Type-2 Fuzzy Set and Interval Type-2 Fuzzy Set

Fuzzy Set (type-1 fuzzy set)

Fuzzy Set 由Zadeh 于1965年提出。Fuzzy Set 具體表示方式為(U,m), 其中U為論域(即取值范圍)，m為U在[0,1] 上的映射關系，稱為隸屬度函數(membership function)，。在經典二價集(crisp set)中，元素只能屬于或不屬于某一集合，而Fuzzy Set 中的元素可以通過隸屬度（degree of membership）來模糊的界定元素與集合的關系。以模糊集合 A="路段車輛排隊很長"為例，U為排隊長度的論域：{x| x>=0,x $\in Z$}，m為隸屬度函數：
$$f(x)=?\begin{array}{rlr}=& 0& x<5\\ =& \frac{(x?5)}{10}& 5?x<15\\ =& 1& x?15\end{array}$$
隸屬度函數對應的圖像為：

如圖中所示，當交叉口進口道排隊長度為10輛時，“路段車輛排隊很長”的概率為0.5。

Type-2 Fuzzy Set（general type-2 fuzzy sets）

Type-1 Fuzzy Set 通過membership function的方式，將精確的輸入值以隸屬度的方式歸納到一個模糊集合，但仍有部分學者認為由Crisp set$?$Type-1 fuzzy set 的過程模糊度不足，不能很好的體現"Fuzzy",因此zadeh在1975年又提出了Type-2 Fuzzy Set。Type-2 fuzzy set是Type-1 fuzzy set 的一般化，能夠表示membership function 的不確定性（Uncertainty)，通常以$\tilde{A}$表示type-2 fuzzy set。
將type-1 fuzzy set的membership進行模糊化，用兩個界限函數：a lower membership function(LMF) 和 a upper membership function(UMF)表示，稱為footprint of uncertainty(FOU)，如下圖所示：

Type-2 fuzzy set 的元素是三維的，第三維是每一個x在其二維的FOU的值域上對應的值，如圖所示：

Interval Type-2 Fuzzy Set

在interval type-2 fuzzy set中，FOU值域對應的第三維的數值都相同，因此interval type-2 fuzzy set 也稱作 first-order uncertainty fuzzy set。與general type-2 fuzzy sets相比，interval type-2 fuzzy set 更簡單，因而近年來更受到學者的關注。

應用

Type-2 fuzzy set 因其對Uncertainty 的表達能力，廣泛應用于rule-based fuzzy logic systems (FLSs)，如下圖所示。此類FLS通常適用于模糊邏輯控制（Fuzzy Logic Control,FLC）、fuzzy logic signal processing、rule-base classification, 也通常稱為fuzzy set在function approximation的應用，因為模糊邏輯系統的目的就是要降低錯誤率。

本文主要參考資料來自.wikipedia：Fuzzy_set，wikipedia：Type-2_fuzzy_sets_and_systems

總結

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