標(biāo)$\alpha ,(N^2?1)$和洛倫茲指標(biāo)$\mu ,(0?3)$。定義模型的時(shí)候需要制定好這些指標(biāo)。例如一個(gè)帶指標(biāo)$i_1,i_2,i_3...$的場(chǎng)${\phi }_{i_1,i_2,i_3...}$被表示為 $\text{psi}[index1,index2,...]$，指標(biāo)被指定為$\text{Index}[name,i]$,name為指標(biāo)名，指標(biāo)名可任意，不過(guò)指標(biāo)還是遵循本身作用命名為對(duì)應(yīng)名字：4矢量指標(biāo)-(Lorentz)；4旋量空間-(Spin)；左/右手wyel表示-(Spin1 / Spin2)等，已經(jīng)被內(nèi)部定義好。

然后要指定指標(biāo)長(zhǎng)度，例如，色指標(biāo)長(zhǎng)度為3: IndexRange[ Index[Colour] ] = Range[3]；SU(2)群規(guī)范指標(biāo)為3: IndexRange[ Index[SU2W] ] = Unfold[ Range[3] ]；SU(3)膠子場(chǎng)指標(biāo)：IndexRange[ Index[Gluon] ] = NoUnfold[ Range[8] ]。這里的函數(shù)Unfold和NoUnfold有特點(diǎn)含義，Unfold為展開(kāi)規(guī)范指標(biāo)，NoUnfold則不展開(kāi)。（參考手冊(cè)）指標(biāo)輸入可以以更方便的形式，例如聲稱場(chǎng)第一指標(biāo)為$\mathbf{L}\mathbf{o}\mathbf{r}\mathbf{e}\mathbf{n}\mathbf{t}\mathbf{z}$,第二指標(biāo)為$\mathbf{G}\mathbf{l}\mathbf{u}\mathbf{o}\mathbf{n}$后，FeynRules會(huì)自動(dòng)構(gòu)建指標(biāo)名：
$$\text{G[mu,?a]}\to \text{G[Index[Lorentz,?mu],?Index[Gluon,?a]]}$$

耦合參數(shù)

標(biāo)量參數(shù)

拉氏量需要指定參數(shù)，例如耦合常數(shù)或者是質(zhì)量參數(shù)等標(biāo)量參數(shù)，模型參數(shù)可以被分為標(biāo)量或者是多指標(biāo)變量。在FeynRules中這被分為兩部分列表。

這里參數(shù)是“冗余”的，例如強(qiáng)耦合常數(shù)$g_s$，出現(xiàn)在拉氏量里；${\alpha }_s=g_s^2/4\pi$，出現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)中。指定一個(gè)即決定另一個(gè)。但是實(shí)驗(yàn)通常測(cè)量${\alpha }_s$，所以在FeynRules里${\alpha }_s$被稱為$\text{external}$ ，$g_s$被稱為$\text{internal}$ parameter。兩者都需要指定，外部參數(shù)值為實(shí)數(shù)，內(nèi)部為公式。要先指定外部，再指定內(nèi)部參數(shù)。例子如下：

張量參數(shù)

拉矢量另外一些參數(shù)是張量例如酋矩陣、質(zhì)量矩陣、CKM矩陣等等，它們被指定為一系列參數(shù)，并且默認(rèn)指定為復(fù)數(shù)。例如CKM矩陣：

其被指定為內(nèi)部參數(shù)，值由卡波比角確定。拉氏量中，指標(biāo)需要為全縮并形式，即指標(biāo)要重復(fù)兩次，但是額外情況也被允許，例如3指標(biāo)相同的求和，詳情見(jiàn)手冊(cè)。

粒子/場(chǎng) 的種類與參數(shù)

場(chǎng)指標(biāo)是由自旋標(biāo)記的，如$spin?$ 0，1/2，1，3/2，2等，需要被指定。
攜帶同樣量子數(shù)但是質(zhì)量不同的場(chǎng)被認(rèn)為是“多重態(tài)”，能夠更緊湊的寫下拉氏量，例如典型的quark拉氏量：
粒子需要被指定名字和是否有反粒子，以及質(zhì)量等其它參數(shù)。對(duì)于場(chǎng)不是自共厄的情況，共軛場(chǎng)會(huì)自動(dòng)創(chuàng)建，只需使用 “fieldnamebar” 來(lái)使用。玻色子場(chǎng)的反粒子場(chǎng)對(duì)應(yīng)它的厄米共厄，費(fèi)米子場(chǎng)則對(duì)應(yīng)$\bar{\psi }={\psi }^{?}{\gamma }^0$。場(chǎng)的指標(biāo)需要跟相應(yīng)的對(duì)稱性掛鉤，洛倫茲和自旋指標(biāo)對(duì)應(yīng)龐加萊群，能被自動(dòng)FeynRules設(shè)定不需要指定；但是色指標(biāo)【SU(3)對(duì)稱】和味指標(biāo)【味對(duì)稱性(假設(shè))】需要指定。

除了SU(N)規(guī)范理論對(duì)稱性帶來(lái)的指標(biāo)，剩下的U(1)或離散對(duì)稱性被量子數(shù)“荷”所攜帶。另外指定粒子質(zhì)量，質(zhì)量可以是$\text{internal}$ parameter，例如Highs機(jī)制下$W,Z$質(zhì)量由對(duì)稱性破缺決定。由于我們無(wú)法同時(shí)對(duì)角化質(zhì)量矩陣和Yukawa矩陣，導(dǎo)致會(huì)有出現(xiàn)mass basic和favor basic的情況【取決于對(duì)角化誰(shuí)】，一般希望對(duì)角化質(zhì)量矩陣，而favor basic被認(rèn)為是非物理的。FeynRules中也能夠使用favor basic計(jì)算。另外就是對(duì)角化U(1)$\times$SU(2)玻色子【$A,Z,W$】質(zhì)量矩陣出現(xiàn)weak mixing angle【溫伯格角】能夠被指定或是符號(hào)計(jì)算。在最后相互作用頂點(diǎn)計(jì)算時(shí)需要被替換【$B,W^1,W^2,W^3\to A,Z,W^{+},W^{?}$】。

鬼子【Ghost，保證非阿貝規(guī)范不變的Faddeev-Popov ghost】和戈德斯通粒子【Goldstone，粒子獲得質(zhì)量的代價(jià)，戈德斯通定理】則可以指定與它們連接的gauge boson和scalar fields。

馬約拉納費(fèi)米子【Majorana fermions 】則需要定義馬約拉納相，其定義為電荷共厄算符本征值的相位$?$：${\lambda }^c=C{\bar{\lambda }}^T=e^{i?}\lambda$。

外爾費(fèi)米子【W(wǎng)eyl fermion】則需要指定它們的手性【chirality】。不過(guò)為了方便計(jì)算（卡西米爾trick），可以將二分量外爾表示轉(zhuǎn)變?yōu)樗姆至康依诵勘硎尽?/p>

超對(duì)稱粒子及超場(chǎng)我不太懂，這里就略過(guò)。

總的來(lái)說(shuō)，粒子定義類似如下：
V[1] == {
ClassName -> A,
SelfConjugate -> True,
Mass -> 0,
Width -> 0,
ParticleName -> “a”,
PDG -> 22,
PropagatorLabel -> “a”,
PropagatorType -> W,
PropagatorArrow -> None,
FullName -> “Photon”
},
這是一個(gè)光子的定義，$==$左邊為一個(gè)實(shí)體，標(biāo)記為1，花括號(hào)內(nèi)為這個(gè)實(shí)體的描述，包括各項(xiàng)定義。其余參數(shù)的定義也采取類似形式。

規(guī)范群

場(chǎng)的相互作用結(jié)構(gòu)一般由規(guī)范對(duì)稱性給出。規(guī)范對(duì)稱是指作用量在規(guī)范變換下不變。體現(xiàn)在拉氏量中就是協(xié)變導(dǎo)數(shù)/場(chǎng)強(qiáng)張量，這是模型需要指定的一點(diǎn)。規(guī)范群一般是簡(jiǎn)單或者半單李群，仍然以 $\text{實(shí)體}==\{\text{描述}\}$ 的方式來(lái)定義。例如下面定義了標(biāo)準(zhǔn)模型$U(1)\times SU(2)\times SU(3)$規(guī)范群。

$U(1)$阿貝尓群能夠指定“荷”【charge】$Y$，能被用于驗(yàn)證 拉氏量/費(fèi)曼規(guī)則 的荷守恒。

$SU(2),SU(3)$等非阿貝爾群則需要被指定結(jié)構(gòu)常數(shù)、生成元、和耦合常數(shù)，同時(shí)群表示需要被定義【基本表示/伴隨表示】。常用的規(guī)范群FeynRules提供了內(nèi)部定義，同時(shí)也能夠解析計(jì)算。FeynRules不會(huì)區(qū)分生成的表示和對(duì)應(yīng)的共厄表示，因?yàn)樯稍嵌蛎椎摹?fù)共厄表示只是把粒子變?yōu)榉戳Ｗ?#xff0c;反粒子變?yōu)榱Ｗ佣?#xff08;詳情參考手冊(cè)）。規(guī)范玻色子的信息由規(guī)范群給出（伴隨表示下的規(guī)范指標(biāo)，非阿貝尓群$N^2?1$個(gè)規(guī)范玻色子）。規(guī)范對(duì)稱群構(gòu)建之后，將會(huì)幫助構(gòu)建場(chǎng)強(qiáng)張量和協(xié)變導(dǎo)數(shù)。

場(chǎng)強(qiáng)張量表示為：$\text{FS[A,?mu,?nu]}$（阿貝爾）或 $\text{FS[?A,?mu,?nu,?a?]}$（非阿貝爾）。其中A為場(chǎng)名，mu、nu為洛倫茲指標(biāo)，a為伴隨表示生成元指標(biāo)，分別對(duì)應(yīng)$F_{\mu \nu },F_{\mu \nu }^a$。定義協(xié)變導(dǎo)數(shù)則為 $\text{DC[phi,?mu]}$，對(duì)應(yīng) $D_{\mu }?={?}_{\mu }??ig{A}_{\mu }^a{T}_a?$，$T_a$對(duì)應(yīng)基本表示的表示矩陣。

限制參數(shù)

一些參數(shù)會(huì)受到實(shí)驗(yàn)限制，不能取任意值；一些參數(shù)能夠被指定為某些近似值使得計(jì)算簡(jiǎn)化，例如取對(duì)角的 $\text{CKM}$ 矩陣：
這將會(huì)消除掉味變化的Yukawa項(xiàng)。這些限制能寫在專門的 $\text{file1.rst}$ 文件，能夠裝載模型（$\text{LoadModel[?]}$）后被裝載（$\text{LoadRestriction[?file1.rst,?file2.rst,?...?]}$），在計(jì)算費(fèi)曼規(guī)則時(shí)施加約束。這個(gè)過(guò)程是不可能，約束參數(shù)會(huì)一直被保持。

對(duì)于復(fù)制的模型，開(kāi)始時(shí)，會(huì)選擇特別的基準(zhǔn)參數(shù)，一般會(huì)使許多參數(shù)為零，只留下幾個(gè)相互作用作用。FeynRules能夠識(shí)別出數(shù)值上為0的參數(shù)，并創(chuàng)建出對(duì)應(yīng)的參數(shù)限制文件，命令為 $\text{WriteRestrictionFile[]}$。創(chuàng)建名為 $\text{ZeroValues.rst}$ 的參數(shù)約束文件，這個(gè)文件能被裝載以提高復(fù)雜模型的計(jì)算速度。

混合聲明

FeynRules能夠從拉氏量中推導(dǎo)粒子的質(zhì)量譜（希格斯機(jī)制），并對(duì)角化質(zhì)量矩陣。但是對(duì)于類似 kinetic mixing 機(jī)制下的額外$U(1)$規(guī)范群等，需要手動(dòng)指定 mixing 是如何實(shí)現(xiàn)的。例如對(duì)角化質(zhì)量矩陣，mass basic 下的場(chǎng)的重新組合：
$$W_{\mu }^{+}=\frac{W_{\mu }^1?i{W}_{\mu }^2}{\sqrt{2}},W_{\mu }^{?}=\frac{W_{\mu }^1+i{W}_{\mu }^2}{\sqrt{2}}$$

其中$W^i$為 gauge basic 下的場(chǎng)，而$W^{+}$為 mass basic 下的場(chǎng)，它們之間只相差一個(gè)幺正變換。即一個(gè)矩陣乘法： $\text{MassBasis?=?Value?.?GaugeBasis}$，需要指定這個(gè) $\text{Value}$ 矩陣。對(duì)于前者$W^i$， gauge basic 下的場(chǎng)，我們一般稱之為非物理的。在定義粒子mixing時(shí)一些無(wú)關(guān)指標(biāo)例如自旋、色的可以省略，使用下劃線表示一樣。

有時(shí)候 mixing matrix 未知的情況下可以這樣設(shè)定：
$$\left(\begin{array}{c}{A}_{\mu }\\ Z_{\mu }\end{array}\right)=U_w\left(\begin{array}{c}{B}_{\mu }\\ W_{\mu }^3\end{array}\right)$$

其中$U_w$是一個(gè)幺正矩陣，$B_{\mu }$代表$U(1)$超荷玻色子場(chǎng)，$W_{\mu }^3$則是第三個(gè)弱玻色子場(chǎng)，它們通過(guò)一個(gè)幺正矩陣轉(zhuǎn)到質(zhì)量基下，構(gòu)成光子和$Z$玻色子場(chǎng)。

經(jīng)過(guò)混合聲明的混合矩陣不能夠在拉氏量中顯式使用，想要拉氏量中使用需要一開(kāi)始使用數(shù)值聲明，例如前面聲明$\text{CKM}$矩陣那樣。

有時(shí)候從 mass basic 轉(zhuǎn)到 gauge basic 更為常見(jiàn)，實(shí)際測(cè)量也是在 mass basic 下，例如$\text{CKM}$矩陣：
$$\begin{gathered} \text{GaugeBasis?=?MixingMatrix?.?MassBasis} \\ {d}_L^0=V_{\mathrm{C}\mathrm{K}\mathrm{M}}?d_L \end{gathered}$$
其中$d_L$為左手down夸克，在質(zhì)量基上的表示。這與上面 gauge basic 轉(zhuǎn)到 mass basic 下只差個(gè)逆矩陣到關(guān)系。設(shè)定時(shí)可以將 $\text{Inverse}$ 設(shè)為 $\text{True}$。

有時(shí)候“左手”跟“右手”的粒子 Mixing 并不相同，例如 Yukawa 項(xiàng)中，左手夸克是$SU(2{)}_L\text{doublets}$ 而右手夸克為 $\text{singlets}$. 能夠被如下設(shè)置：

這是一個(gè)聲明 down-type quark Mixing 的塊。其中 QL為左手夸克和左手中微子構(gòu)成的二重態(tài)，dR則是右手夸克單態(tài)，這為了嘗試解釋只存在左手中微子的問(wèn)題。dq[1, _]的1代表夸克代數(shù)。

剩下則是費(fèi)米子質(zhì)量問(wèn)題，在標(biāo)準(zhǔn)模型中，${\text{SU(2)}}_L$ 群下由二分量希格斯 doublet 的真空決定。把費(fèi)米子拉氏量寫成外爾二分量形式為：
$$\begin{gathered} m\bar{\psi }\psi =m\left({\bar{\psi }}_R{\psi }_L+{\bar{\psi }}_L{\psi }_R\right) \\ \left({\psi }_1^{?},\dots ,{\psi }_n^{?}\right)M?\begin{array}{c}{\chi }_1^{+}\\ ?\\ {\chi }_n^{+}\end{array}? \end{gathered}$$
可以看出粒子和反粒子的手性是反過(guò)來(lái)的，我們對(duì)角化質(zhì)量矩陣$M$則得到對(duì)角元$m$，即費(fèi)米子質(zhì)量，可以對(duì)正反費(fèi)米子場(chǎng)通過(guò)施加兩個(gè)“旋轉(zhuǎn)”實(shí)現(xiàn)對(duì)角化：
$$?\begin{array}{c}{\tilde{\psi }}_1^{?}\\ ?\\ {\tilde{\psi }}_n^{?}\end{array}?=U?\begin{array}{c}{\psi }_1^{?}\\ ?\\ {\psi }_n^{?}\end{array}?\text{?and?}?\begin{array}{c}{\tilde{\chi }}_1^{+}\\ ?\\ {\tilde{\chi }}_n^{+}\end{array}?=V?\begin{array}{c}{\chi }_1^{+}\\ ?\\ {\chi }_n^{+}\end{array}?$$
當(dāng)然，$m$值實(shí)際為正比于 Yukawa 耦合參數(shù)和希格斯真空，希格斯doublet是而分量場(chǎng)，自然能表示成兩個(gè)真空值 vev1, vev2 ： vevs = { { phi1, vev1 }, { phi2, vev2 } }，其中phi1，phi2是希格斯場(chǎng)本身在真空中的激發(fā)。準(zhǔn)確來(lái)說(shuō)，在$SU(2)$ 下希格斯場(chǎng)應(yīng)該有四個(gè)分量，他們之間的 Maxing 能指定如下：
這代表了這樣的希格斯場(chǎng)分量組合：
$$\left(\begin{array}{l}{?}_1\\ {?}_2\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\left(\begin{array}{l}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)+U_s^{?}\left(\begin{array}{l}{h}_1\\ h_2\end{array}\right)+i{U}_p^{?}\left(\begin{array}{l}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)\right]$$
當(dāng)然在標(biāo)準(zhǔn)模型中我們一般使得某一真空值$vev1$或$vev2$為零使得中微子質(zhì)量為0（取決于左手中微子在 doublet 的上還是下分量），然后希格斯場(chǎng)的四個(gè)分量場(chǎng)（$h_1,h_2,a_1,a_2$）的三個(gè)對(duì)應(yīng)為 Goldstone 場(chǎng)（賦予了$W^{\pm },Z$質(zhì)量），剩下一個(gè)為希格斯標(biāo)量粒子。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的FeynRules的上手使用1--介绍模型参数设置的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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