根軌跡法 | 根軌跡方程 | 繪制根軌跡 | 動態性能分析 | 主導極點

根軌跡法

分析和設計線性定常控制系統的一種圖解方法（即用非解析的手段來解決高階問題）

根軌跡：簡稱根跡，是開環系統某一參數從零變到無窮時，閉環系統特征方程的根在

平面上變化的軌跡；

根軌跡方程

由于開環零、極點是已知的，建立開環零、極點與閉環零、極點之間的關系，有助于閉環系統根軌跡的繪制，并由此導出根軌跡方程

為開環極點 為開環零點 為開環系統根軌跡增益

根軌跡方程實際上是一個向量方程，可用以下兩個方程描述，其中相方程是決定根軌跡的充分必要條件

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繪制根軌跡的基本法則

1）根軌跡的分支數

階系統有 條根軌跡

2）對稱性

根軌跡對稱于實軸

3）根軌跡起始于開環極點，終止于開環零點或無窮遠（

條終止于開環零點， 條終止于無窮遠）

4）開環極點與開環零點 實軸根的右側，開環極點數目與開環零點數目之和必為奇數個

5）漸近線

如果

，則有 條趨近于無窮遠的根軌跡，則漸近線與實軸的正方向的夾角為 ，漸近線與實軸交點的坐標

6）分離點（會合點）與分離角（會合角）

兩條或數條根軌跡在

平面上相遇后又分開的點，稱為根軌跡的分離點（或會合點），其中坐標 的方程式為

分離角是指根軌跡離開重極點處的切線與實軸正方向的夾角；會合角是指根軌跡進入重極點處的切線與實軸正方向的夾角。若實軸上有雙重極點，則其分離角或會合角為

7）根軌跡與虛軸交點

根軌跡與虛軸相交，說明系統處于臨界穩定狀態。解以下方程組可的

值和與其對應的臨界開環增益 值

8）根之和

當

時，有

9）起始角與終止角

起始角：起始于開環極點的根軌跡在起點處的切線與水平線的正方向夾角

終止角：終止于開環零點的根軌跡在終點處的切線與水平線的正方向夾角

10）

和

利用根軌跡分析系統的動態性能

a）要求系統穩定，必須使所有閉環極點

均位于 平面左半部

b）要求系統快速性，必須使閉環極點遠離虛軸

c）要求系統平穩性，復數極點最好設置在

平面中與負實軸呈 度夾角附近

d）要求動態過程盡快消失，必須使閉環極點之間的距離加大，即零點靠近極點

主導極點（離虛軸最近的閉環極點（復數或實數））

離虛軸最近且它附近沒有閉環零點，對系統動態過程性能的影響最大，起著主要的、決定性作用的閉環極點。工程上把其它極點的實部絕對值比主導極點絕對值大5倍甚至大2-3倍的閉環極點忽略。

偶極子（指一對靠得很近的零點，極點）

工程上把一對零，極點間的距離比其自身的模值小一個數量級，就可認為這對零極點為偶極子。在系統中，適當設計閉環零點構成偶極子，以消弱對性能不利的極點的影響。

2019.12.30 BUAA Afternoon Lib

總結

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