概述

上一篇 AURIX 學(xué)習(xí)筆記（11）外部中斷以及基于時(shí)域互相關(guān)的超聲測距 介紹了 TC264D 實(shí)現(xiàn)超聲波測距應(yīng)用的結(jié)構(gòu)、原理等，也提到時(shí)域法的不足：計(jì)算復(fù)雜度高、濾波手段少、沒有充分利用單片機(jī)外設(shè)資源。頻域法互相關(guān)利用 FFT 模塊，補(bǔ)上了時(shí)域法的短板，可以取得比較良好的效果。本文介紹頻域法相對頻域法的改動(dòng)——主要是相關(guān)計(jì)算的改動(dòng)——以及在 TC264DA 上實(shí)現(xiàn)頻域互相關(guān)的一些細(xì)節(jié)（浪費(fèi)調(diào)試時(shí)間的坑）。

頻域互相關(guān)原理

數(shù)學(xué)原理

上一次寫過，離散互相關(guān)運(yùn)算的時(shí)域表達(dá)：

并且，我們知道離散卷積運(yùn)算的表達(dá)式是：

發(fā)現(xiàn)兩個(gè)表達(dá)式唯一的不通是原信號

取 還是 ，換句話說，離散互相關(guān)和離散卷積的唯一區(qū)別是原信號的一次反褶。所以還可以從卷積運(yùn)算滿足交換律推出互相關(guān)運(yùn)算不滿足交換律。并且很容易記住交換互相關(guān)的兩個(gè)信號導(dǎo)致相關(guān)譜的反褶。

我們還知道：

時(shí)域卷積等價(jià)于頻域乘積；

時(shí)域反褶等價(jià)于頻域共軛；

所以，可以寫出互相關(guān)的頻域表達(dá)：

其中，

是離散傅里葉變換， 是離散傅里葉反變換， 是同維向量的對應(yīng)項(xiàng)相乘， 是對復(fù)信號取共軛。

性能分析

原本

的互相關(guān)運(yùn)算，將被轉(zhuǎn)化為 2 次傅里葉變換、1 次傅里葉反變換，以及 的取共軛再相乘（注意，這里是復(fù)數(shù)相乘，一個(gè)復(fù)數(shù)乘是 4 個(gè)實(shí)數(shù)乘和 2 個(gè)實(shí)數(shù)加）。并且，很容易想到更多優(yōu)化思路：

「參考信號頻譜的共軛 」是個(gè)常量，沒必要反復(fù)算，算一次存起來即可；

實(shí)信號的頻譜，正頻率和負(fù)頻率成分呈共軛對稱關(guān)系，所以乘法只需要算一半， 也只需要存一半；

相對于 123.76 kHz 采樣率（根據(jù)奈奎斯特采樣定理，有效頻率是一半），超聲收發(fā)系統(tǒng)通帶很窄，不到有效測量頻率的 。而通帶以外算不算都是 0。

于是，實(shí)際上每次只要算 1 次傅里葉變換、1 次傅里葉反變換，以及最多

頻譜長度的共軛和復(fù)數(shù)乘法（乘，然后共軛生成負(fù)頻率成分）。對比時(shí)域法的性能：

• -O3 下，200 點(diǎn)參考的互相關(guān)譜 1 個(gè)點(diǎn)約 600 周期
• 1024 點(diǎn) FFT/IFFT 5000 周期，算上拷貝，置零之類的，差不多 20000 周期能完成一次普通的互相關(guān)運(yùn)算，但這相當(dāng)于是 256 點(diǎn)參考的 1024 點(diǎn)互相關(guān)譜， ，是 的差不多 40 倍

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為啥 1024 點(diǎn) FFT 實(shí)現(xiàn)的是 256 點(diǎn)參考的 1024 點(diǎn)互相關(guān)譜呢？

理解這個(gè)需要在有限長信號下考慮互相關(guān)運(yùn)算。互相關(guān)本質(zhì)上是在計(jì)算兩個(gè)信號在不同對齊方式下的內(nèi)積，或者說，兩個(gè)無限維向量在方向上的接近程度（假設(shè)它們的長度/幅度已經(jīng)歸一化）。所以對于實(shí)際上有限長，或者是窗口外全為零的信號來說，它們的窗口至少有一個(gè)公共非零點(diǎn)，才能得到非零的內(nèi)積，才能得到非零的相關(guān)譜線。當(dāng)

的 挪動(dòng)參考信號時(shí)，互相關(guān)譜的第一點(diǎn)是參考信號的尾重合于信號的頭，即 ，把參考信號左移了參考信號長度少一個(gè)。所以教科書上寫道 m 點(diǎn)參考和 n 點(diǎn)信號的互相關(guān)得到的是 m+n-1 點(diǎn)互相關(guān)譜。那么 1024 點(diǎn)的 DFT 自然得到 1024 點(diǎn)的互相關(guān)譜，m+n-1 不能大于 1024，否則由于 FFT 假設(shè)周期延拓，得到的是混疊的互相關(guān)譜。而 m+n-1 較小則會(huì)在互相關(guān)譜里補(bǔ)零，有點(diǎn)浪費(fèi)計(jì)算量。

所以 1024 點(diǎn) FFT 是肯定不能計(jì)算 1024 點(diǎn)參考的互相關(guān)的，選擇 256 的其他理由在后面。

知乎的分隔線好大！

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分幀問題

當(dāng)然，這種加速也是有代價(jià)的，代價(jià)就是「窗」的存在。時(shí)域互相關(guān)可以每一點(diǎn)都算一次，完全從定義出發(fā)。而頻域則必須截取一段時(shí)域信號，才能享受這個(gè)加速的優(yōu)勢。截的越長，優(yōu)勢越大。

這個(gè)在軟件互相關(guān)才是完全正確的，按理說 FFT 使得 加速到 ，加速效果隨 n 指數(shù)增長。但 AURIX 學(xué)習(xí)筆記（10）硬件 FFT 寫過，TC264DA 的 FFT 模塊差不多是線性的。但是（相同采樣率下）更長的窗就是更多的點(diǎn)數(shù)，通常會(huì)使用更長的 FFT，由于頻譜點(diǎn)數(shù)也變多，相當(dāng)于頻域分辨率加大，還是會(huì)獲得一些精度提升。

有窗，就會(huì)遇到窗里有沒有我要的信號？有多少？如果只有一半在窗里怎么辦？等等問題。這些問題非常現(xiàn)實(shí)。為了解決窗里截到部分信號的問題，就需要重疊分幀。如圖所示：

重疊分幀，保證至少有一幀包含完整的目標(biāo)信號

只要滿足這些條件：

幀長度不小于信號長度

兩幀重疊部分長度不小于信號長度

就能保證至少有一幀包含完整的信號。

總結(jié)一下，現(xiàn)在我們的（幀、重疊部分、參考信號）長度選擇受到以下限制：

而我們回頭去考察時(shí)域互相關(guān)，會(huì)發(fā)現(xiàn)時(shí)域互相關(guān)其實(shí)就是

、 的而已，所以一次只能算出 1 個(gè)點(diǎn)也沒什么奇怪的。這也告訴我們重疊長度越小，重復(fù)計(jì)算就越少，當(dāng)然相當(dāng)于性能就越高。

進(jìn)一步考慮，為了讓 CPU 多做事，不應(yīng)該讓 ADC 中斷這樣的例行公事頻繁打擾 CPU，那就要使用 DMA，而又由于 AURIX DMA 的奇怪設(shè)計(jì)，其地址循環(huán)必須是 2 的整數(shù)次冪。

當(dāng)然地址循環(huán)是，中斷不一定非要和地址循環(huán)對應(yīng)，這里仍有優(yōu)化空間。可以改但沒必要。

所以選擇幀長度=768，參考長度=重疊長度=256 就顯得比較自然、順理成章了。

實(shí)現(xiàn)

為了使用頻域法計(jì)算互相關(guān)，進(jìn)行下列配置：

• 分配內(nèi)存
  • 供 ADC 的 DMA 寫的 uint16 vadc_buffer[256]
  • 保存歷史數(shù)據(jù)的 uint16 copy_buffer[512]
  • 保存參考時(shí)域信號的 const sint16 reference_signal[256]（編譯器懂，這個(gè)在 ROM 里）
  • 保存參考共軛頻譜的 sint32 ref_buffer[1024]（1024 是 512 個(gè)復(fù)數(shù)，實(shí)際上可以在外面算頻譜，不存時(shí)域的，讓這個(gè)在 ROM 里。但是反正內(nèi)存夠用，這樣顯得原汁原味）
  • 用于 FFT 計(jì)算的 sint32 fft_buffer[2048]（這才是 1024 個(gè)復(fù)數(shù)）
• 初始化外設(shè)
  • VADC 模數(shù)轉(zhuǎn)換模塊、及其 DMA
  • ERU 外部中斷模塊
  • ASC/UART 串口通信模塊
  • FFT 模塊
• 計(jì)算：計(jì)算參考信號頻譜，把一半的共軛保存到內(nèi)存對應(yīng)區(qū)域

計(jì)算過程仍分超聲信號線和觸發(fā)信號線，觸發(fā)信號到來時(shí)總結(jié)最高峰到上一個(gè)觸發(fā)信號的時(shí)延，減去幀長度并打印到串口。超聲信號線計(jì)算步驟：

等待 DMA 中斷

在 DMA 中斷服務(wù)中將最新信號復(fù)制到 copy_buffer+256，也就是歷史數(shù)據(jù)的后一半。這一步要第一時(shí)間做，免得下一個(gè) VADC 完成沖了這次的結(jié)果。所以在中斷服務(wù)里做就不錯(cuò)。拷貝用 memcpy，比手寫循環(huán)快！即使手工優(yōu)化到 64 位拷貝一次 memcpy 還快 20% 以上！

將 copy_buffer+256 拷貝到 fft_buffer+512，fft_buffer 的前 512 點(diǎn)是上次的 copy_buffer，要在上次計(jì)算結(jié)束時(shí)準(zhǔn)備好

求 fft_buffer 中這 768 點(diǎn)的均值，減去均值。VADC 給出的是12 位無符號數(shù)，FFT 要補(bǔ) 0，不減去直流分量會(huì)導(dǎo)致引入一個(gè)階躍信號，階躍信號有極寬的頻譜，會(huì)污染信號頻帶，導(dǎo)致準(zhǔn)確性下降。之所以 768 點(diǎn)求一次，而不是 DMA 之后 256 點(diǎn)求一次，是為了避免直流分量的不夠平穩(wěn)在一次計(jì)算中每 256 點(diǎn)減的是不同的數(shù)，這個(gè)可以優(yōu)化減少加法計(jì)算，但時(shí)間夠用，沒必要

FFT！

由于我們采樣率僅有 123.76 kHz，高頻幾乎已經(jīng)占滿，不必再濾了。用 memset 將頻譜 0~39 kHz 的成分干掉，然后將負(fù)頻率成分全部干掉。這就是沒有相位延遲的理想帶通濾波，比什么 FIR、IIR 高到不知哪里去了

從 39 kHz 開始，乘上參考信號的頻譜，這一步可以做某種白化濾波、頻域加權(quán)、均衡之類的操作

IFFT！

在這個(gè)窗口的互相關(guān)譜上尋峰，保存

實(shí)現(xiàn)中的坑

注意，這個(gè)計(jì)算步驟里有一個(gè)大坑，就是 AURIX 的硬件 FFT 是定點(diǎn)運(yùn)算，固定的 sint32。所以要時(shí)刻警惕溢出！參考信號先在線下做個(gè) FFT 看一下，要保證其 FFT 之后幅度譜小于

，這樣才能保證完全對齊時(shí)信號頻譜與參考信號頻譜的乘積不溢出，這個(gè)實(shí)際上要求參考信號幅值要比較小，最好先寫程序驗(yàn)證一番。

此外，還有一些小坑。

• 雖然：

/** brief Configuration structure for the FFT job*/ typedef struct {IfxFft_Fft *fft; /**< brief Pointer To FFT.Used when (IFXFFT_FFT_OPTIMIZED == 0) */uint16 inputLength; /**< brief Length of the input */uint16 outputLength; /**< brief Length of the output */IfxFft_Length fftLength; /**< brief Length of the transform */IfxFft_Input inputFormat; /**< brief Input format */IfxFft_Output outputFormat; /**< brief Output format */IfxFft_Operation operation; /**< brief Operation (FFT / IFFT) */boolean useWindowFunction; /**< brief Selection to use window function */IFX_CONST void *inputPtr; /**< brief Pointer to input data */void *outputPtr; /**< brief Pointer to output data */ } IfxFft_Fft_JobConfig;

里有 inputLength 和 outputLength 兩個(gè)字段，但這兩個(gè)字段不一樣會(huì)導(dǎo)致 FFT 計(jì)算無法完成，沒看到相關(guān)描述，原因不明。對我影響不大，我就沒仔細(xì)研究。

• 不要讓編譯器自動(dòng)分配大塊內(nèi)存，用 __at(p) 指定。親測

#pragma section farbss bss_cpu0 #pragma section farbss restore

沒有卵用，還是會(huì)從 0x60000000 開始分配。 而 Cpu0 對應(yīng)的內(nèi)存地址從 0x70000000 開始，訪問 0x60000000 段會(huì)慢 3 倍。

實(shí)測效果

知乎視頻?www.zhihu.com

代碼在 https://github.com/autolaborcenter/test_aurix 。和本文描述不完全一樣，因?yàn)檫€在探索之中。但不一樣的主要是過濾、優(yōu)化，外設(shè)使用基本不會(huì)有什么變化。要做到這個(gè)視頻的效果還需要一些對峰值的后過濾，目前還在優(yōu)化，這次就不寫了。說實(shí)在話，這些優(yōu)化都不如干脆發(fā)大點(diǎn)的信號有用，所謂力大磚飛是也。有什么問題歡迎討論。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的频域补零上采样_AURIX 学习笔记（12）频域法互相关实现超声测距的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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