CFD理論中的數學公式很多都可以用向量來表示。因此，掌握向量微積分的基本公式是很有幫助的。

注：本文內容譯自《The finite volume method in computational fluid dynamics _ an advanced introduction with OpenFOAM? and Matlab》，F.Moukalled, L.Mangani, M.Darwish

1 梯度公式

曲線積分的梯度公式將曲線積分與函數在曲線端點處的值聯系起來。

其描述為：標量場的梯度沿曲線(用向量，)的積分可以利用該標量場在該曲線兩端的值之差來計算:

2 Green公式

格林公式描述了平面上沿封閉曲線對坐標的曲線積分與曲線所圍成封閉區域上的二重積分之間的關系。

假設為二維區域的封閉輪廓，若函數為定義在R上的連續偏導數，則有：

式中，沿輪廓線C的積分以逆時針方向為正。

格林公式可以利用向量表達成更加緊湊的形式。為此可定義向量：

則格林公式可改寫成以下的形式：

格林公式可用于二維流動問題中的線積分。

3 Stokes公式

斯托克斯公式是格林公式的高維版本。格林公式把線積分和二重積分聯系起來，而斯托克斯公式把線積分和曲面積分聯系起來。設v為向量場，S為有向曲面，C為S的邊界曲線，利用右手定則確定方向，如圖2.16所示。

根據斯托克斯公式有：

式中變量滿足為單位切向量，且為輪廓線的弧長。線積分曲線C方向必須為正，這意味著當表面法線方向指向觀察者時，為逆時針方向，方向可以采用右手定則進行確定。

4 散度定理

設為邊界圍成的三維空間的體積，為沿邊界面向外的法向向量。若為體積上定義的向量場，則散度定理可描述為：

散度定理是流體力學中的一個重要定理，也是有限體積法的核心離散公式，其最大的特點是將體積分轉化為面積分。

散度定理可以在不同的情況下得到許多其他有用的恒等式。如其可用于標量函數s和非零常數向量的乘積，從而得到下列重要關系：

散度定理也可用于張量，此時可表述為：

5 萊布尼茨積分規則

萊布尼茨積分規則給出了一個對以微分變量函數為極限的定積分求導的公式。為一個依賴于空間變量x和時間t的函數，那么萊布尼茨積分規則可以表述為：

式中各項的含義可以從圖中分析出來。右邊的第一項給出由于隨著時間的變化而引起的積分量的變化，而第二項和第三項分別為積分上界和下界移動時面積的增加和減少。

積分規則應用與由以速度運動的表面圍成的體時，可以表達為：

式中，是關于空間與時間的標量函數。對于無移動的體積，方程縮減為：

上述方程也可以應用于向量與張量。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的曲线积分与曲面积分总结_CFD理论扫盲03 向量微积分的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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