電路之

暫態分析

為什么會出現暫態？

學習了前面直流電路和交流電路的內容，我們似乎覺得這已經覆蓋了電路可能存在的各種情況。陌生如電容、電感這種元件，只要將它們插在直流電路里，便是一個斷路，一個短路，無比簡單。可事實真的如此嗎？當直流電路中只有電阻時，我們可以認為電路瞬間到達一個穩定的狀態，但如果是電容，或是電感呢？

我們拿電容舉例，當電容上極板連接電源正極，下極板連接負極，極板間就形成了電勢差，且等于電源電勢差。而電勢差的形成勢必要求要有電子的轉移，我們認為導體中正電荷不移動，那么正極板的電子就通過正極板-電源-負極板這條路流到負極板，電源消耗電能“搬運”電子，使電容器充能，這就是電容器充能的微觀解釋。而這個過程并不是瞬間完成的：我們可以想象出來，隨著極板上電勢差的逐漸變化，搬運電子的難度也在變化，那是否可以定量的描述這種變化，甚至畫出相關的曲線圖？事實上，這個過程一般會耗時數秒，短的甚至數毫秒，但其影響不容小覷。

circuit

暫態電路的幾種情形

NO.1 RC電路(充電和放電)

如下面這個圖，開關打至1處充電，打至2處放電，我們可以分別列出基爾霍夫方程：

U=q/C+iR

0=q/C+iR

其中，q是電容極板上的帶電量。

我們再由i的定義：i=dq/dt，代入，得到：

U=q/C+dq*R/dt

0=q/C+dq*R/dt

都是電量q的一階常系數常微分方程。充電情形下，在電路中電容上的電量必須從0逐漸增加，所以t=0時，q=0；而放電情形，t=0時，q自然等于CU。

運用以前學的高數知識，我們知道方程的解是

如果要求電容兩端電壓的變化，只要用q/C即可。這里的求解方法不同于課本上的，主要是著眼于電容本身，便于大家看到這個暫態的具體過程，而不是列出式子求解的機械運算。

NO.2 RL電路

如圖RL串聯電路，當開關撥向1時，一個從0到U的階躍電壓作用在了電路上，但由于有自感，電流的變化使得電路中出現了自感電動勢，根據電磁學知識，我們知道：

U_L=-Ldi/dt

再有基爾霍夫方程，可以得到接通電源后電路中任何瞬間都有：

Ldi/dt+iR=U

是個一階線性常系數非齊次的微分方程，用分離變量法求解。最后得：

或者寫成：

從接通電源開始，電路中的電流從0開始逐漸增加，將這個初始條件帶入，可以得到

K₁=-U/R

這里附上一個RC和RL的對比表格，可以很明顯的看出兩者“對偶”的關系。

NO.3 RLC串聯電路

RLC電路的情形相當復雜，主要復雜在得到微分方程之后的計算，開始時還是一樣的套路，簡簡單單一個基爾霍夫：

同樣的，我們還是把變量的種類化少一點，根據i和q的關系，我們得到：

這是一個二階線性常系數常微分方程，求解過程真的是非常復雜。所以最有效率的方法當然是只記結果：

這兩張圖分別反映了充放電過程中q隨t的變化曲線，分別對應λ>1,λ=1,λ<1的情形，分別稱為過阻尼，臨界阻尼和阻尼振蕩，這里的λ叫阻尼度，其大小為：

一言以蔽之：基爾霍夫，列方程組，該怎么解怎么解！

速記：三要素法

書本上還給了一種一階直流、線性電路瞬變過程的一般求解方法：三要素法。

這個方法提煉出了RC串聯電路的一般規律，用好這個方法可以直接寫出電路中物理量的表達式，不需要解方程等求解過程。

書上已經給的相當明確在此不再贅述，只是強調不要忽視，一定要用好這些技巧，這樣方可事半功倍！

應試物理類的考試，就比如電路，最重要的時刷題，不同于高數等科目刷題是為了提高自身熟練度，物理習題刷多了很容易到一個“山窮水盡”的地步，看到任何一道題都覺得曾經似乎做過，畢竟模型就那么多，每種模型都有了對策考試必然易如反掌。

編輯：嚴潤宇

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的一阶电路暂态响应的结果分析。_电路之暂态分析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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