针对图像的一阶导数和二阶导数
針對圖像的一階導數和二階導數
解釋關于圖像x,y方向一階導數和二階導數的問題?？偨Y如下：
基礎知識
數字圖像中，f(x,y)可表示成一個M*N的二維數字陣列，如下圖：
數字陣列：
一階差分
對于圖像f(i,j)，用差分來近似代替導數，則在點(i,j)處沿x方向和y方向的一階差分可表示為:
x方向的差分Δxf(i,j)=f(i+1,j)?f(i,j)\Delta_xf(i,j)=f(i+1,j)-f(i,j)Δx?f(i,j)=f(i+1,j)?f(i,j)
y方向的差分Δyf(i,j)=f(i,j+1)?f(i,j)\Delta_yf(i,j)=f(i,j+1)-f(i,j)Δy?f(i,j)=f(i,j+1)?f(i,j)
這種差分形式為水平垂直差分，在圖像中如如所示
同時，如上圖所示，對于圖像來說，通常圖像中最右一列和最下一行的各像素的梯度無法求得，一般用前一列和前一行的近似表示。
二階差分
對于數字圖像 f(i，j)，利用差分方程對x和y方向上的二階偏導數進行近似:
?2f?x2=?Δxf(i,j)?x=?(f(i+1,j)?f(i,j))?x=?(f(i+1,j))?x??(f(i+1,j))?x=f(i+2,j)?2f(i+1,j)+f(i,j)\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=\frac{\partial\Delta_xf(i,j)}{\partial x}=\frac{\partial(f(i+1,j)-f(i,j))}{\partial x}=\frac{\partial(f(i+1,j))}{\partial x}-\frac{\partial(f(i+1,j))}{\partial x}=f(i+2,j)-2f(i+1,j)+f(i,j) ?x2?2f?=?x?Δx?f(i,j)?=?x?(f(i+1,j)?f(i,j))?=?x?(f(i+1,j))???x?(f(i+1,j))?=f(i+2,j)?2f(i+1,j)+f(i,j)
其他同理可推出上式以點（i+1，j）為中心，用i代換i+1可得以（i,j）為中心的二階偏導數近似式。
?2f?x2=f(i+1,j)?2f(i,j)+f(i?1,j)\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=f(i+1,j)-2f(i,j)+f(i-1,j) ?x2?2f?=f(i+1,j)?2f(i,j)+f(i?1,j)
?2f?y2=f(i,j+1)?2f(i,j)+f(i,j?1)\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=f(i,j+1)-2f(i,j)+f(i,j-1) ?y2?2f?=f(i,j+1)?2f(i,j)+f(i,j?1)
?2f?x?y=f(i+1,j+1)+f(i,j)?f(i,j+1)?f(x+1,j)\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}=f(i+1,j+1)+f(i,j)-f(i,j+1)-f(x+1,j) ?x?y?2f?=f(i+1,j+1)+f(i,j)?f(i,j+1)?f(x+1,j)
本文是本人博客的第一篇，加油，博客搞起來！！！！
總結
以上是生活随笔為你收集整理的针对图像的一阶导数和二阶导数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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