相信人們都對斐波那契數(shù)列有或多或少的了解，如果沒有，那你一定聽過黃金分割比或是見過下面這種圖片：

斐波那契生活在十三世紀(jì)的意大利，原名列奧納多·皮薩諾(Leonardo Pisano)，他出生在意大利那個(gè)后來因?yàn)橘だ锫宰鲞^自由落體實(shí)驗(yàn)而著名的斜塔所在的城市里。值得一提的是，除了常為人所道的斐波那契數(shù)列，他還有一項(xiàng)更偉大的數(shù)學(xué)成就——將阿拉伯?dāng)?shù)字和乘數(shù)的位值表示法系統(tǒng)引入了歐洲。所以，我們也許可以說他是生活在丟番圖之后費(fèi)爾馬之前這2000年間歐洲最杰出的數(shù)學(xué)家了。

斐波那契數(shù)列源自斐波那契在《計(jì)算之書》第12章中提到的兔子繁殖問題：

如果每1對成兔每月生1對幼兔，幼兔經(jīng)過2個(gè)月后成為成兔，即開始繁殖，試問年初的1對幼兔1年后能繁殖成多少對兔子?(假定不發(fā)生任何死亡)

記第ｎ月底的兔子對數(shù)為Ｆｎ，則：Ｆ1＝１，Ｆ2＝１，Ｆ3＝２，Ｆ4＝３，Ｆ5＝５，Ｆ6＝８，…觀察數(shù)列｛Ｆｎ｝規(guī)律很容易發(fā)現(xiàn)，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是它前兩項(xiàng)的和，即Ｆn+2＝Ｆn+1＋Ｆn(ｎ∈Ｎ＊)，這樣我們得到一個(gè)數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，…這樣很容易知道年底共有144對兔子．

將問題一般化后就是：第ｎ個(gè)月底時(shí)的兔子數(shù)就是斐波那契數(shù)列的第ｎ項(xiàng)．那么能否找到它的通項(xiàng)公式？

推導(dǎo)過程如下：

這個(gè)數(shù)列其中一個(gè)有趣的性質(zhì)就是：一個(gè)數(shù)與其后一個(gè)數(shù)之比，越往后越接近于0.618．即，當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)，比值Ｆn/Ｆn+1趨向于(√5-1)/2，而這個(gè)無理數(shù)，正是黃金分割數(shù)0.618的來歷。

自然界中存在許多相關(guān)案例，我們可以很容易地觀察到諸如松塔、花菜、向日葵、以及許多花蕊都按照一定的螺旋排布，而它們順時(shí)針和逆時(shí)針螺旋的條數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中相鄰的兩項(xiàng)。

花瓣的數(shù)目：

樹枝的分叉：

葉子的生長方式也是如此，對于許多植物來說，每片葉子從中軸附近生長出來，為了在生長的過程中一直都能最佳地利用空間(要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長出來，而不是一下子同時(shí)出現(xiàn)的)，每片葉子和前一片葉子之間的角度應(yīng)該是222.5度，這個(gè)角度稱為“黃金角度”，因?yàn)樗驼麄€(gè)圓周360度之比是黃金分割數(shù)0.618033989......的倒數(shù)，而這種生長方式就決定了斐波那契螺旋的產(chǎn)生。

這似乎是植物生長或排列種子的“優(yōu)化方式”，它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當(dāng)，不至于在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。

0.618這個(gè)比例被公認(rèn)為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割。但是0.618這個(gè)比例是非常難以計(jì)算的，我們可以記下1.618這個(gè)數(shù)值，也就是我們常常在攝影中提到的“三分線構(gòu)圖”。

在平面設(shè)計(jì)中:斐波那契矩形或斐波那契數(shù)列中各個(gè)數(shù)字為半徑的圓形相切而組成的復(fù)合圖形。

斐波那契數(shù)列最常用的功能就是用來布局。設(shè)計(jì)師可以指定特定的單位寬度，例如90像素，然后分別乘以斐波那契數(shù)列中的斐波那契數(shù)，得到的就是各分欄的定寬。例如，在一個(gè)1170像素寬度的三欄式布局中，各欄寬度分別為180像素(90×2)、270像素(90×3)和720像素(90×8)。斐波那契數(shù)列除了可以用來指定分欄的列寬，也可以決定標(biāo)題和正文字號的大小關(guān)系。如果根據(jù)數(shù)值大小將數(shù)列進(jìn)行拆分，那么較大的斐波那契數(shù)(144，233，377，610，987)可以分配給各分欄的列寬及其它部分的長度，而較小的斐波那契數(shù)(8,13,21,34,55)可以用來設(shè)置文字的大小、行高與間隙。

純文字圖書中，正文字號用8號會(huì)略小，一般我們可以適當(dāng)放大一些，改用9、14、23這樣的字號，各級字號等于前兩個(gè)級別之和；用來細(xì)分網(wǎng)格，比如將版面分為若干個(gè)小網(wǎng)格。按數(shù)列比例選擇區(qū)塊進(jìn)行分割或組合。

仿生設(shè)計(jì)：前面提到了樹枝的分叉遵循斐波那契數(shù)列，而在2011年8月份，美國一名13歲的小男孩Aidan Dwye在觀察樹枝分叉時(shí)“發(fā)現(xiàn)”它的分布模式類似斐波那契數(shù)列，這是大自然演化的一種結(jié)果，可能有助于樹葉進(jìn)行光合作用。于是他據(jù)此制作了一個(gè)小型的太陽能電池樹，并在特定的高度和間隔安裝上了太陽能電池。普通的太陽能電池一般是成排成列擺放的，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，按照斐波那契數(shù)列擺放的太陽能電池樹產(chǎn)生的電能要多出20%，且太陽能照射到它的時(shí)長要比普通陣列多出2.5個(gè)小時(shí)。

“音樂與數(shù)學(xué)的關(guān)系，即作為一個(gè)觀念性的問題，又作為一個(gè)方法論的問題。在西方音樂歷史上，是從畢達(dá)哥拉斯時(shí)代開始就一直被關(guān)注的一個(gè)對象。”許多作曲家在創(chuàng)作曲譜時(shí)也利用了斐波那契數(shù)列。在《新格羅夫音樂與音樂家辭典》的詞條“Fibonacci series”中提到：“作品中自然出現(xiàn)的斐波那契數(shù)列始于 1843 年之前，但是在這種情況下，音樂學(xué)者必須在對作品的解釋以及作曲家的自覺意圖這兩者之間做出清晰的區(qū)分”。如古拜杜麗娜的《打呃歌》。

斐波那契數(shù)列：“有我走天下？”

異調(diào).植物如何優(yōu)化器官的排列方式?——斐波那契螺旋[J].科學(xué)24小時(shí),2004(05):24.

楊洪格.自然界的數(shù)學(xué)之美——斐波那契數(shù)列[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),2016(13):29-30.

https://blog.csdn.net/g1933375079/article/details/18773641

https://www.sohu.com/a/219555957_114819

http://www.odaad.com/share/eperience/2013-07-31/222.html

倪勇,張永志,李瑞琪.斐波那契數(shù)列在LOGO設(shè)計(jì)中的應(yīng)用研究[J].設(shè)計(jì)藝術(shù)(山東工藝美術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)),2014(06):107-110.

孫重冰.斐波那契數(shù)列與平面設(shè)計(jì)[J].設(shè)計(jì),2014(11):109-110.

https://zhuanlan.zhihu.com/p/34600277

https://www.guokr.com/article/60134/

劉舒婷. 索菲亞·古拜杜麗娜《打呃歌》、《開始時(shí)是節(jié)奏》中的數(shù)理邏輯—斐波那契數(shù)列[D].上海音樂學(xué)院,2019.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的斐波那契数列不用数组_兔子数列——斐波那契数列的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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