文章目錄

• 一、PMSM工作原理
• 1.同步電機工作原理（來源：《電機學》李發海）
• 2.永磁同步電機數學模型及坐標變換（來源：《現代電機控制技術》 王成元）
• • 2.1旋轉磁場
  • 2.2三相PMSM的基本數學模型
  • 2.3三相PMSM的坐標變換
  • • 2.3.1 Clark變換
    • 2.3.2 Park變換
    • 2.3.3 同步旋轉坐標系下的數學模型
• 3. 三相逆變電路與SVPWM調制算法

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一、PMSM工作原理

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永磁同步電機的工作原理簡單來說就是定子通交流電產生旋轉磁場，轉子為永磁體，定子產生的磁場帶動永磁體旋轉，轉速為同步轉速。同步電機的特點是無論是否帶載，都以同步轉速運行，只要在同步電機的帶載范圍以內，電機都將以同步轉速旋轉。而永磁同步電機的特點就是將轉子的勵磁繞組換成了永磁體。

1.同步電機工作原理（來源：《電機學》李發海）

上圖是一個簡單的交流發電機模型（從電機軸向看的示意圖），它是由定子、轉子兩大部分組成。定子和轉子之間是空氣隙。定子是一個圓筒形的鐵心，在靠近鐵芯內表面的槽里嵌放了導體。把這些導體按照一定的規律連接起來，叫定子繞組，也叫電樞繞組。圓筒形的鐵心中間是可以旋轉的轉子，轉子上裝了主磁極，主磁極可以是永磁體，也可以是電磁鐵，是在每個主磁極的鐵芯上都套上一個線圈，把這些線圈在按照一定的規則連接起來就是勵磁繞組。給勵磁繞組通上直流電流，各個磁極就表現出一定的極性。
當轉子被拖動以恒定轉速$n_1$相對轉子逆時針轉動時，定子鐵心槽里的導體就與主磁極有了相對運動，切割磁感線，產生感應電動勢，其中（a）圖方向按照右手定則可以判斷是向紙面外的，（b）圖方向是向內的。由此可以判斷出主磁極每旋轉一周，導體A里面的感應電動勢瞬時實際方向交變一次，這是一對主磁極的情況，轉子上可以有$p$對主磁極,所以當電機的轉子每轉一周，就有$p$對主磁極經過定子上的導體A，在導體A上的感應電動勢就變化了$p$個周期，若電機的轉速為$n_1$，電機轉子每秒轉了$n_1/60$，則導體A里面的感應電動勢頻率$f$為：$f=\frac{n_{1}p}{60}[Hz]$
從上式可以看出，當電機的極對數和轉速一定時，頻率$f$就是固定值。
如果把一臺三相同步電機作為電動機運行，就必須在定子的三項繞組里面通入三相交流電。三相交流電流流過定子的三相繞組，就會產生一個旋轉磁場（后面詳細解釋），帶動主磁極旋轉。
下圖為電機繞組截面示意圖，圖中U1、V1、W1為繞組首端，U2、V2、W2為繞組末端。

如圖所示，三相繞組依次通電就能產生黑色箭頭所指的旋轉磁場

2.永磁同步電機數學模型及坐標變換（來源：《現代電機控制技術》 王成元）

2.1旋轉磁場

在圖a中，由定子三相繞組軸線ABC構成空間三相軸系。取A軸與Re軸重合（圖b），則B軸的空間位置角度為$a=e^{j120°}$，C軸位置角度為$a^2=e^{j240°}$。此處的a和$a^2$為空間算子。對于定子三相繞組而言，當通以圖a所示的正向電流$i_a,i_b,i_c$時，分別產生沿著各自繞組軸線脈動的空間磁動勢波。三相繞組的軸線在空間呈120度對稱分布，我們可以用電流（電壓）空間矢量來表示。
假設三相對稱正弦相電壓的瞬時值表示為


因此， 三相對稱正弦電壓對應的空間電壓矢量運動軌跡如圖 2 - 2 所示。從圖 2 - 2
中可以看出，電壓空間矢量$U_{out}$， 頂點的運動軌跡為一個圓，且以角速度 ω 逆時針旋
轉。根據空間矢量變換的可逆性，可以想象若空間電壓矢量$U_{out}$的頂點運動軌跡為
一個圓，則原三相電壓越趨近于三相對稱正弦波 。三相對稱正弦電壓供電是理想的
供電方式，也是逆變器交流輸出電壓控制的追求目標。實際上，通過空間矢量變換，
可以將逆變器三相輸出的 3 個標量的控制問題轉化為一個矢量的控制問題。

2.2三相PMSM的基本數學模型

ABC電壓方程：
$?\begin{array}{l}{u}_a=r_s{i}_a+\frac{d{\Psi }_a}{dt}\\ u_b=r_s{i}_b+\frac{d{\Psi }_b}{dt}\\ u_c=r_s{i}_c+\frac{d{\Psi }_c}{dt}\end{array}$
磁鏈方程：
$?\begin{array}{l}{\Psi }_a=L_s{i}_a+{\Psi }_f\sin \theta \\ {\Psi }_b=L_s{i}_b+{\Psi }_f\sin (\theta ?\frac{2}{3}\pi )\\ {\Psi }_c=L_s{i}_c+{\Psi }_f\sin (\theta ?\frac{4}{3}\pi )\end{array}$
$L_s$為定子繞組電感，其中包括自感和互感。
由磁鏈方程可以看出，定子磁鏈是轉子位置角$\theta$的函數。
電磁轉矩$T_e$等于磁場儲能對機械角度$\theta$位移的偏導
$T_e=\frac{1}{2}{p}_n\frac{?}{?\theta }(i_{3s}^T?{\Psi }_{3s})$
其中，$p_n$為三相PMSM的極對數
$i_{3s}=?\begin{array}{c}{i}_A\\ i_B\\ i_C\end{array}?$，${\Psi }_{3s}=?\begin{array}{c}{\Psi }_A\\ {\Psi }_B\\ {\Psi }_C\end{array}?$
可以看出三相PMSM的數學模型是一個比較復雜且強耦合的多變量系統。為了方便后面控制器的設計，必須采用合適的坐標變換對數學模型進行降階和解耦變換。

2.3三相PMSM的坐標變換

為了簡化自然坐標系下三相PMSM的數學模型，采用的坐標變換通常包括靜止坐標變換（Clark變換）和同步旋轉坐標變換（Park變換）。

2.3.1 Clark變換

由基爾霍夫電流定律，在任一時刻，流入節點的電流之和等于留出節點的電流之和，也就是說，$i_A+i_B+i_C=0$
所以三相坐標系就可以變換成新的直角坐標系（$\alpha ?\beta$坐標系），變換公式如下：
$\{\begin{array}{l}{i}_{\alpha }=i_A?\cos \frac{2\pi }{3}{i}_B?\cos \frac{2\pi }{3}{i}_C\\ i_{\beta }=\sin \frac{2\pi }{3}{i}_B?\sin \frac{2\pi }{3}{i}_C\end{array}$
在該坐標系下，我們要控制電機，依然要跟蹤兩個正弦信號，還是非線性的，不利于控制。

2.3.2 Park變換

這個變換在CLark變換的基礎上將$\alpha ?\beta$坐標系旋轉${\theta }_e$度，得到新的坐標系就是$d?q$坐標系。其中${\theta }_e$是轉子當前的機械角度，變換公式如下：
$\{\begin{array}{l}{i}_d=i_{\alpha }\cos {\theta }_e+i_{\beta }\sin {\theta }_e\\ i_q=?i_{\alpha }\sin {\theta }_e+i_{\beta }\cos {\theta }_e\end{array}$
這個坐標系就是始終跟著轉子旋轉的。

2.3.3 同步旋轉坐標系下的數學模型

定子電壓方程為：
$\{\begin{array}{l}{u}_d=R{i}_d+\frac{d}{dt}{\Psi }_d?{\omega }_e{\Psi }_q\\ u_q=R{i}_q+\frac{d}{dt}{\Psi }_q?{\omega }_e{\Psi }_d\end{array}$
定子磁鏈方程為：
$\{\begin{array}{l}{\Psi }_d=L_d{i}_d+{\Psi }_f\\ {\Psi }_q=L_q{i}_q\end{array}$
此時電磁轉矩方程可以寫為：
$T_e=\frac{3}{2}{p}_n{i}_q[i_d(L_d?L_q)+{\Psi }_f]$
定義$\beta$為轉矩角，有：
$i_d=i_s\cos \beta ,i_q=i_s\sin \beta$
帶入上式可得，
$T_e=p_n[{\Psi }_f{i}_s\sin \beta +\frac{1}{2}(L_d?L_q)i_s^2\sin 2\beta ]$
括號內的第一項是由定子電流與永磁體磁場相互作用產生的電磁轉矩，所以$\beta$角實際上是定子三相基波合成磁動勢軸線與永磁體基波勵磁磁場軸向間的空間電角度。
括號內的第二項是由轉子凸極效應引起的，稱為磁阻轉矩。

對于面裝式轉子，由于永磁體的磁導率很低（近似空氣磁導率），所以直軸和交軸的電感相同（Ld=Lq）,所以不存在磁阻轉矩。可以控制定子電流的直軸分量為零，每單位定子電流產生的轉矩值最大，可以獲得快速的轉矩相應。
對于嵌入式轉子，直軸磁導率低于交軸磁導率，所以（Ld<Lq）,可以利用這一特性控制轉矩角$\beta$提高輸出轉矩和擴大轉速范圍。

3. 三相逆變電路與SVPWM調制算法

總結

以上是生活随笔為你收集整理的PMSM学习笔记1——永磁同步电机的工作原理与数学模型的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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