函數f的二階導數f''有什么用？

在一個很短的間隔內，二階導數可以非常好地利用二次多項式（quadratic polynomial）去近似一個函數。

那接下來我們的目的就是找出這個二次多項式。

利用單調性，f'' > 0，f'遞增，可以預測f也是遞增。那么我們的目的就是用f''去預測f是怎么樣的。

假設f''在區間[a, b]能滿足如下不等式：

? ? ? ? ? ?(1)

根據上面不等式，有M - f''(x) ≥ 0，這個不等式可以看作是函數g(x) = Mx - f'(x)的導數。

由于M - f''(x) ≥ 0，所以g(x)在區間[a, b]中單調遞增，所以g(a) ≤ g(x) 即滿足下面不等式：

? ? ? ?(2)

移項得到：

? ? ? ? （3）

上式左邊是f(x) - f'(a)x的導數，右邊是1/2 M(x - a)2的導數，那么可以得出下面函數：

由于該函數的導數滿足(3)，所以函數在[a, b]區間單調遞增，那么可以推導出下面的式子：

f(x)移到左邊，其他移到右邊得到：

由于m ≤ f''(x)，根據單調性同理推導出：

那么總結出最后的不等式：

? ? （4）

那么必須有一個H在m和M之間，即m ≤ H ≤ M，使得：

? ? ? (5)

把f''(x)看成一個函數，由于m ≤ f''(x) ≤ M在[a, b]區間，根據介值定理，必定存在一個點x = c滿足f''(c) = H。

把x = b，f''(c) = H代入(5)式得到：

? ? ?(6)

公式?(6)就是linear?approximation。

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參考資料：

Calculus with Application by Peter D. Lax?

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的Linear approximation笔记的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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