我們知道，一元二次方程

的根可以通過求根公式 計算

那一元三次方程的根如何求？進行百度的話，我們可以發現一元三次方程可以采用卡爾丹公式和盛金求根公式來計算。下面用最基礎的代數方法來理解卡爾丹公式怎么來的。

一元三次方程

1、為了解最初的方程，我們可以先考慮將方程變形成

；

2、這個形式可以進一步化簡。回顧一元二次方程的求根公式，我們采用的是配方法，將其變成和的平方的形式然后開方即可得到求根公式，這里最高次是3次，所以我們可以考慮配立方。

因為

和1中的式子比較發現，我們可以把 這項并入和的立方里面。于是1中的方程可以成

然后，令

于是上面的方程可以變形成為

整理可得

故而我們可以得到一個結論，所有的一元三次方程都可以化成上面那樣的簡單形式，因此只要找到

這個方程的解法，我們就能夠解出所有的一元三次方程了；

3、

的解法。關于這個方程的解法，首先我們知道，三次函數的值域是R，因此這個三次方程一定至少有一個實根。

不妨設這個實根

，我們得到一個新的方程，將這個方程兩邊同時立方，得到

顯然這兩個方程可以是同一個方程。比較系數，得到方程組

根據一元二次方程的韋達定理，不難發現A和B就是方程

兩個根。

如果想不到韋達定理，單純消元也可以得到上面的一元二次方程。

因此不難解出

這樣，我們可以用得到的A和B的值求出

，

從而得到原方程的根。

但這里會出現一個問題，求根公式里面有根號，A B不一定求出是個實數，如何確保

是實數？

由一元二次方程有判別式可以推知，顯然一元三次方程也有判別式，而且判別式通過上面的計算已經知道了

因此按如下情況討論。

為了便于說明，需要提前說明幾個概念：

a.定義

，即虛數。在虛數的范圍內，負數允許開平方；

b.

；

c.

;

d.在虛數范圍內，

方程有三個根，

可以計算出，

，因此若設 ，那么該方程的三個根可以表示為

PS：c的證明可用歐拉公式證明，證明將給在文章末尾。

有了以上幾個概念，我們來討論一元三次方程根的情況

由上述d可知，

;同樣的， 結果可以表示為 因此AB可以組合出9種情況。但我們前面有 ，因此實際上滿足條件的A B僅有三組。

即t有三個根，分別為：

; ;

1.若

，顯然 都是虛數，因此一元三次方程僅有一個實根和兩個虛根；

2.若

，則A=B，那么 ，且為共軛虛數之和，因此一元三次方程有兩個相等實根和另一個實根；

3.若

， 都是實根，故而一元三次方程有三個不相等的實根。

以下為拓展內容

---

1.上述c的證明。

證：已知歐拉公式，

, 令

則由歐拉公式，可知

因此，

同理，

故而，

，證畢。

2.由求根公式有時候算出的數字極其鬼畜，但實際上結果卻非常簡單。

比如方程，

,采用求根公式計算，算出判別式Δ>0,因此僅有一個實根。

算出實根x=

本來這就是這個方程的實根，但簡單估算一下，發現x=4也是原方程的實根。我們拿科學計算器將上面那一大串數字輸入以后，得到的結果也是4.

那么上面那一大串數字是如何等于4的。

將

,即要將這個無理根式開三次方。這里采用如下技巧：

考慮到

,找到a和b的值令其右邊等于 ，那么a+b就是 開立方所得的數字。

,因此可以設立方根為 ,那么 和上式對比，發現 考慮到m+2>2,因此m>0，取 。 將m值代入m+2并立方，發現立方的結果就是

故而

同樣的方法，可以得到

因此

PS：如果用上述方法求出m后，并不能還原，那么說明原無理式不能開立方，那就是一個純粹的無理數了。

3.若判別式Δ<0，算出的A B為虛數，那么如何將虛數化成實根，并求出另外兩個根。

比如方程

,采用求根公式計算，得到Δ<0，且一個實根為

將虛數共軛虛數之和化成實數，一般采用歐拉公式。 由1中的證明，我們可以做如下變化。

然后采取三倍角公式求出cos(t/3)后代入即可得到確切的實數解。

但如果方程解如果是特殊的有理數解，和2中的方法類似，采用特值的方法，看看能不能分解出相應的因式從而簡化計算。

,即有

實部相等，虛部相等。有

和

b是多少我們不關心，最終結果會消去，我們只要求出a就可以了。 因此消去b，整理，最終可以得到一個僅含a的方程。

……式子1

我們要看這個方程是否有特解，即有理數解。等式右邊為一個帶根號的無理數，要找到a的有理根解，顯然必須要保證

再稍加整理，得到 確保k是有理數，考慮a=1，代入式子1當中，發現式子成立 因此我們找到了a=1 于是原方程的一個根為

然后采用分解因式的方式。令

將右邊拆開，對比系數，得到 所以有 ,解得

因此原方程的三個根為

最后的話：碼這些字比想象中還要花時間。。本來打算把一元四次方程解法也寫上的，發現時間嚴重超了。。只能下次有機會再碼了~

總結

以上是生活随笔為你收集整理的一元三次方程重根判别式_如何求一元三次方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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