Ch0【引言】

本文是作者的一個總結，力圖在極度繁雜的數理知識體系中摘選出那些最廣泛應用的核心工具及思想。
本文主要關注的問題都是非線性的、動態的。具體地講，主要涉及的是：微分動力系統、泛函的最優化初步（但不涉及最優控制及微分博弈，這塊內容會另立文章。）

Ch1【動態系統理論】

——1.1局部理論
線性系統的動態行為是人類研究得比較透徹的領域，而非線性動力學的研究則是相當困難的。實踐中，我們面對一個非線性動力學系統，總是首先想到在工作點附近將其線性化，將其作為一個局部線性的系統加以研究（Hartman-Grobman定理）。可線性化的非線性動力學系統局部拓撲等價于其線性化系統（下圖清楚地展示了非線性系統與線性系統的拓撲等價）。在這里，研究可線性化系統局部穩定性問題時，非線性映射的Jacobi矩陣及其譜半徑（請與線性泛函理論聯系起來）的估計起到了核心作用。

對于Jaboci矩陣特征值為0的特殊情況，我們就不能使用強大的Hartman線性化定理，這時候需要所謂的"中心流形定理"。該定理的思想是將原本的復雜高維非線性系統降維到它的中心流形上，研究它在中心流形上的拓撲性質（比如穩定性、分岔等），從而得出原系統的局部動態行為。

上圖展示的一個線性系統具備有穩定子空間

和不穩定子空間 。對于非線性系統，相應的穩定流形 與不穩定流形 ，與線性化系統的穩定子空間與不穩定子空間相切。如下圖所示。

——1.2全局理論
研究緊流形上動態系統的全局性質，我們常用的方法就是李雅普諾夫（Liapunov）函數法。但要注意，緊流形的緊性是不可或缺的。

下面這段的內容可能是艱深的。
除此之外，微分拓撲中的Poincare-Hopf定理將流形上動態系統孤立零點（孤立平衡點）的拓撲度（Brouwer度）與同調群的維數聯系起來，非常深刻。工程類以及數理經濟類的學者可能對同調論非常陌生，但并不影響本文的閱讀體驗。我們可以用這個定理來估計高維流形上非線性動態系統的平衡點的個數。可以設想，如果系統有非常多的孤立零點，那么它的相軌跡可能是極端復雜的。一般地，我們都是研究緊流形上的動態系統，想辦法構造在邊界上指向流形內部的向量場，依據Hopf定理，我們可以導出孤立零點Brouwer指數和為1的結論，為高維流形上非線性動力學相軌跡的全局性態奠定了"拓撲"的基調。

這些內容光說肯定不行，看圖。

比如，如果孤立零點的指數是-1，那么該平衡點就是動力系統的鞍點。

接下來考察一個3維歐幾里德空間中的2維流形（一個半球面），你一定會深有感觸：

由于向量場邊界指向內部，由Poincare-Hopf定理，其指數和為1。第三個平衡點是鞍點，第2個、第1個是源和匯。系統形成了一個流形上的極限環。

事實上，上述方法是經濟學中一般均衡研究的前沿。而該向量場，就被稱為“看不見的手”，引導著我們去追尋那個“一般”均衡點（市場出清）。

【Ch2.最優化理論】
這里主要還是總結非線性規劃。非線性規劃的核心在于Kuhn-Tucker定理。這個定理直觀的幾何圖景就是:目標函數（包括泛函!）水平集的梯度應當與約束流形的切空間垂直。為了保證約束條件可以構成一個光滑流形（從而有切空間）而非其他什么亂七八糟的拓撲流形，我們要求約束條件應當滿足約束規范，即所謂的Jacobi矩陣滿秩。

值得一提的是，Kuhn-Tucker定理對于泛函依舊是成立的。為什么？問題的關鍵在于分離超平面定理在無窮維線性空間也是成立的!（也即所謂的Hahn-Banach定理，泛函分析的基石之一），其次的原因就是泛函分析中的Frechet微分保留了幾乎所有初等微分學中我們熟悉的性質（鏈式法則與隱函數定理）。

下面列舉一個將Kuhn-Tucker定理應用于無窮維空間非線性規劃的例子。（讀碩士時的筆記）

Kuhn-tucker條件就是1、2、3，與有限維非線性規劃一樣。

當然我們可以將它運用到隨機優化中，只要注意到數學期望是一個積分算子。

對于最優控制的泛函理論，我會專門另立文章加以闡述。這是一類特殊的變分問題。分段連續最優控制需要泛函分析的對偶空間理論以及Frechet微分、無限維空間的反函數定理。

【Ch3.拓撲方法】

這塊內容比較高深，但也算不上艱深。面對許多算子方程（比如系統建模中經常遇到的微分方程、積分方程、隨機動態規劃的基本方程:Bellman方程等，還有在非線性動態系統中，研究周期軌道，我們需要面對著名的Poincare映射），我們需要確定其解的存在性或者研究映射的不動點。

上圖是Poincare映射的一個例子。討論周期軌道，我們選取一個超曲面與相軌跡橫截，通過一次次回路，我們在截面打出一個個交點——形成一個離散動力系統。這個離散動力系統的不動點問題，就等價于周期軌的存在性問題。

拓撲度作為一種研究不動點理論"奧義"般的存在，對非線性科學來說，無疑是極為重要的。要證明算子方程f(x)=p有解，我們可以"萬象歸一"地總結為證明deg(f,Ω,p)不為0，而證明拓撲度不為0，最常用的思路有:1.與恒等映射同倫，or，2.與簡單的映射同倫，然后計算簡單的映射的Jaboci行列式即可（根據映射度的定義，如下圖）。

可惜的是，拓撲度在無限維空間中僅對緊算子有用（無奈的攤手）。

對于拓撲度，我們暫時點到為止，因為它可能就是下篇文章——現代變分法與臨界點理論的主角之一。

【完】

以上僅僅幾例，希望能幫助大家體會現代數學的強大力量。

推薦研讀書目，亦是本文參考書目：

1.米爾諾《從微分觀點看拓撲》

2.艾伯哈特-宰德勒《非線性泛函分析及其應用：卷1，不動點理論》

3.施爾尼科夫《非線性動力學定性理論方法，卷1》

對于現代數學的隨機部分：隨機微分方程理論，知乎上說得已經不少，不再重復。之所以在這里提一下，是因為它也是現代數學的主流之一，更是金融數學的支柱。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的非线性动力学_非线性科学中的现代数学方法：综述的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。