[問(wèn)題描述]：
?有一只天平和N只砝碼，如何設(shè)計(jì)這N只砝碼，才能使這天平能夠連續(xù)秤出的重量最大？假設(shè)砝碼的最小單位為1克，秤物時(shí)物品放在天平的左邊，砝碼可以放在右邊也可以放在左邊，不管放在哪一邊只要天平能夠平衡就行，物品的重量應(yīng)是右邊砝碼總重量減去左邊砝碼的重量。
輸入一個(gè)物品的重量，輸出其秤重方案。
?[分析與算法選擇]：
?這個(gè)問(wèn)題是從一個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題變化而來(lái)，這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的大意是：一個(gè)物體重40磅，掉在地上后摔成四片，這四片恰好能夠作為砝碼連續(xù)秤出40磅以內(nèi)的物品的重量，這四片的重量如何？
?（1）如何設(shè)計(jì)砝碼？
?我們先不去看單位，直接用數(shù)字來(lái)描述。因?yàn)橐苓B續(xù)秤出一范圍內(nèi)的值，所以首先要有1，從數(shù)學(xué)上可以知道，N只砝碼本身最大能秤的總重就是這N只砝碼的重量和，下面就看如何保證連續(xù)的數(shù)都能秤出了。設(shè)這N只砝碼的重量分別為W1、W2……Wn，且有W1<=W2<=……<=Wn， W1=1，下面看W2如何設(shè)計(jì)。
?如果W2=1，1、2都能秤出；如果W2=2，1、2、3都能秤出；如果W2=3，1可以秤出（W1）、2可以秤出（W2-W1）、3可以秤出（W2）、4也可以秤出（W1+W2）；如果W2=4，則2不能秤出；所以W2最大為3（=3*W1）。
?同理可推出W3最大為9（=3*W2）；
?……
?Wn最大為3n-1（=3*Wn-1）。
?設(shè)計(jì)方案為這N只砝碼重分別為：1、3、9、27、……、3^n-1。
?（2）如何根據(jù)物品重量得到秤重方案？
??? 物品（+砝碼）???????? 砝碼

因?yàn)槲锲饭潭ǚ旁谝贿B（如左邊），只要考慮砝碼放的情況。任一個(gè)砝碼都可能有三種狀態(tài)：一是跟被秤物品放在一起（如左邊），二是不放，三是放在物品另一邊（如右邊）。最后物品的重量等于所有砝碼乘上相應(yīng)系數(shù)的和。這個(gè)系數(shù)可能是：-1、0、1。

先來(lái)看3只砝碼時(shí)各種重量的稱法，如下表所示，其中-1表示砝碼放在物品一邊、0表示砝碼不放進(jìn)天平、1表示砝碼放在物品另一邊，如果每一位加1后便只會(huì)是0、1、2這3個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，所以可以方便地跟三進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)：

物品重量	3只砝碼			每一位加1
	9	3	1	三進(jìn)制數(shù)	十進(jìn)制數(shù)
1	0	0	1	112	14(=1+13)
2	0	1	-1	120	15(=2+13)
3	0	1	0	121	16(=3+13)
4	0	1	1	122	17(=4+13)
5	1	-1	-1	200	18(=5+13)
6	1	-1	0	201	19(=6+13)
7	1	-1	1	202	20(=7+13)
8	1	0	-1	210	21(=8+13)
9	1	0	0	211	22(=9+13)
10	1	0	1	212	23(=10+13)
11	1	1	-1	220	24(=11+13)
12	1	1	0	221	25(=12+13)
13	1	1	1	222	26(=13+13)

由上表我們可以總結(jié)出這樣的計(jì)算方法：對(duì)于給定的物品重量，先確定它最多用到多大的砝碼，假定是3^n-1，那么先將這個(gè)物品的重量加上1、3、……3^n-1，得到一個(gè)數(shù)，再對(duì)這個(gè)數(shù)進(jìn)行除3取余運(yùn)算，當(dāng)余數(shù)為0時(shí)表示相應(yīng)的砝碼跟物品放在一起，余數(shù)為1時(shí)表示相應(yīng)的砝碼不放，為2時(shí)表示放在物品的另一邊。

?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的天平秤重问题（三进制）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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