1.厄米特矩陣（Hermittan Matrix）

1.1 共軛

1.1 共軛轉置

向量的共軛轉置

矩陣的共軛轉置

1.2 復向量的長度

實向量的長度
$${\mathbf{x}}^T\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1?x_n\end{array}\right]?\begin{array}{c}{x}_1\\ ?\\ x_n\end{array}?=|x_1{|}^2+?+|x_n{|}^2$$
復向量的長度
我們假設其長度為
$$z^{T}z=\left[\begin{array}{c}{z}_1?z_n\end{array}\right]?\begin{array}{c}{z}_1\\ ?\\ z_n\end{array}?=|z_1{|}^2+?+|z_n{|}^2=0$$
假設 $z_1=1+i$ 則 $|z_1{|}^2=(1+i)(1+i)=1+i^2=0$，一個非零向量其長度為0顯然不符合事實，這是因為虛數$i$的原因，所以復向量的長度為 ${\bar{z}}^{T}z=z^{H}z$【$H$代表共軛轉置】

1.3 復向量內積

1.4 厄米特矩陣

對于實對稱矩陣 $S=S^T$，有實特征值、正交矩陣$Q$中有特征向量、可以分解為 $S=Q\Lambda Q^{?1}$ 因為 $Q^{?1}=Q$ 所以 $S=Q\Lambda Q^T$

在復數矩陣中，有一類矩陣，滿足 $A=A^H$ 叫做厄米特矩陣【其中 $H$ 代表共軛轉置 $A^H={\bar{A}}^T$】

特殊的厄米特矩陣$S$，則$S=S^H$

特殊的厄米特矩陣：主對角線上都是實數、副對角線上為復數共軛 $s_{ij}={\bar{s}}_{ij}$

特殊的厄米特矩陣的三個性質

性質一：

性質二：

性質三：

$$\begin{gathered} S\mathbf{z}=\lambda \mathbf{z} \\ {\mathbf{y}}^{H}S\mathbf{z}={\mathbf{y}}^H\lambda \mathbf{z} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} S\mathbf{y}=\beta \mathbf{y} \\ {\mathbf{y}}^H{S}^H=\beta {\mathbf{y}}^H \\ {\mathbf{y}}^H{S}^H\mathbf{z}=\beta {\mathbf{y}}^H\mathbf{z} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\mathbf{y}}^{H}S\mathbf{z}={\mathbf{y}}^H\lambda \mathbf{z} \\ {\mathbf{y}}^H{S}^H\mathbf{z}=\beta {\mathbf{y}}^H\mathbf{z} \end{gathered}$$
因為 $S=S^H$，所以${\mathbf{y}}^H\lambda \mathbf{z}=\beta {\mathbf{y}}^H\mathbf{z}$，又因為 $\lambda =\beta$，所以 ${\mathbf{y}}^H\mathbf{z}=0$，故特征向量 $\mathbf{y}、\mathbf{z}$ 互相垂直

總結

以上是生活随笔為你收集整理的厄米特矩阵（Hermittan Matrix）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。