• 第1天：線性代數(shù)篇：矩陣、向量、實(shí)戰(zhàn)編程

• 第2天：微積分篇：極限與導(dǎo)數(shù)、梯度下降、積分、實(shí)戰(zhàn)編程

• 第3天：概率分析篇：條件概率與全概率、貝葉斯公式、實(shí)戰(zhàn)項(xiàng)目

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目錄

• 前言
• 一、概率與機(jī)器學(xué)習(xí)
• • 1.1 概率
  • 1.2 機(jī)器學(xué)習(xí)中的概率
• 二、條件概率與全概率
• • 2.1 條件概率
  • 2.2 全概率
• 三、貝葉斯公式與樸素貝葉斯
• • 3.1. 貝葉斯公式
  • 3.2 樸素貝葉斯
• 四、實(shí)戰(zhàn)：Python實(shí)現(xiàn)樸素貝葉斯
• • 4.1 安裝python庫Scikit-learn庫
  • • 4.1.1 安裝numpy+mkl和scipy
    • 4.1.2 安裝Sklearn
  • 4.2 代碼詳解
• 總結(jié)

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前言

非常抱歉，至上次博主更新人工智能關(guān)于《高等數(shù)學(xué)》相關(guān)應(yīng)用及知識(shí)點(diǎn)，已經(jīng)停更了差不多一年了，主要是博主工作上遇到公司組織架構(gòu)調(diào)整，之后又是各種新項(xiàng)目，一直拖更到現(xiàn)在。不過這些都不是理由，更多得是懶了。任何時(shí)候行動(dòng)起來，都不算晚，所以選擇今天8月8日這個(gè)好日子，趕緊給大家更新一版。

同時(shí)為了回報(bào)粉絲們的持續(xù)關(guān)注，這段時(shí)間開始，博主不僅會(huì)把人工智能必學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)最后一篇概率分析篇更新完，還會(huì)陸陸續(xù)續(xù)更新一些關(guān)于博主以前做過的一些人工智能實(shí)戰(zhàn)項(xiàng)目，歡迎大家繼續(xù)關(guān)注。

接下來進(jìn)入正題，對(duì)于人工智能概率分析這塊來說，其實(shí)說起來不復(fù)雜，運(yùn)用到的數(shù)學(xué)知識(shí)或數(shù)學(xué)公式可能就那么幾個(gè)，但是由于現(xiàn)實(shí)中很多問題都可以用概率來解釋分析，它的運(yùn)用會(huì)具有一定復(fù)雜性，甚至有時(shí)我們無法理解其中的原因。

這里面究其根本，我覺得就是現(xiàn)實(shí)中各種事情的發(fā)生概率，其實(shí)并不是單一事件引起的，更多是比較復(fù)雜的多因素決定的，而且很有可能隨著時(shí)間發(fā)展，其決定因素又會(huì)發(fā)生變化，所以大家到最后可能就會(huì)更加暈圈。

不過我覺得大家也不要太糾結(jié)，因?yàn)橹灰覀?strong>掌握了其中基本原理，再經(jīng)過幾次實(shí)戰(zhàn)，你就會(huì)對(duì)概率的認(rèn)識(shí)越來越清晰了，而且研究深入到最后，你就可以到達(dá)目前人工智能關(guān)于強(qiáng)化學(xué)習(xí)的領(lǐng)域，說不定哪天你就能開發(fā)出一個(gè)類似阿法爾狗的牛逼程序。

老樣子，既然是分享數(shù)學(xué)知識(shí)，還是得繼續(xù)拿出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和態(tài)度來。我又翻出10多年前我的概率論課本、筆記，教材是我們學(xué)校出版的，我們主要學(xué)習(xí)的是前面6章，從隨機(jī)概率、條件概率、隨機(jī)變量、隨機(jī)向量、隨機(jī)變量的數(shù)字特征到大數(shù)定律等。

看起來我們大學(xué)時(shí)候要學(xué)習(xí)的概率相關(guān)知識(shí)還是有點(diǎn)多，但對(duì)于人工智能入門來說，其實(shí)最重要的就只有最前面的第一章和第二章，也就是隨機(jī)概率和條件概率。

這次小伙伴們看到我這門課成績(jī)，可以不用激動(dòng)了，成績(jī)沒上90分，主要那時(shí)候，我剛好讀大二，玩網(wǎng)易剛出來的游戲《夢(mèng)幻西游》上癮了，學(xué)習(xí)興趣和熱情遠(yuǎn)沒有像大一那樣高了。不知道有沒有小伙伴們像我一樣在讀大學(xué)的時(shí)候控制不住我自己。

還好現(xiàn)在我已經(jīng)控制住我自己了，把玩游戲的時(shí)間拿出來，今年目標(biāo)學(xué)習(xí)12本技術(shù)相關(guān)書籍（目前已經(jīng)學(xué)習(xí)了6本了）和聽50本樊登讀書，已經(jīng)努力實(shí)現(xiàn)了不少了，有望年底全部實(shí)現(xiàn)。也希望小伙伴們也能活到老，學(xué)到老！大家共勉，加油！

接下來跟著我繼續(xù)三天掌握人工智能必學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)最后一天的學(xué)習(xí)吧！

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一、概率與機(jī)器學(xué)習(xí)

1.1 概率

有些小伙伴玩過下面這種俄羅斯大轉(zhuǎn)盤的游戲，我們就從這個(gè)概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用場(chǎng)景來說。

俄羅斯大轉(zhuǎn)盤總共有0-36，共37個(gè)數(shù)字。其中有18個(gè)紅色數(shù)字、18個(gè)黑色數(shù)字以及1個(gè)綠色數(shù)字。大家可以思考這么一個(gè)問題：如果每次下注黑色區(qū)域1元，正確返還2元，重復(fù)3700次，預(yù)期收益多少？（當(dāng)然警察叔叔經(jīng)常教育我們十賭九輸，這里僅供演示，用數(shù)學(xué)告訴大家真相，大家千萬別禁不住誘惑，賭博害人）

18/37*1 + (18+1)/37 *(-1) = -1/37
3700 X (-1/37) = -100

從上面計(jì)算可以看出，最終結(jié)果我們是會(huì)輸?shù)?00元，玩得越多，輸?shù)脑蕉唷Ｙ€博就是讓你大概率輸，所以千萬別迷上賭博，不然遲早一天傾家蕩產(chǎn)。

那概率到底是什么呢？我們從百度百科找下答案：

概率，亦稱“或然率”，它是反映隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性大小。隨機(jī)事件是指在相同條件下，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件。例如，從一批有正品和次品的商品中，隨意抽取一件，“抽得的是正品”就是一個(gè)隨機(jī)事件。設(shè)對(duì)某一隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行了n次試驗(yàn)與觀察，其中A事件出現(xiàn)了m次，即其出現(xiàn)的頻率為m/n。經(jīng)過大量反復(fù)試驗(yàn)，常有m/n越來越接近于某個(gè)確定的常數(shù)（此論斷證明詳見伯努利大數(shù)定律）。該常數(shù)即為事件A出現(xiàn)的概率，常用P(A)表示。

舉例來說，我們拋1元硬幣，出現(xiàn)一面為國徽，一面為1元的概率就分別為1/2。

1.2 機(jī)器學(xué)習(xí)中的概率

我們關(guān)聯(lián)起來的機(jī)器學(xué)習(xí)中的概率應(yīng)用一般就是在分類情況下，機(jī)器學(xué)習(xí)模型直接預(yù)測(cè)的結(jié)果就是某種情況對(duì)應(yīng)的概率。比如說人臉識(shí)別中，我們從所有圖片中進(jìn)行預(yù)測(cè)，去預(yù)測(cè)出圖片是人臉的概率有多大，我們可以設(shè)定一個(gè)95%的閾值，概率超過95%以上是人臉，我們就認(rèn)為是人臉，否則就不是。

其實(shí)現(xiàn)實(shí)生活中有很多東西都和概率有關(guān)，人工智能也有很大一部分是利用歷史的數(shù)據(jù)，來預(yù)測(cè)未來發(fā)生某種事件的概率。細(xì)心的小伙伴們，如果擅于利用好概率，說不定哪天你就可以成為一個(gè)厲害的預(yù)言家了。

二、條件概率與全概率

2.1 條件概率

我們舉個(gè)紙牌游戲的例子來說明條件概率吧。

有兩張黑牌、兩張紅牌，從中抽取一張，如果為紅牌，退還下注并獎(jiǎng)勵(lì)1.1倍，玩家是否應(yīng)該下注？如果抽取的第一張為紅牌，游戲繼續(xù)，玩家是否應(yīng)該下注？

我們分析一下第一種情況，分別從兩張黑牌、兩張紅牌抽到該牌的概率都是1/2，假設(shè)每次下注為1，那么抽到黑牌，我們就損失1，抽到紅牌我們就獎(jiǎng)勵(lì)1.1，那第一種情況我們的收益就應(yīng)該計(jì)算如下：
1/21.1 + 1/2(-1) = 0.05 > 0 建議下注

第二種情況，在我們已經(jīng)抽了一張紅牌的情況下，就只剩3張牌了，那么抽到黑牌的概率就變?yōu)?/3，抽到紅牌的概率就變?yōu)?/3，那收益計(jì)算就應(yīng)該變?yōu)?#xff1a;
1/31.1 + 2/3(-1) = -0.3 < 0 不建議下注

這里就可以看出，在某些事件發(fā)生的情況下，我們的選擇就可能會(huì)發(fā)生變化，也可以延伸出我們條件概率的定義。百度百科定義如下：

條件概率是指事件A在事件B發(fā)生的條件下發(fā)生的概率。條件概率表示為：P(A|B)，讀作“A在B發(fā)生的條件下發(fā)生的概率”。若只有兩個(gè)事件A，B，那么
$$P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$$
P(AB)就是A與B同時(shí)發(fā)生的概率。拿上面的例子來計(jì)算：第一張抽到紅牌和第二張抽到紅牌的概率就為(1/21/3)/(1/2) = 1/3。第一張抽到紅牌和第二張抽到黑牌的概率就為(1/22/3)/(1/2) = 2/3。

假設(shè)小明最近暗戀上了同一棟樓的一個(gè)女神，為了追求女神，他觀察了女神和自己的出門時(shí)間。下表列出了小明的出門時(shí)間分布(8-9點(diǎn))和女神的出門時(shí)間分布(8-8:30)，如果小明今天計(jì)劃8:15-8:30出門，遇到女神的概率是多少?(假設(shè)同一時(shí)間段即會(huì)相遇)

我們用條件概率的定義公式，就可以很簡(jiǎn)單計(jì)算如下：
1）小明出門時(shí)間可以選擇4個(gè)時(shí)間段，選擇8:15-8:30的概率為1/4，記為P(B);
2）女神出門時(shí)間可以選擇2個(gè)時(shí)間段，選擇8:15-8:30的概率為1/2，記為P(A);
3）小明在8:15-8:30出門的情況下，女神同時(shí)出門的概率為1/4*1/2 = 1/8，記為P(AB);
4）那小明計(jì)劃8:15-8:30出門，遇到女神的概率我們就可以記為P(A｜B)，那運(yùn)用公式可以計(jì)算為：P(A｜B)= P(AB)/P(B) = (1/8)/(1/4) = 1/2

2.2 全概率

全概率公式為概率論中的重要公式，它將對(duì)一復(fù)雜事件A的概率求解問題轉(zhuǎn)化為了在不同情況下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率的求和問題。百度百科對(duì)全概率的定義如下：

若事件A1，A2，…構(gòu)成一個(gè)完備事件組且都有正概率，則對(duì)任意一個(gè)事件B，有如下公式成立：
P(B)=P(BA1)+P(BA2)+…+P(BAn)=P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + … + P(B|An)P(An).

我們舉個(gè)例子來說明，如下圖所示：

1）B1發(fā)生的情況下A發(fā)生的概率為1/4，可以記為P(A｜B1)
2）B2發(fā)生的情況下A發(fā)生的概率為1/5，可以記為P(A｜B2)
3）B1發(fā)生的概率為1/3，可以記為P(B1)
4）B2發(fā)生的概率為2/3，可以記為P(B2)
那我們可以按照公司計(jì)算A發(fā)生的概率:
$$\begin{array}{rl}P(A)& =P\left(B_1\right)?P\left(A\mid B_1\right)+P\left(B_2\right)?P\left(A\mid B_2\right)\\ & =\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}+\frac{1}{5}\times \frac{2}{3}\\ & =\frac{13}{60}\end{array}$$

總的來說，概率是反映隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性大小的量度，而條件概率則是給定某事件A的條件下,另一事件B發(fā)生的概率。全概率公式則是利用條件概率，將復(fù)雜事件A分割為若干簡(jiǎn)單事件概率的求和問題。

三、貝葉斯公式與樸素貝葉斯

3.1. 貝葉斯公式

遇到問題找百度，我們繼續(xù)通過百度百科來了解下貝葉斯公式：

貝葉斯定理由英國數(shù)學(xué)家貝葉斯 ( Thomas Bayes 1702-1761 ) 發(fā)展，用來描述兩個(gè)條件概率之間的關(guān)系，比如 P(A|B) 和 P(B|A)。
按照乘法法則，可以立刻導(dǎo)出：P(A∩B) =P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B)。如上公式也可變形為：P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)。

貝葉斯公式也稱為貝葉斯法則， 盡管它是一個(gè)數(shù)學(xué)公式，但其原理毋需數(shù)字也可明了。如果你看到一個(gè)人總是做一些好事，則那個(gè)人多半會(huì)是一個(gè)好人。這就是說，當(dāng)你不能準(zhǔn)確知悉一個(gè)事物的本質(zhì)時(shí)，你可以依靠與事物特定本質(zhì)相關(guān)的事件出現(xiàn)的多少去判斷其本質(zhì)屬性的概率。 用數(shù)學(xué)語言表達(dá)就是：支持某項(xiàng)屬性的事件發(fā)生得愈多，則該屬性成立的可能性就愈大。

簡(jiǎn)單來說，就是在已知一些條件下（部分事件發(fā)生的概率），實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)事件發(fā)生概率更準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)，我們接著用個(gè)例子來應(yīng)用貝葉斯公式：
1）A發(fā)生的概率為13/60
2）B1發(fā)生的概率為1/3
3）B1發(fā)生的情況下A發(fā)生的概率為1/4
計(jì)算A發(fā)生的情況下B1發(fā)生的概率：

$$\begin{array}{rl}P\left(B_1\mid A\right)& =P\left(B_1\right)\times \frac{P\left(A\mid B_1\right)}{P(A)}\\ & =\frac{1}{3}\times \frac{\frac{1}{4}}{\frac{13}{60}}\\ & =\frac{5}{13}\end{array}$$

貝葉斯公式還可以利用全概率公式延伸如下：
$$P\left(B_i\mid A\right)=\frac{P\left(B_i\right)?P\left(A\mid B_i\right)}{P(A)}=\frac{P\left(B_i\right)?P\left(A\mid B_i\right)}{{\sum }_{j=1}^{n}P\left(A\mid B_j\right)P\left(B_j\right)}$$
**其核心就是：基于樣本信息（X）與結(jié)果分布（y）統(tǒng)計(jì)條件概率，再計(jì)算新樣本對(duì)應(yīng)的事件概率。**舉個(gè)例來說明：
已知：女神喜歡一個(gè)人的概率是0.1，她對(duì)喜歡的人笑的概率是0.5，她平時(shí)笑的概率是0.2，那女神對(duì)你笑，喜歡你的概率是多少？遇到問題，我們先不用慌，先定義下各個(gè)事件，然后應(yīng)用公式計(jì)算
1）女神笑的概率，記為P(A);
2）女神喜歡一個(gè)人的概率，記為P(B);
3）女神對(duì)你笑的情況下，喜歡你的概率，記為P(B｜A)；
4）女神喜歡你的情況下，對(duì)你笑的概率，記為P(A｜B)；
那運(yùn)用貝葉斯公式可以計(jì)算為：P(B｜A)= P(B) * P(A｜B) / P(A) = 0.1*0.5/0.2 = 0.25

3.2 樸素貝葉斯

定義：以貝葉斯定理為基礎(chǔ)，假設(shè)特征之間相互獨(dú)立，先通過訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，學(xué)習(xí)從輸入到輸出的概率分布，再基于學(xué)習(xí)到的模型及輸入，求出使得后驗(yàn)概率最大的輸出實(shí)現(xiàn)分類。

$$P(Y\mid X)=P(Y)?\frac{P(X\mid Y)}{P(X)}$$

特征之間相互獨(dú)立
$$\begin{array}{c}P\left(X\mid Y=y_i\right)=\prod _{j=1}^{m}P\left(x_j\mid Y=y_i\right)\\ P\left(y_i\mid x_1,x_2\dots ,x_m\right)=\frac{P\left(y_i\right){\prod }_{j=1}^{m}P\left(x_j\mid y_i\right)}{P\left(x_1,x_2\dots ,x_m\right)}=\frac{P\left(y_i\right){\prod }_{j=1}^{m}P\left(x_j\mid y_i\right)}{{\prod }_{j=1}^{m}P\left(x_j\right)}\end{array}$$

這樣直接看公式，大家可能看不懂，那我們用個(gè)案例來說明：

1）我們有4個(gè)樣本，每個(gè)樣本有Gender性別、Age年齡、Device使用設(shè)備 3個(gè)X特征；
2）每個(gè)樣本有y這個(gè)label，用來表示是否會(huì)購買某個(gè)產(chǎn)品，會(huì)購買我們記為1，不會(huì)則記為0；
3）計(jì)算第一個(gè)樣本下，y=1的概率
首先用數(shù)學(xué)的方式表述下這個(gè)問題：
1）定義 Gender為X1
2）定義Age 為X2
3）定義Device為X3
4）求解概率P(y=1｜X1=0，X2=0，X3=0)
接下來就可以使用樸素貝葉斯公式來計(jì)算，具體如下：
$$\begin{array}{rl}& P(y=1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\\ & P\left(x_1=0\mid y=1\right)=\frac{1}{2}P\left(x_2=0\mid y=1\right)=\frac{1}{2}P\left(x_3=0\mid y=1\right)=\frac{1}{2}\\ & P\left(x_1=0\right)=\frac{2}{4}P\left(x_2=0\right)=\frac{1}{4}P\left(x_3=0\right)=\frac{3}{4}\\ & P\left(y=1\mid x_1=0,x_2=0,x_3=0\right)=\frac{P(y=1)\times \left(P\left(x_1=0\mid y=1\right)?P\left(x_2=0\mid y=1\right)?P\left(x_3=0\mid y=1\right)\right)}{P\left(x_1=0\right)?P\left(x_2=0\right)?P\left(x_3=0\right)}\\ & =\frac{\frac{1}{2}\times \left(\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}{\frac{2}{4}\times \frac{1}{4}\times \frac{3}{4}}=\frac{2}{3}\end{array}$$

四、實(shí)戰(zhàn)：Python實(shí)現(xiàn)樸素貝葉斯

4.1 安裝python庫Scikit-learn庫

百度百科查詢可知：Scikit-learn是GitHub上最受歡迎的機(jī)器學(xué)習(xí)庫之一。Scikit-learn（以前稱為scikits.learn，也稱為sklearn）是針對(duì)Python 編程語言的免費(fèi)軟件機(jī)器學(xué)習(xí)庫。它具有各種分類，回歸和聚類算法，包括支持向量機(jī)，隨機(jī)森林，梯度提升，k均值和DBSCAN，并且旨在與Python數(shù)值科學(xué)庫NumPy和SciPy聯(lián)合使用。而我們也可以使用該庫中的樸素貝葉斯模塊CategoricalNB模塊來實(shí)現(xiàn)樸素貝葉斯。
首先我們先來安裝Scikit-learn庫吧。

4.1.1 安裝numpy+mkl和scipy

安裝sklearn之前，需要安裝兩個(gè)庫，即numpy+mkl和scipy。但是不要使用pip3直接在終端安裝，因?yàn)閜ip3默安裝的是numpy，而不是numpy+mkl。

下面是numpy+mkl和scipy的第三方庫下載地址（里面內(nèi)容較多，但是是按照首字母排序的，可以直接搜索numpy+mkl、scipy，尋找到合適的版本下載）

第三方庫下載地址

分別下載下載numpy+mkl和scipy的.whl文件到本地后，安裝輪子工具

pip install wheel

在安裝之前，首先要在終端中定位到之前下載Numpy+mkl的地址中，然后再進(jìn)行安裝，比如：

pip install numpy-1.22.2+mkl-cp310-cp310-win_amd64.whl

在安裝之前，首先要在終端中定位到之前下載SciPy的地址中，然后再進(jìn)行安裝，比如：

pip install scipy-1.8.0-cp310-cp310-win_amd64.whl

4.1.2 安裝Sklearn

安裝完上面的numpy+mkl和scipy后，安裝Sklearn比較簡(jiǎn)單，使用pip install就可以直接安裝了

pip install -U scikit-learn

4.2 代碼詳解

我們通過下面這個(gè)用戶基本信息數(shù)據(jù)集進(jìn)行訓(xùn)練，來預(yù)測(cè)器購買商品的概率。
計(jì)算以下用戶購買商品的概率，預(yù)測(cè)其是否會(huì)購買，具體測(cè)試樣本如下：
這里我們可以使用scikit-learn建立一個(gè)樸素貝葉斯機(jī)器學(xué)習(xí)模型，然后使用其進(jìn)行訓(xùn)練及預(yù)測(cè)。
使用Jupyter Notebook演示如下：

全部代碼如下：

#引入關(guān)鍵包/模塊 import pandas as pd import numpy as np from sklearn.naive_bayes import CategoricalNB from sklearn.metrics import accuracy_score #數(shù)據(jù)加載 data = pd.read_excel('train_data.xlsx') data.head(10) # X賦值 X= data.drop(['y'],axis=1) print(X) # y賦值 y= data['y'] print(y) #建立模型 #建立模型實(shí)例 model = CategoricalNB()#模型訓(xùn)練,使用默認(rèn)參數(shù)進(jìn)行訓(xùn)練，可以進(jìn)入官網(wǎng)查看各參數(shù)設(shè)置 model.fit(X,y) #使用模型進(jìn)行概率預(yù)測(cè) y_predict_prob = model.predict_proba(X) print(y_predict_prob) #打印對(duì)應(yīng)的概率，我們會(huì)取概率大的那個(gè)值，其中每一行前面為預(yù)測(cè)為0的概率，后面為預(yù)測(cè)為1的概率 #使用模型進(jìn)行值預(yù)測(cè) y_predict = model.predict(X) print(y_predict) #計(jì)算模型準(zhǔn)確率 accuracy = accuracy_score(y,y_predict) print(accuracy) #測(cè)試樣本的測(cè)試 X_test = np.array([[0,0,0,1,1,0]]) print(X_test) y_test = model.predict(X_test) print(y_test) #結(jié)果為1，表示我們預(yù)測(cè)該用戶會(huì)購買該商品

總結(jié)

好啦，到這里我們就全部結(jié)束了人工智能必學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)三天學(xué)習(xí)了，相信從頭學(xué)到尾的小伙伴們應(yīng)該不會(huì)再覺得數(shù)學(xué)知識(shí)很難了吧，應(yīng)該也對(duì)繼續(xù)入門學(xué)習(xí)人工智能充滿信心了吧。

如果大家想繼續(xù)了解人工智能相關(guān)學(xué)習(xí)路線和知識(shí)體系，歡迎大家翻閱我的另外一篇博客《重磅 | 完備的人工智能AI 學(xué)習(xí)——基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)路線，所有資料免關(guān)注免套路直接網(wǎng)盤下載》
這篇博客參考了Github知名開源平臺(tái)，AI技術(shù)平臺(tái)以及相關(guān)領(lǐng)域?qū)＜?#xff1a;Datawhale，ApacheCN，AI有道和黃海廣博士等約有近100G相關(guān)資料，希望能幫助到所有小伙伴們。

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總結(jié)

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