正態(tài)分布：

正態(tài)分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussiandistribution），若隨機變量X服從一個數(shù)學期望為μ、方差為σ^2的高斯分布，記為N(μ，σ^2)。其概率密度函數(shù)為正態(tài)分布的期望值μ決定了其位置，其標準差σ決定了分布的幅度。我們通常所說的標準正態(tài)分布是μ = 0,σ = 1的正態(tài)分布。
當μ=0，σ=1時，正態(tài)分布就成為標準正態(tài)分布N（0，1)。概率密度函數(shù)為：


正態(tài)分布的密度函數(shù)的特點是：關于μ對稱，并在μ處取最大值，在正（負）無窮遠處取值為0，在μ±σ處有拐點，形狀呈現(xiàn)中間高兩邊低，圖像是一條位于x軸上方的鐘形曲線。

卡方分布：

若n個相互獨立的隨機變量ξ?、ξ?、……、ξn ，均服從標準正態(tài)分布N（0,1）（也稱獨立同分布于標準正態(tài)分布），則這n個服從標準正態(tài)分布的隨機變量的平方和構成一新的隨機變量，其分布規(guī)律稱為分布（chi-squaredistribution）。其中參數(shù)n稱為自由度（通俗講，樣本中獨立或能自由變化的自變量的個數(shù)，稱為自由度），正如正態(tài)分布中均值或方差不同就是另一個正態(tài)分布一樣，自由度不同就是另一個分布。記為。 分布的均值為自由度 n，記為 E( ) = n； 分布的方差為2倍的自由度(2n)，記為 D( ) = 2n。

從卡方分布圖可以看出：卡方分布在第一象限內(nèi)，卡方值都是正值，呈正偏態(tài)（右偏態(tài)），隨著參數(shù) n 的增大；卡方分布趨近于正態(tài)分布；隨著自由度n的增大，卡方分布向正無窮方向延伸（因為均值n越來越大），分布曲線也越來越低闊（因為方差2n越來越大）。

t分布：

首先要提一句u分布，正態(tài)分布（normal distribution）是許多統(tǒng)計方法的理論基礎。正態(tài)分布的兩個參數(shù)μ和σ決定了正態(tài)分布的位置和形態(tài)。為了應用方便，常將一般的正態(tài)變量X通過u變換[(X-μ)/σ]轉(zhuǎn)化成標準正態(tài)變量u，以使原來各種形態(tài)的正態(tài)分布都轉(zhuǎn)換為μ=0，σ=1的標準正態(tài)分布（standard normaldistribution）,亦稱u分布。根據(jù)中心極限定理，通過抽樣模擬試驗表明，在正態(tài)分布總體中以固定 n 抽取若干個樣本時，樣本均數(shù)的分布仍服從正態(tài)分布，即N（μ，σ）。所以，對樣本均數(shù)的分布進行u變換，也可變換為標準正態(tài)分布N (0,1)。
由于在實際工作中，往往σ(總體方差)是未知的，常用s（樣本方差）作為σ的估計值，為了與u變換區(qū)別，稱為t變換，統(tǒng)計量t 值的分布稱為t分布。假設X服從標準正態(tài)分布N（0,1），Y服從卡方 （n）分布，那么Z=X/sqrt(Y/n)的分布稱為自由度為n的t分布,記為 Z～t(n)。

可以看出，t分布以0為中心，左右對稱的單峰分布；t分布是一簇曲線，其形態(tài)變化與n（確切地說與自由度ν）大小有關。自由度ν越小，t分布曲線越低平；自由度ν越大，t分布曲線越接近標準正態(tài)分布（u分布）曲線。

F分布：

設X、Y為兩個獨立的隨機變量，X服從自由度為n的卡方分布，Y服從自由度為m的卡方分布，這兩個獨立的卡方分布除以各自的自由度以后的比率服從F分布。即：


F分布是一種非對稱分布；它有兩個自由度，即n-1和m-1，相應的分布記為F（ n–1，m-1）， n-1通常稱為分子自由度， m-1通常稱為分母自由度；F分布是一個以自由度（n-1）和（m-1）為參數(shù)的分布族，不同的自由度決定了F 分布的形狀。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的正态分布/卡方分布/F分布/T分布的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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