前言

方程（equation）是指含有未知數的等式。是表示兩個數學式（如兩個數、函數、量、運算）之間相等關系的一種等式，使等式成立的未知數的值稱為“解”或“根”。求方程的解的過程稱為“解方程”。

通過方程求解可以免去逆向思考[小學階段的算術就是一種逆向思考的代表]的不易，直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。方程具有多種形式，如一元一次方程(2x-1=0)、二元一次方程(x-2y+1=0)、一元二次方程(x^2-2x-1=0)等等，還可組成方程組求解多個未知數。

在數學中，一個方程是一個包含一個或多個變量的等式的語句。 求解等式包括確定變量的哪些值使得等式成立。 變量也稱為未知數，并且滿足相等性的未知數的值稱為等式的解。

分式方程和整式方程統稱有理方程。其中分式方程是分母含未知數的方程，如(cfrac{2x+1}{x^2-2}-cfrac{3-x}{x+2}=1)；整式方程是等號兩邊都為整式的方程，如(x-2y=cfrac{1}{3}x+1)。

初等數學

小學階段

整數、分數和小學的四則運算、數與代數、空間與圖形、簡單統計與可能性、一元一次方程，圓，正負數，立體幾何初步。

初中階段

代數部分：有理數（正數和負數及其運算），實數（根式的運算），平面直角坐標系，基本函數（一次函數，二次函數，反比例函數），簡單統計，銳角三角函數，方程（一元一次方程，二元一次方程組，一元二次方程，三元一次方程組），因式分解、整式、分式、一元一次不等式。

幾何部分：全等三角形，四邊形（重點是平行四邊形及特殊的平行四邊形），對稱與旋轉，相似圖形（重點是相似三角形），圓的基本性質。

高中階段

集合，基本初等函數（指數函數、對數函數，冪函數，高次函數），二次方程根的分布與不等式，柯西不等式，排列不等式，初等行列式，三角函數，解析幾何與圓錐曲線（橢圓，拋物線，雙曲線），復數，數列，高等統計與概率，排列組合，平面向量，空間向量，空間直角坐標系，導數以及相對簡單的定積分。

解題步驟

① 去分母

方程兩邊同時乘以最簡公分母最簡公分母:①系數取最小公倍數;②未知數取最高次冪;③出現的因式取最高次冪;比如分母(2xy)和(3x^2)的最簡公分母為(6x^2y);(quad)，將分式方程化為整式方程；若遇到互為相反數時。不要忘了改變符號。

② 移項

移項，若有括號應先去括號括號前面是加號時，去掉括號，括號內的算式不變。括號前面是減號時，去掉括號，括號內加號變減號，減號變加號。去括號法則的依據實際是乘法分配律，要注意，括號前面是"-"時，去掉括號后，括號內的各項均要改變符號，不能只改變括號內第一項或前幾項的符號，而忘記改變其余的符號。若括號前是數字因數時，應利用乘法分配律先將數與括號內的各項分別相乘再去括號，以免發生錯誤，遇到多層括號一般由里到外，逐層去掉括號。(quad)，注意變號，合并同類項，把系數化為1，求出未知數的值；

③ 驗根

求出未知數的值后必須驗根，因為在把分式方程化為整式方程的過程中，使用了轉化劃歸思想，我們人為的去掉了分母，這樣就擴大了未知數的取值范圍，可能產生增根中學階段產生增根的數學變形有：兩邊去分母；兩邊平方；兩邊取掉對數；相應地，產生漏根的數學變形有：兩邊添分母；兩邊開平方；兩邊添加對數；。

驗根時把整式方程的根代入最簡公分母，如果最簡公分母等于(0)，這個根就是增根。否則這個根就是原分式方程的根。若解出的根都是增根，則原方程無解。

如果分式本身約分了，也要代入進去檢驗。比如(cfrac{(x-1)(x+2)}{x^2-1}=x-2)；

在列分式方程解應用題時，不僅要檢驗所得解的是否滿足方程式，還要檢驗是否符合實際問題的題意。

一般的，解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為零，因此要將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為零，則是方程的解.

★ 特別注意：

（1）注意去分母時，不要漏乘整式項。

（2）増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。

（3）増根使最簡公分母等于(0)。

（4）分式方程中，如果(x)為分母，則(x)應不等于(0)。

典例剖析

分式方程

解方程: (cfrac{x}{x-9}-cfrac{36}{x^{2}-14 x+45}=cfrac{2}{x-5})

解:方程兩邊乘((x-9)(x-5))，得(x(x-5)-36=2(x-9))。

解得(x_{1}=9)，(x_{2}=-2)，

檢驗：當(x=9)時, ((x-9)(x-5)=0)，

當(x=-2)時，((x-9)(x-5)
eq 0)，

所以原方程的解是(x=-2).

解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是"去分母”，即方程兩邊同乘最簡公分母，這也是解分式方程的一般思路和做法。

解方程: (cfrac{x}{x+1}=cfrac{2x}{3x+3}+1)

解：兩邊乘(3(x+1))，

得到(3x=2x+(3x+3))，

(3x=5x+3)，

(-2x=3)，

(x=-cfrac{3}{2})

經檢驗， (x=-cfrac{3}{2})是方程的解

解方程: (cfrac{2}{x-1}=cfrac{4}{x^2-1})

解：兩邊乘((x+1)(x-1))，

整理得到，(2(x+1)=4)

(2x+2=4)

(2x=2)

(x=1)

把(x=1)代入原方程，分母為0，所以(x=1)是增根。

所以原方程無解.

解方程: (cfrac{2}{x+3}=cfrac{1}{x-1})

解: 兩邊乘((x+3)(x-1))

整理得到，(2x-2=x+3)

(2x-x=3+2)

(x=5)

經檢驗，(x=5)是方程的解.

解方程: (2x-3+cfrac{1}{x-5}=x+2+cfrac{1}{x-5})

解：兩邊同時減(cfrac{1}{x-5})，得(x=5)，

代入原方程，使分母為(0)，所以(x=5)是增根，所以原方程無解！

檢驗格式：把(x=a)帶入最簡公分母，若(x=a)使最簡公分母為(0)，則(a)是原方程的增根。若(x=a)使最簡公分母不為零，則(a)是原方程的根。

注意：可憑經驗判斷是否有解。若有解，帶入所有分母計算：若無解，帶入無解分母即可。

關聯高中

解關于(x)的分式不等式(cfrac{1}{x}geqslant 1) .

這個小例題基本上把分式不等式的求解思路都包含在內了。

【錯解】：去分母得到(xleq 1)，這是錯誤的，原因是分母可能取到正負兩種可能。

【法1】：分類討論去分母，由于(x
eq 0)，故原不等式等價于以下的兩個不等式組：

(egin{cases}&x>0\&1ge xend{cases})或(egin{cases}&x<0\&1leq xend{cases})，解得(0<x leq 1)。

【法2】：穿針引線法，移項得到(cfrac{1-x}{x}ge 0)，再變形得到(cfrac{x-1}{x}leq 0)，解得(0<x leq 1)。

【法3】：轉化法，由商的符號法則得到，(egin{cases}&x(1-x)ge 0\&x
eq 0end{cases})，解得(0<x leq 1)。

解后反思：受解方程的思維定勢的影響，學生最容易想到法1，但是卻往往注意不到不等式的性質而直接去分母出錯；法2的解法很快速，但是對學生的要求比較高；法3比較慢。

解不等式(cfrac{2}{x+1}<1)；

提示：(x<-1或x>1).

總結

以上是生活随笔為你收集整理的分式方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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