5. 留數(shù)

目錄5. 留數(shù)5.1 孤立奇點(diǎn)5.2 留數(shù)5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用5.4 復(fù)變函數(shù)奇點(diǎn)類型的判定

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首先說(shuō)明一下為什么會(huì)有留數(shù)？

對(duì)于圖中的這樣一個(gè)積分路徑，由于內(nèi)部區(qū)域不完全解析。所以根據(jù)柯西積分定理，我們可以將其轉(zhuǎn)化為下圖的積分路徑：

當(dāng)通往奇點(diǎn)的兩條路線無(wú)限接近時(shí)，就可以得到下圖：

即對(duì)于大回路的積分等于對(duì)所有奇點(diǎn)的路徑的積分之和的相反數(shù)。即：

[oint_L = oint_{L_1^-+L_2^-+L_3^-}
]

所以問(wèn)題變成了如何求對(duì)于奇點(diǎn)的路徑的積分(oint_Lf(z)dz)

由上一章的洛朗級(jí)數(shù)知，洛朗級(jí)數(shù)在冪次為-1項(xiàng)的系數(shù)為

[c_{-1} = frac1{2pi i}oint_Cfrac{f(zeta)}{(zeta-z_0)^{-1+1}}dzeta = frac1{2pi i}oint_Cf(zeta)dzeta
]

由于這個(gè)系數(shù)很有用，所以專門(mén)稱復(fù)變函數(shù)在某一點(diǎn)的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式的冪次為-1的項(xiàng)的系數(shù)為留數(shù)。記作(mathcal{Res}[f(z),z_0])

所以就可以提前給出留數(shù)定理，對(duì)于正向閉合路徑C，如果其所圍區(qū)域內(nèi)除了有限個(gè)孤立奇點(diǎn)(z_1,z_2,cdots,z_k)外處處解析，則有

[oint_Cf(z)dz = 2pi isum_{k=1}^nmathcal{Res}[f(z),z_k]
]

所以留數(shù)定理本質(zhì)上是對(duì)于柯西積分定理的應(yīng)用。

5.1 孤立奇點(diǎn)

5.1.1 解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)及分類

若函數(shù)f(z)在(z_0)的鄰域內(nèi)除(z_0)外處處解析，則稱(z_0)為f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)。

根據(jù)洛朗級(jí)數(shù)的定理，我們可以將f(z)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)

[f(z) =cdots+ a_{-m}(z-z_0)^{-m} + cdots+ a_0 + a_1(z-z_0) + cdots + a_n(z-z_0)^n,zin D
]

如果上式中的負(fù)冪項(xiàng)系數(shù)均為零，若記剩下的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為F(z)，則F(z)是在(z_0)處解析的函數(shù)。且當(dāng)(zin D)時(shí)，F(xiàn)(z)=f(z)，當(dāng)(z=z_0)時(shí)，(F(z) = a_0)。于是令(f(z_0) = a_0)，所以f(z)在(z_0)處就是解析的了，所以點(diǎn)(z_0)被稱為可去奇點(diǎn)。
如果上式只有有限個(gè)((z-z_0))的負(fù)冪項(xiàng)的系數(shù)不為零，那么孤立奇點(diǎn)(z_0)稱為函數(shù)f(z)的極點(diǎn)。如果負(fù)冪項(xiàng)的最高次冪為((z-z_0)^{-m})，則稱(z_0)為函數(shù)f(z)的m階極點(diǎn)。
如果((z-z_0))的負(fù)冪項(xiàng)系數(shù)有無(wú)窮多個(gè)不為零，那么孤立奇點(diǎn)(z_0)稱之為f(z)的本性奇點(diǎn)。

5.1.2 解析函數(shù)在有限孤立奇點(diǎn)的性質(zhì)

定理：設(shè)函數(shù)f(z)在(0<|z-z_0|<delta)內(nèi)解析，則(z_0)是f(z)的可去奇點(diǎn)的充要條件為：存在著有限極限(lim_{zightarrow z_0}f(z)).

定理：設(shè)函數(shù)f(z)在(0<|z-z_0|<delta)內(nèi)解析，則(z_0)是f(z)的極點(diǎn)的充要條件為：(lim_{zightarrow z_0}f(z) = infty).

定理：設(shè)函數(shù)f(z)在(0<|z-z_0|<delta)內(nèi)解析，則(z_0)是f(z)的本性奇點(diǎn)的充要條件為：不存在有限或無(wú)窮的極限(lim_{zightarrow z_0}f(z)).

如(e^{frac1z})在z=0處為本性奇點(diǎn)，因?yàn)槠湔归_(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)后有無(wú)窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)不為0

5.1.3 函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系

設(shè)函數(shù)f(z)在(z_0)的鄰域(N(z_0,delta)={z:|z-z_0|<delta })內(nèi)解析，并且(f(z_0)=0)，則點(diǎn)(z_0)稱為f(z)的一個(gè)零點(diǎn)。

m階零點(diǎn)

不恒等于零的解析函數(shù)f(z)如果能夠表示成(f(z) = (z-z_0)^mvarphi(z))，其中(varphi(z))在(z_0)處解析且(varphi(z)
e 0)，m為某一正整數(shù)，則(z_0)為f(z)的m級(jí)零點(diǎn)。

定理：f(z)在點(diǎn)(z_0)處解析，則(z_0)是f(z)的m階零點(diǎn)的充要條件為：(f(z_0) = f^{'}(z_0) = f^{(m-1)}(z_0) = 0,f^{m}(z_0)
e 0)

解析函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)，有下面的關(guān)系

定理：(z_0)是f(z)的m階極點(diǎn)的充要條件是：(z_0)是(frac1{f(z)})的m階零點(diǎn)。

應(yīng)當(dāng)注意的是，我們?cè)谇蠛瘮?shù)的奇點(diǎn)時(shí)，決不能只看函數(shù)的表面形式就做出判斷，如函數(shù)((cos z-1)/z^4)，看起來(lái)z=0是它的四階奇點(diǎn)，實(shí)際將cos z展開(kāi)后是二階奇點(diǎn)。

例：判斷函數(shù)(f(z) = frac{sin z}{z^2(1-e^z)})在(z=0)是幾階極點(diǎn)。

提示：將(1-e^z)和(sin z)展開(kāi)

5.1.4 解析函數(shù)在無(wú)窮孤立奇點(diǎn)的性質(zhì)

若函數(shù)f(z)在域D：(R<|z|<+infty(R>0))內(nèi)解析，則稱為(z=infty)為f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)。

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5.2 留數(shù)

5.2.1 留數(shù)的定義和計(jì)算規(guī)則

定義：設(shè)函數(shù)f(z)在(z_0)點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)解析，(z_0)是f(z)的孤立奇點(diǎn)，則f(z)在孤立奇點(diǎn)(z_0)的留數(shù)定義為

[frac1{2pi i}oint_Cf(z)dz
]

記作(Res[f(z),z_0])，C是包含在鄰域內(nèi)的圍繞(z_0)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線。留數(shù)的本質(zhì)還是一個(gè)柯西積分。

若(z=infty)是f(z)的孤立奇點(diǎn)，則定義在(z=infty)處的留數(shù)為

[Res[f(z),infty] = -frac1{2pi i}oint_Cf(z)dz
]

留數(shù)的計(jì)算定理：如果(z_0)是f(z)的m階極點(diǎn)，則

[Res[f(z),z_0] = frac1{(m-1)!}lim_{zightarrow z_0}frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}{(z-z_0)^mf(z) }
]

要求留數(shù)，即求洛朗級(jí)數(shù)的系數(shù)(a_{-1})

推論：設(shè)(f(z) = P(z)/Q(z))，(P(z))及(Q(z))在(z_0in C)點(diǎn)解析，如果(P(z_0)
e 0,Q(z_0)=0,Q'(z)
e0)，那么(z_0)為(f(z))的一階極點(diǎn)，且

[mathcal{Res}[f(z),z_0] = frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}
]

若(z_0)是(f(z))的本性奇點(diǎn)，則(mathcal{Res}[f(z),z_0] = a_{-1})。

若(z=infty)是(f(z))的孤立奇點(diǎn)，則

[Res[f(z),infty] = -Res[f(frac1z)frac1{z^2}, 0]
]

5.2.2 留數(shù)的基本定理

對(duì)于正向閉合路徑C，如果其所圍區(qū)域內(nèi)除了有限個(gè)孤立奇點(diǎn)(z_1,z_2,cdots,z_k)外處處解析，則有

[oint_Cf(z)dz = 2pi isum_{k=1}^nmathcal{Res}[f(z),z_k]
]

推廣的留數(shù)基本定理：如果函數(shù)f(z)在擴(kuò)充的復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)，那么f(z)在各孤立奇點(diǎn)（包括(infty)點(diǎn)）的留數(shù)之和等于0。

利用該定理，當(dāng)所求留數(shù)的區(qū)域內(nèi)有多個(gè)極點(diǎn)時(shí)，可以直接求無(wú)窮遠(yuǎn)處的留數(shù)值，則其他點(diǎn)的留數(shù)之和就等于無(wú)窮遠(yuǎn)的留數(shù)值之和。

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5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用

為了求實(shí)函數(shù)f(x)在實(shí)軸上或?qū)嵼S上的某一線段I上的積分，我們?cè)贗上適當(dāng)附加某一曲線使其構(gòu)成一簡(jiǎn)單閉曲線C，其內(nèi)部為D，選取適當(dāng)函數(shù)F(z)，然后在(overline D)上對(duì)F(z)應(yīng)用留數(shù)定理，就能把實(shí)軸上f(x)的積分轉(zhuǎn)換為F(z)在D內(nèi)基地那的留數(shù)與附加曲線的積分。

5.3.1 形如(int_0^{2pi}R(sin heta,cos heta)d heta)的積分

這類積分可以化為單位圓周上的復(fù)積分，設(shè)(z = e^{i heta})，則

[cos heta = frac{e^{i heta} + e^{-i heta}}2 = frac12(z+frac1z)\
sin heta = frac1{2i}(z-frac1z)\
d heta = frac1{iz}dz
]

于是

[int_0^{2pi}R(sin heta,cos heta)d heta = oint_{|z|=1}R(frac1{2i}(z-frac1z),frac1{2}(z+frac1z))frac1{iz}dz
]

令

[F(z) = frac1{iz}R[frac1{2i}(z-frac1z),frac12(z+frac1z)]
]

則由留數(shù)的基本定理知

[int_0^{2pi}R(sin heta,cos heta)d heta = 2pi isum^n_{k=1}Res[F(z),a_k]
]

5.3.2 形如(int_{-infty}^{+infty}R(x)dx)的積分

當(dāng)被積函數(shù)R(x)是x的有理函數(shù)，而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次，并且R(x)在實(shí)軸上沒(méi)有奇點(diǎn)時(shí)。若設(shè)R(z)在上半平面(Im z>0)的極點(diǎn)為(a_1,a_2,cdots,a_p)，則

[int_{-infty}^{+infty}R(x)dx = 2pi isum_{k=1}^pmathcal{Res}[R(z),a_k]
]

證明過(guò)程略

當(dāng)(R(x))為偶函數(shù)時(shí)，有

[int_0^{+infty}R(x)dx = pi isum_{k=1}^pmathcal{Res}[R(z),a_k]
]

注意只考慮上半平面的極點(diǎn)。

5.3.3 形如(int_{-infty}^{+infty}R(x)e^{iax}dx)的積分

當(dāng)被積函數(shù)R(x)是x的有理函數(shù)，而分母次數(shù)至少比分子的高一次，并且R(x)在實(shí)軸上沒(méi)有奇點(diǎn)時(shí)，積分是存在的。同樣，若設(shè)R(z)在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)為(a_1,a_2.cdots,a_p)，則

[int_{-infty}^{+infty}R(x)e^{iax}dx = 2pi isum_{k=1}^pmathcal{Res}[R(z)e^{iaz},a_k]
]

證明過(guò)程略。

5.3.4 它類

在前幾類積分中，都要求函數(shù)在實(shí)軸上無(wú)奇點(diǎn)，對(duì)不滿足這個(gè)條件的積分，往往適當(dāng)改變積分路徑也可以使得積分可求。

當(dāng)被積函數(shù)R(x)是x的有理函數(shù)，而分母次數(shù)至少比分子的高一次。設(shè)R(z)在實(shí)軸上除去有限多個(gè)一階極點(diǎn)(x_1,x_2,cdots,x_q)外處處解析。在上半平面內(nèi)除去有限多個(gè)奇點(diǎn)(z_1,z_2,cdots,z_p)外處處解析，則積分存在且

[int_{-infty}^{+infty}R(x)e^{iax}dx = 2pi isum_{k=1}^pmathcal{Res}[R(z)e^{iaz},z_k] + pi isum^q_{k=1}mathcal{Res}[R(z)e^{iaz},x_k]
]

證明過(guò)程略

以上四種方法都是采用了圍道積分法，即將實(shí)函數(shù)的定積分轉(zhuǎn)化為解析函數(shù)沿閉合路徑的積分，然后運(yùn)用留數(shù)定理轉(zhuǎn)化為留數(shù)的計(jì)算。

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5.4 復(fù)變函數(shù)奇點(diǎn)類型的判定

5.4.1 奇點(diǎn)類型的判斷

首先根據(jù)計(jì)算極限的方法判斷是三種奇點(diǎn)的哪一種。可去奇點(diǎn)的極限有限，本性奇點(diǎn)的極限不存在。大部分情況都是極點(diǎn)。

5.4.2 極點(diǎn)階數(shù)的判斷

計(jì)算當(dāng)分母乘上幾階的(z)后計(jì)算出來(lái)的極限不為(infty)。如判斷下面這個(gè)函數(shù)的極點(diǎn)類型

[frac{e^zcdotsin z}{z^2}
]

則有

[lim_{zightarrow0}zcdotfrac{e^zcdotsin z}{z^2} = lim_{zightarrow0}frac{sin z}z = 1
einfty
]

上面的極限乘上一階(z)極限就不為(infty)了，說(shuō)明是一階極點(diǎn)。

利用零點(diǎn)階數(shù)進(jìn)行判斷

前面講過(guò)零點(diǎn)和極點(diǎn)有這樣一個(gè)關(guān)系：

函數(shù)(f(z))在(z_0)的m階零點(diǎn)，就是函數(shù)(frac1{f(z)})在(z_0)處的m階極點(diǎn)。

還有一點(diǎn)是分子上的零點(diǎn)階數(shù)或極點(diǎn)階數(shù)可以與分母上的“抵消”，還是上面那個(gè)例子。

(e^zcdotsin z)在0處是1階零點(diǎn)，(z^2)在0處是2階零點(diǎn)。兩者抵消后(z^2)還有一階零點(diǎn)。

現(xiàn)在(z^2)在分母，所以分母上有一階零點(diǎn)，說(shuō)明整個(gè)函數(shù)有一階的極點(diǎn)。所以該函數(shù)在0處是一階極點(diǎn)。

其他類型函數(shù)的判斷

極限不存在的函數(shù)在(z_0)一定是本性奇點(diǎn)，但是極限為(infty)不能完全判斷是極點(diǎn)還是本性奇點(diǎn)，這點(diǎn)尤其適用與非冪級(jí)數(shù)構(gòu)成的函數(shù)。

如

[e^{frac z{1-z}}
]

在(z=1)時(shí)，極限為正無(wú)窮，但是不是極點(diǎn)。

因?yàn)椋绻麑⒑瘮?shù)按照

[e^z = sum_{n=0}^{infty}frac{z^n}{n!}
]

進(jìn)行展開(kāi)

[e^{frac z{1-z}} = sum_{n=0}^{infty}frac1{n!}frac{z^n}{(1-z)^n}
]

所以在(z=1)處的負(fù)冪項(xiàng)系數(shù)是有無(wú)窮多個(gè)不為0的，所以是本性奇點(diǎn)。

所以對(duì)于不好判斷的函數(shù)，可以考慮將函數(shù)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)。

常見(jiàn)的泰勒展開(kāi)有：

[egin{aligned}
&e^z = sum_{n=0}^{infty}frac{z^n}{n!}\
&frac1{1-z} = sum_{n=0}^{infty}z^n \
&sin z = sum_{n=0}^{infty}(-1)^nfrac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\
&cos z = sum_{n=0}^{infty}(-1)^nfrac{z^{2n}}{(2n)!}
end{aligned}
]

以及這些函數(shù)進(jìn)行加減乘除、微分、積分運(yùn)算得到的級(jí)數(shù)展開(kāi)。

展開(kāi)便可直接觀察負(fù)冪項(xiàng)系數(shù)的個(gè)數(shù)，那個(gè)才是判斷三種奇點(diǎn)類型的根本依據(jù)。

無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處奇點(diǎn)的判斷

對(duì)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的奇點(diǎn)，通常不好直接判斷。可令

[t = frac1z
]

將t代入后就可以轉(zhuǎn)化為對(duì)(g(t))在(t=0)處奇點(diǎn)的判斷。

如判斷下列函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)

[frac{z^6}{(z^2-3)^2cosfrac1{z-2}}
]

有時(shí)候需要進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)的展開(kāi)，如

[frac1{e^z-1}-frac1z=frac{z-e^z+1}{(e^z-1)z}=frac{-sum_{n=2}^{infty}frac{z^n}{n!}}{sum_{n=1}^{infty}frac{z^{n+1}}{n!}} = -frac12
]

自變量為函數(shù)的復(fù)變函數(shù)

求下面函數(shù)在復(fù)平面的奇點(diǎn)

[sinleft[frac1{sinfrac1z} ight]
]

對(duì)于這樣的復(fù)雜的函數(shù)，可以令

[omega = sinfrac1z
]

然后只要分析函數(shù)(sinfrac1z)，該函數(shù)只有在(z=0)一個(gè)本性奇點(diǎn)。所以使

[sinfrac1z = 0
]

的奇點(diǎn)均為本性奇點(diǎn)，which are (z = frac1{kpi})

我愿瀟灑如鷹，遠(yuǎn)離地上宿命

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的留数的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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