RSA 加解密算法
與DES不同，RSA算法中，每個通信主體都有兩個鑰匙，一個公鑰一個私鑰。
就是有2把鑰匙
1。使用publicKey可以對數(shù)據(jù)進行加密
2。使用Key才能對數(shù)據(jù)進行解密
單方向傳輸
用公鑰加密的數(shù)據(jù)，只有私鑰能解開（可用于加密）；
同時，使用私鑰加密的數(shù)據(jù)，只有公鑰能解開（簽名）。但是速度很慢（比私鑰加密慢100到1000倍），
公鑰的主要算法有RSA，還包括Blowfish,Diffie-Helman等
公鑰與私鑰
1.權(quán)威數(shù)字認證機構(gòu)（CA）給所有通信主體（個人或組織）頒發(fā)公鑰和私鑰，彼此配對，分別唯一。
2.私鑰好比數(shù)字指紋，同時具有解密和加密功能。個人保管，不公開。
3.公鑰好比安全性極高的掛號信箱地址，公開。
公私鑰加解密舉例
設(shè)若甲有一份需保密的數(shù)字商業(yè)合同發(fā)給乙簽署。經(jīng)過如下步驟：
?1. 甲用乙的公鑰對合同加密。
?2. 密文從甲發(fā)送到乙。
?3. 乙收到密文，并用自己的私鑰對其解密。
?4. 解密正確，經(jīng)閱讀，乙用自己的私鑰對合同進行簽署。
?5. 乙用甲的公鑰對已經(jīng)簽署的合同進行加密。
?6. 乙將密文發(fā)給甲。
?7. 甲用自己的私鑰將已簽署合同解密。
?8. 解密正確，確認簽署。
公私鑰加解密說明
從以上步驟，我們知道：
?1. 用公鑰加密的密文能且只能用與其唯一配對的私鑰才能解開。
?2. 如果某份密文被解開，那么肯定是密文的目標信息主體解開的。
?3. 私鑰因其唯一標識所有者的屬性，被用于數(shù)字簽名，具有法律效力。
一。?公私鑰生成
1.隨機選定兩個大素數(shù)p, q.
2.計算公鑰和私鑰的公共模數(shù) n = pq .
3.計算模數(shù)n的歐拉函數(shù) φ(n) .
4.選定一個正整數(shù)e, 使1 < e < φ(n) , 且e與φ(n)互質(zhì).
5.計算d, 滿足 de ≡ 1? (mod φ(n) ), (k為某個正整數(shù)).
6.n與e決定公鑰, n與d決定私鑰.
二。加解密
該過程為小張給小李發(fā)消息，公鑰為小李的公鑰(n & e), 私鑰為小李的私鑰(n & d).
1.小張欲給小李發(fā)一個消息M, 他先把M轉(zhuǎn)換為一個大數(shù)m < n, 然后用小李的公鑰(n & e)把m加密為另一個大數(shù):
??c = me??? mod n
2.小李收到小張發(fā)來的大數(shù)c, 著手解密. 通過自己的私鑰(n & d), 得到原來的大數(shù)m:
??m = cd??? mod n
3.再把m轉(zhuǎn)換為M, 小李即得到小張的原始消息.
這個過程之所以能通過, 是因為有如下等式:
??cd ≡(me)d ≡med??? (mod n)
RSA詳細算法如下：
1、RSA算法
它是第一個既能用于數(shù)據(jù)加密也能用于數(shù)字簽名的算法。它易于理解和操作，也很流行。算法的名字以發(fā)明者的名字命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理論上的證明。它經(jīng)歷了各種攻擊，至今未被完全攻破。
一、RSA算法 :
首先, 找出三個數(shù), p, q, r,
其中 p, q 是兩個相異的質(zhì)數(shù), r 是與 (p-1)(q-1) 互質(zhì)的數(shù)......
p, q, r 這三個數(shù)便是 private key
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接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1).....
這個 m 一定存在, 因為 r 與 (p-1)(q-1) 互質(zhì), 用輾轉(zhuǎn)相除法就可以得到了.....
再來, 計算 n = pq.......
m, n 這兩個數(shù)便是 public key
?
編碼過程是, 若資料為 a, 將其看成是一個大整數(shù), 假設(shè) a < n....
如果 a >= n 的話, 就將 a 表成 s 進位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),
則每一位數(shù)均小於 n, 然後分段編碼......
接下來, 計算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),
b 就是編碼後的資料......
?
解碼的過程是, 計算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),
於是乎, 解碼完畢...... 等會會證明 c 和 a 其實是相等的? :)
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如果第三者進行竊聽時, 他會得到幾個數(shù): m, n(=pq), b......
他如果要解碼的話, 必須想辦法得到 r......
所以, 他必須先對 n 作質(zhì)因數(shù)分解.........
要防止他分解, 最有效的方法是找兩個非常的大質(zhì)數(shù) p, q,
使第三者作因數(shù)分解時發(fā)生困難.........
?
?
<定理>
若 p, q 是相異質(zhì)數(shù), rm == 1 mod (p-1)(q-1),
a 是任意一個正整數(shù), b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,
則 c == a mod pq
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證明的過程, 會用到費馬小定理, 敘述如下:
m 是任一質(zhì)數(shù), n 是任一整數(shù), 則 n^m == n mod m
(換另一句話說, 如果 n 和 m 互質(zhì), 則 n^(m-1) == 1 mod m)
運用一些基本的群論的知識, 就可以很容易地證出費馬小定理的........
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<證明>
因為 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整數(shù)
因為在 modulo 中是 preserve 乘法的
(x == y mod z? and? u == v mod z? =>? xu == yv mod z),
所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq
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1. 如果 a 不是 p 的倍數(shù), 也不是 q 的倍數(shù)時,
?? 則 a^(p-1) == 1 mod p (費馬小定理)? =>? a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p
????? a^(q-1) == 1 mod q (費馬小定理)? =>? a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
?? 所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1? =>? pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1
?? 即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq
?? =>? c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq
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2. 如果 a 是 p 的倍數(shù), 但不是 q 的倍數(shù)時,
?? 則 a^(q-1) == 1 mod q (費馬小定理)
?? =>? a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
?? =>? c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q
?? =>? q | c - a
?? 因 p | a
?? =>? c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p
?? =>? p | c - a
?? 所以, pq | c - a? =>? c == a mod pq
?
3. 如果 a 是 q 的倍數(shù), 但不是 p 的倍數(shù)時, 證明同上
?
4. 如果 a 同時是 p 和 q 的倍數(shù)時,
?? 則 pq | a
?? =>? c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq
?? =>? pq | c - a
?? =>? c == a mod pq
??????????????????????????????????????? Q.E.D.
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這個定理說明 a 經(jīng)過編碼為 b 再經(jīng)過解碼為 c 時, a == c mod n? (n = pq)....
但我們在做編碼解碼時, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,
所以這就是說 a 等於 c, 所以這個過程確實能做到編碼解碼的功能.....
二、RSA 的安全性
RSA的安全性依賴于大數(shù)分解，但是否等同于大數(shù)分解一直未能得到理論上的證明，因為沒有證明破解 RSA就一定需要作大數(shù)分解。假設(shè)存在一種無須分解大數(shù)的算法，那它肯定可以修改成為大數(shù)分解算法。目前， RSA 的一些變種算法已被證明等價于大數(shù)分解。不管怎樣，分解n是最顯然的攻擊方法?，F(xiàn)在，人們已能分解多個十進制位的大素數(shù)。因此，模數(shù)n 必須選大一些，因具體適用情況而定。
三、RSA的速度
由于進行的都是大數(shù)計算，使得RSA最快的情況也比DES慢上倍，無論是軟件還是硬件實現(xiàn)。速度一直是RSA的缺陷。一般來說只用于少量數(shù)據(jù)加密。
四、RSA的選擇密文攻擊
RSA在選擇密文攻擊面前很脆弱。一般攻擊者是將某一信息作一下偽裝( Blind)，讓擁有私鑰的實體簽署。然后，經(jīng)過計算就可得到它所想要的信息。實際上，攻擊利用的都是同一個弱點，即存在這樣一個事實：乘冪保留了輸入的乘法結(jié)構(gòu)：
( XM )^d = X^d *M^d mod n
? 前面已經(jīng)提到，這個固有的問題來自于公鑰密碼系統(tǒng)的最有用的特征--每個人都能使用公鑰。但從算法上無法解決這一問題，主要措施有兩條：一條是采用好的公 鑰協(xié)議，保證工作過程中實體不對其他實體任意產(chǎn)生的信息解密，不對自己一無所知的信息簽名；另一條是決不對陌生人送來的隨機文檔簽名，簽名時首先使用 One-Way HashFunction 對文檔作HASH處理，或同時使用不同的簽名算法。在中提到了幾種不同類型的攻擊方法。
五、RSA的公共模數(shù)攻擊
若系統(tǒng)中共有一個模數(shù)，只是不同的人擁有不同的e和d，系統(tǒng)將是危險的。最普遍的情況是同一信息用不同的公鑰加密，這些公鑰共模而且互質(zhì)，那末該信息無需私鑰就可得到恢復(fù)。設(shè)P為信息明文，兩個加密密鑰為e1和e2，公共模數(shù)是n，則：
C1 = P^e1 mod n
C2 = P^e2 mod n
密碼分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。
因為e1和e2互質(zhì)，故用Euclidean算法能找到r和s，滿足：
r * e1 + s * e2 = 1
假設(shè)r為負數(shù)，需再用Euclidean算法計算C1^(-1)，則
( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n
? 另外，還有其它幾種利用公共模數(shù)攻擊的方法?？傊?#xff0c;如果知道給定模數(shù)的一對e和d，一是有利于攻擊者分解模數(shù)，一是有利于攻擊者計算出其它成對的e’和d’，而無需分解模數(shù)。解決辦法只有一個，那就是不要共享模數(shù)n。
?? RSA的小指數(shù)攻擊。 有一種提高 RSA速度的建議是使公鑰e取較小的值，這樣會使加密變得易于實現(xiàn)，速度有
所提高。但這樣作是不安全的，對付辦法就是e和d都取較大的值。
?? RSA算法是第一個能同時用于加密和數(shù)字簽名的算法，也易于理解和操作。RSA是被研究得最廣泛的公鑰算法，從提出到現(xiàn)在已近二十年，經(jīng)歷了各種攻擊的考 驗，逐漸為人們接受，普遍認為是目前最優(yōu)秀的公鑰方案之一。RSA的安全性依賴于大數(shù)的因子分解，但并沒有從理論上證明破譯RSA的難度與大數(shù)分解難度等 價。即RSA的重大缺陷是無法從理論上把握它的保密性能如何，而且密碼學(xué)界多數(shù)人士傾向于因子分解不是NPC問題。 RSA的缺點主要有：A)產(chǎn)生密鑰很麻煩，受到素數(shù)產(chǎn)生技術(shù)的限制，因而難以做到一次一密。B)分組長度太大，為保證安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使運算代價很高，尤其是速度較慢，較對稱密碼算法慢幾個數(shù)量級；且隨著大數(shù)分解技術(shù)的發(fā)展，這個長度還在增加，不利于數(shù)據(jù)格式的標準化。目 前，SET( Secure Electronic Transaction )協(xié)議中要求CA采用比特長的密鑰，其他實體使用比特的密鑰。
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