隨機過程可以作為離散時間信號的模型。

通常，一個隨機過程是一族帶有序號的隨機變量：

..., x[-2], x[-1], x[0], x[1], x[2], ...

上面的每一個x[i]都是一個隨機變量，可以分別具有不同的概率分布（連續的或離散的）。

這樣，x的均值是時間的函數；自相關是一個二維序列（和起點以及時間差都有關）。

然而，對于平穩過程，我們有：

p(x_n+k,n+k,x_m+k,m+k)=p(x_n,n,x_m,m)

即x[n]和x[m]的聯合分布只和m和n之間的差有關。

當m=n時，上式成為p(x_n+k,n+k)=p(x_n,n)

也就是說，一個平穩過程的概率密度函數PDF在任意時間點n都是相同的（time independent）。

于是，平穩過程的集合平均E[x_n]是一個常數，自相關只與時間差有關。

反過來說，如果一個隨機過程的均值/方差為常數，自相關只與時間差有關，我們未必能確定其概率分布是否時不變；但我們仍稱其為廣義平穩的。

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在實用上，我們只能得到有限個有限長的序列。直覺上，對于平穩過程，單個序列很長一段的幅值分布近似等于單一概率密度：

時間平均等于集合平均的隨機過程稱為遍歷過程。

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序列的相關或協方差會使用序列的共軛參與計算，例如時間自相關<x_n+mx_m^*>=lim(x_n+mx_m^*)/L。

此處使用共軛參與計算是為了能夠和方差在數學形式上保持一致：計算方差所使用的|x_n|²=x_nx_n^*。

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相關函數的傅里葉變換稱為信號的功率（密度）譜。這個問題可以這樣理解：

1. 當隨機信號隱含著某種頻率成分時，對該信號做自相關將會在（和這個頻率成分對應的）周期處形成峰值。

2. 如果直接從加窗后的信號的DFT計算功率密度，積分式子包含|H(e^jω)|²=H(e^jω)H^*e(^jω)，按傅立葉變換性質，該頻域乘積在時域等于H(e^jω)和H^*e(^jω)反變換的卷積，再考慮H(e^jω)和H^*e(^jω)的反變換的關系，最終得到的式子在時域就是非周期自相關。

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周期圖法是一種信號功率譜密度估計方法。離散隨機序列x[n]加窗信號的離散傅里葉變換X具有周期性，因而其功率譜I(ω)也具有周期性，常稱為周期圖（一說是因為將x[n]看成周期延拓信號）。

當窗函數長度增加時，E{I(ω)}更接近于隨機信號實際功率譜P_xx(ω)，然而相鄰頻率點間的起伏也將加劇。可以使用拆分為多段求功率譜然后平均的方法來抑制這個問題，附帶的效果是泄漏（or降低分辨率？）。

功率譜分析可用于信號檢測，發現采樣信號中隱藏的周期性，比如較大的噪聲序列中隱藏著較小的周期信號。

>> n=[0:1:1023];

>> e=unifrnd(-1.732, 1.732, 1, 1024); ? ?% 均勻分布隨機信號，-1.732<e<1.732

>> xn=0.5*cos(2*3.14*n/21) + e;

>> I=periodogram(xn1,[],1024); ? ? ? ? ? ?% default window (rectangle)

>> plot(I);

在使用平均周期圖時，對信號作截斷將引起信號突變，從而帶來不希望的高頻分量，這個高頻分量無法通過平均消除或減弱。所以信號窗長度相對于信號變化必須足夠長。

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LTI系統對隨機信號的效果

（下述分析實際上不局限于隨機信號）

1. 輸入輸出的互相關是單位脈沖響應與輸入自相關的卷積。

x=[1 2 3];

h=[4 5 6];

y=conv(x,h); ? ?% y=[4 13 28 27 18]

phixy1=xcorr(y,x); ?% xcorr計算E[x(n+m)·y(n)]，但奧本海默說φ_xy[m]=E[x(n)·y(n+m)]

% x長度為3，y長度為5，x后端補零

% phixy1=[-0.0000 -0.0000 12.0000 47.0000 114.0000 150.0000 136.0000 63.0000 18.0000]

% Taxis ?=[ ? ?-4 ? ? ? ?-3 ? ? ? ? -2 ? ? ? ? ? -1 ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? 4 ? ? ]

phixx=xcorr(x);

% phixx=[3.0000 ? ?8.0000 ? 14.0000 ? ?8.0000 ? ?3.0000]

% Taxis=[ ? ?-2 ? ? ? ? ? -1 ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 2 ? ? ]

phixy2=conv(h,phixx);

% phixy2=conv(h,phixx);

% phixy2=[12.0000 ? 47.0000 ?114.0000 ?150.0000 ?136.0000 ? 63.0000 ? 18.0000]

% Taxis ?=[ ? ?-2 ? ? ? ? ? -1 ? ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ?3 ? ? ? ? ? ? 4 ? ? ]

% Look, phixy1=phixy2.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的随机信号的傅里叶分析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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