指數(shù)加權(quán)平均數(shù)（ Exponentially weighted averages）

指數(shù)加權(quán)平均，在統(tǒng)計中也叫做指數(shù)加權(quán)移動平均。

下面列舉出表示倫敦一年之中的溫度：

?

如果要計算趨勢的話，也就是溫度的局部平均值，或者說移動平均值：

先使：${v_0} = 0$，然后計算：

${v_1} = 0.9{v_0} + 0.1{\theta _1}$

${v_2} = 0.9{v_1} + 0.1{\theta _2}$

依次類推：

${v_t} = 0.9{v_{t - 1}} + 0.1{\theta _t}$

將移動平均值即每日溫度的指數(shù)加權(quán)平均值畫出來的效果是：

上面的計算更一般的形式是：

${v_t} = \beta {v_{t - 1}} + (1 - \beta ){\theta _t}$

${v_t}$可以理解為大概是$\frac{1}{{(1 - \beta )}}$ 的每日溫度，例如$\beta? = 0.9$，可以理解為這是十天的平均值，也就是上圖紅線部分。

如果$\beta$接近于1，比如0.98，則$\frac{1}{{(1 - 0.98)}}$，大概計算過去 50 天的溫度，這時作圖可以得到綠線：

這種情況下曲線要平坦一些，原因在于你多平均了幾天的溫度，所以這個曲線，波動更小，更加平坦，缺點(diǎn)是曲線進(jìn)一步右移，因?yàn)楝F(xiàn)在平均的溫度值更多，要平均更多的值，指數(shù)加權(quán)平均公式在溫度變化時，適應(yīng)地更緩慢一些，所以會出現(xiàn)一定延遲。$\frac{1}{{(1 - 0.98)}}$，相當(dāng)于給前一天的值加了太多權(quán)重，只有 0.02 的權(quán)重給了當(dāng)日的值。

如果$\frac{1}{{(1 - 0.5)}}$，平均了兩天的溫度，這時作圖黃線所示：

?

由于僅平均了兩天的溫度，平均的數(shù)據(jù)太少，所以得到的曲線有更多的噪聲，有可能出現(xiàn)異常值，但是這個曲線能夠更快適應(yīng)溫度變化。

參數(shù)$\beta$，是一個很重要的參數(shù)，可以取得稍微不同的效果，往往中間有某個值效果最好，在本例中紅線比起綠線和黃線更好地平均了溫度。

理解指數(shù)加權(quán)平均數(shù)（Understanding exponentially weighted averages）

將公式${v_t} = 0.9{v_{t - 1}} + 0.1{\theta _t}$倒著寫：

${v_{100}} = 0.9{v_{99}} + 0.1{\theta _{100}}$

${v_{99}} = 0.9{v_{98}} + 0.1{\theta _{99}}$

${v_{98}} = 0.9{v_{97}} + 0.1{\theta _{98}}$

依次類推。。。

進(jìn)一步展開可以表示為：

${v_{100}} = 0.1{\theta _{100}} + 0.1*0.9{\theta _{99}} + 0.1*{(0.9)^2}{\theta _{98}} + 0.1*{(0.9)^3}{\theta _{97}} + 0.1*{(0.9)^4}{\theta _{96}} + ......$

第 100 天計算的數(shù)據(jù)是一個總和，包括100號數(shù)據(jù)，99號數(shù)據(jù)，98號數(shù)據(jù)等等。

假設(shè)我們有一組數(shù)據(jù)，例如100天中每天的溫度，畫圖表示：

然后我們構(gòu)建一個指數(shù)衰減函數(shù)，從 0.1 開始，到$0.1*0.9$，到$0.1*{(0.9)^2}$，以此類推，所以就有了這個指數(shù)衰減函數(shù)，畫圖表示：

此時計算${v_{100}}$，只需要將兩組數(shù)據(jù)對應(yīng)相乘再求和即可。所有的系數(shù)相加起來為 1 或者逼近 1，我們稱之為偏差修正。

需要平均多少天的溫度的計算思路：

${(0.9)^{10}} \approx 0.35$，這個值大概是$\frac{1}{e}$，也就是說：

$\varepsilon {\rm{ = }}0.1$，${(1 - \varepsilon )^{\frac{1}{{(1 - \varepsilon )}}}} \approx \frac{1}{e}$大約是 0.34， 0.35，換句話說， 10 天后，曲線的高度下降到$\frac{1}{3}$相當(dāng)于在峰值的$\frac{1}{e}$。

所以當(dāng)$\beta? = 0.9$，也即$\varepsilon? = 1 - \beta $時只關(guān)注了過去 10天的溫度，因?yàn)?10 天后，權(quán)重下降到不到當(dāng)日權(quán)重的三分之一。

所以估算大約平均多少天的溫度時，我們使用公式：$\frac{1}{{1 - \beta }}$

不過這只是思考的大致方向，并不是正式的數(shù)學(xué)證明。

在實(shí)際計算時，我們可以使用：$v: = \beta v + (1 - \beta ){\theta _t}$

指數(shù)加權(quán)平均數(shù)公式的好處之一在于，它占用極少內(nèi)存，電腦內(nèi)存中只占用一行數(shù)字而已，然后把最新數(shù)據(jù)代入公式，不斷覆蓋就可以了。

計算指數(shù)加權(quán)平均數(shù)也只占用單行數(shù)字的存儲和內(nèi)存，當(dāng)然它并不是最好的，也不是最精準(zhǔn)的計算平均數(shù)的方法。如果你要計算移動窗，你直接算出過去 10 天的總和，過去 50 天的總和，除以 10 和 50 就好，如此往往會得到更好的估測。但缺點(diǎn)是，如果保存所有最近的溫度數(shù)據(jù)，和過去 10 天的總和，必須占用更多的內(nèi)存，執(zhí)行更加復(fù)雜，計算成本也更加高昂。?

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/xiaojianliu/articles/9652131.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的2-3 指数加权平均数的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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