1.從多項式乘法到卷積和

這里有兩個多項式：

兩個多項式相乘

看一下h(x)的0次方項的系數(shù)是怎么算的

你會發(fā)現(xiàn)，在求c0時，這個等式的右邊的每一項都是數(shù)列中的某一項和數(shù)列中的某一項相乘，而且任何一對乘在一起的a和b，它們在數(shù)列中的下標的和，剛好是所求的c的下標0。

同樣的,h(x)的3次方項

同樣的，這個等式的右邊的每一項都是數(shù)列中的某一項和數(shù)列中的某一項相乘，而且任何一對乘在一起的a和b，它們在數(shù)列中的下標的和，剛好是所求的c的下標3。

再舉一個負數(shù)次方項的例子，h(x)的-2次方項

這個式子當中，任何一對乘在一起的a和b，它們在數(shù)列中的下標的和，剛好是所求的c的下標-2

然后，推廣到一般情況

如果把數(shù)列和當作序列，這就是序列a和序列b的卷積和公式

由此可以推出結(jié)論：

兩個多項式f與g相乘的結(jié)果的系數(shù)序列，就是f和g各自的系數(shù)序列的卷積。

卷積其實是一種“附帶了位置信息”的乘法。

P.S.

1.實際上，在matlab中以系數(shù)向量表示的兩個多項式相乘，用到的函數(shù)conv(),其實就是卷積函數(shù)，"conv"是“卷積”的英文"convolution"的縮寫

2.如果把以上所有式子中的x化妝成為z,上述推導過程其實就是論證Z變換的性質(zhì)之一“時域卷積對應于z域相乘”的過程

2.從離散的卷積和到連續(xù)的卷積積分——matlab的啟發(fā)

再舉一個連續(xù)的例子：

這里有兩個函數(shù)

現(xiàn)在我們先看一下在電腦如何畫出這兩個圖的

新版的matlab有fplot()函數(shù),可以實現(xiàn)像幾何畫板或者是Geogebra之類直接將函數(shù)表達式轉(zhuǎn)化為圖像的功能。

但是老版本的matlab，還是要通過離散進行逼近——這是更接近于計算機本質(zhì)的表示方法，就跟計算機畫圓一樣

%“%”符號后面跟著注釋x=0:0.01:pi; %向量x=(0,0.01,0.02,...,3.13,3.14) ,記住這種寫法%中間的%跟python不同，matlab里的步長是寫在中間的y1=sin(x); %將x的每一個值代入正弦函數(shù)，得到對應的y向量（數(shù)列）%即 向量 y1=(sin(0),sin(0.01),sin(0.02),...sin(3.13),sin(3.14))y2=cos(x); %同樣地，將x的每一個值代入余弦函數(shù)，得到對應的y向量（數(shù)列）%即 向量 y2=(cos(0),cos(0.01),cos(0.02),..cos(3.13),cos(3.14))plot(x,y1); %將向量x中每一個維度的值與對應的y在同一維度的值，即(0,sin(0)),(0.01,sin(0.01))...,(3.14,sin(3.14))這些點%在坐標系中標出，然后用折線連起來%由于x內(nèi)的相鄰兩項的值都“挨得很近”，相差很小（即步長很小）%畫出來的圖形與真正的正弦函數(shù)“看不出區(qū)別”

如果計算機需要畫出y1(x)和y2(x)的卷積積分，計算機就會試著計算上述代碼段中向量y1和向量y2的卷積和，就是拿出下面兩個多項式,即(3)和(4)相乘,得到一個新的多項式，再取其各項系數(shù)作為結(jié)果向量，再按照上面注釋提到的方法畫圖。

在這里可以推廣一下：

任何一個連續(xù)的函數(shù)圖像，在其定義域內(nèi)都可以看作是步長無限趨于0的向量x作為自變量“一個個地帶入函數(shù)y=f(x)”得到的
y的值所構(gòu)成的(x,y)的點連成的。這些y也能構(gòu)成向量。如果y的定義域是的話，x利用matlab中的寫法就是

把f(x)寫成類似于(3)的多項式就是：

卷積積分就是類似于式子(5)的兩個多項式相乘,再把得到的多項式的各項系數(shù)提取出來，即

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的让高中生理解卷积——从多项式乘法开始的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。