八度音階和頻率的關系

Frequency in hertz (semitones above or below middle C)

Octave→

Note↓ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

C 16.352 (?48) 32.703 (?36) 65.406 (?24) 130.81 (?12) 261.63 (0) 523.25 (+12) 1046.5 (+24) 2093.0 (+36) 4186.0 (+48) 8372.0 (+60)

C?/D? 17.324 (?47) 34.648 (?35) 69.296 (?23) 138.59 (?11) 277.18 (+1) 554.37 (+13) 1108.7 (+25) 2217.5 (+37) 4434.9 (+49) 8869.8 (+61)

D 18.354 (?46) 36.708 (?34) 73.416 (?22) 146.83 (?10) 293.66 (+2) 587.33 (+14) 1174.7 (+26) 2349.3 (+38) 4698.6 (+50) 9397.3 (+62)

D?/E? 19.445 (?45) 38.891 (?33) 77.782 (?21) 155.56 (?9) 311.13 (+3) 622.25 (+15) 1244.5 (+27) 2489.0 (+39) 4978.0 (+51) 9956.1 (+63)

E 20.602 (?44) 41.203 (?32) 82.407 (?20) 164.81 (?8) 329.63 (+4) 659.26 (+16) 1318.5 (+28) 2637.0 (+40) 5274.0 (+52) 10548 (+64)

F 21.827 (?43) 43.654 (?31) 87.307 (?19) 174.61 (?7) 349.23 (+5) 698.46 (+17) 1396.9 (+29) 2793.8 (+41) 5587.7 (+53) 11175 (+65)

F?/G? 23.125 (?42) 46.249 (?30) 92.499 (?18) 185.00 (?6) 369.99 (+6) 739.99 (+18) 1480.0 (+30) 2960.0 (+42) 5919.9 (+54) 11840 (+66)

G 24.500 (?41) 48.999 (?29) 97.999 (?17) 196.00 (?5) 392.00 (+7) 783.99 (+19) 1568.0 (+31) 3136.0 (+43) 6271.9 (+55) 12544 (+67)

G?/A? 25.957 (?40) 51.913 (?28) 103.83 (?16) 207.65 (?4) 415.30 (+8) 830.61 (+20) 1661.2 (+32) 3322.4 (+44) 6644.9 (+56) 13290 (+68)

A 27.500 (?39) 55.000 (?27) 110.00 (?15) 220.00 (?3) 440.00 (+9) 880.00 (+21) 1760.0 (+33) 3520.0 (+45) 7040.0 (+57) 14080 (+69)

A?/B? 29.135 (?38) 58.270 (?26) 116.54 (?14) 233.08 (?2) 466.16 (+10) 932.33 (+22) 1864.7 (+34) 3729.3 (+46) 7458.6 (+58) 14917 (+70)

B 30.868 (?37) 61.735 (?25) 123.47 (?13) 246.94 (?1) 493.88 (+11) 987.77 (+23) 1975.5 (+35) 3951.1 (+47) 7902.1 (+59) 15804 (+71)

一些解釋：

Octave 0-9 表示八度區。C-D-E-F-G-A-B 為 C 大調七個主音：do re mi fa so la si(簡譜記為 1 到 7)。科學音調記號法(scientific pitch notation)就是將上面這兩者合在一起表示一個音，比如 A4 就是中音 la，頻率為 440 Hz。C5 則是高音 do(簡譜是 1 上面加一個點)。

升一個八度也就是把頻率翻番。A5 頻率 880 Hz，正好是 A4 的兩倍。一個八度區有 12 個半音，就是把這兩倍的頻率間隔等比分為 12，所以兩個相鄰半音的頻率比是 2 開 12 次方，也即大約 1.05946。這種定音高的辦法叫做 twelve-tone equal temperament，簡稱 12-TET。

兩個半音之間再等比分可以分 100 份，每份叫做一音分(cent)。科學音調記號加上音分一般足夠表示準確的音高了。比如 A4 +30 表示比 440 Hz 高 30 音分，可以算出來具體頻率是 447.69 Hz。

A4 又稱 A440，是國際標準音高。鋼琴調音師或者大型樂隊樂器之間調音都用這個頻率。

C4 又稱 Middle C，是中音八度的開始。有一種音高標定方法是和 C4 比較相隔的半音數，比方 B4 就是 +11，表示比 C4 高 11 個半音。

MIDI note number p 和頻率 f 轉換關系：p = 69 + 12 x log2(f/440)。這實際上就是把 C4 定為 MIDI note number 60，然后每升降一個半音就加減一個號碼。

可以看到 E-F 和 B-C 的間隔是一個半音，而七個主音別的間隔都是兩個半音，也叫一個全音。

標準鋼琴琴鍵有大有小，大的白色琴鍵是主音，小的黑色琴鍵是主音升降一個半音后的輔音(圖)。一般鋼琴是 88 個琴鍵，從 A0 到 C8。知道了上面這些，看到鋼琴鍵盤應該就馬上能找到 Middle C 了，如下

音高間隔(音程)有各類說法，某些間隔的兩個音同時發出來會比較令人身心愉快，比如頻率比 3:2 的 perfect fifth 在各類樂曲都會廣泛用作和弦。具體音高間隔名稱：

間隔半音數 間隔名 大致頻率比

0 perfect unison 完全一度 1:1

1 minor second 小二度 16:15

2 major second 大二度 9:8

3 minor third 小三度 6:5

4 major third 大三度 5:4

5 perfect fourth 完全四度 4:3

6 augmented fourth 增四度

diminished fifth 減五度 45:32

64:45

7 perfect fifth 完全五度 3:2

8 minor sixth 小六度 8:5

9 major sixth 大六度 5:3

10 minor seventh 小七度 16:9

11 major seventh 大七度 15:8

12 perfect octave 完全八度 2:1

人的聽覺和很多音樂設備的頻率范圍是 20 Hz - 20000 Hz，但是成年人一般只能聽到 30 - 15000 Hz，所以上面表格的頻率范圍已經足夠用了。

上次說到現在最通用的音階是把一個八度的倍頻等比分為 12 份，那么為什么要這么做呢？在開始講這個之前，先看兩條人民群眾總結的規律：

人耳對音高的感覺主要取決于頻率比，而不是頻率差。比如 220 Hz 到 440 Hz 的音差，和 440 Hz 到 880 Hz 的音差，一般人認為是一樣大的音差。

如果兩個音的頻率比值很接近小整數比，那么這兩個音同時發出來人會感覺很和諧。比如 440 Hz 和 660 Hz 的兩個音，頻率比值是 2:3，一般叫做完全五度，同時發出來很和諧。

至于為什么有以上的規律，這個問題太深刻了，折磨了一代又一代的音樂家、數學家、物理學家、心理學家、生理學家、哲學家……這里不深入說了，就把它們當作公理好了。下面是某個測試人對各種頻率比評價的結果，峰越高表示人覺得越和諧。可以看見，1:1 1:2 是很和諧的，接下來是 2:3 3:5 3:4 等小整數比。(這張圖的出處不祥，應該是某個論文或者教科書。)

有了上述公理，怎么樣來定音階？早在公元前，偉大的畢達哥拉斯就發現了小整數頻率比很和諧的規律。首先最簡單的整數比是 1:2，接下來分別是 2:3 和 3:4，于是他先定出四個音(按照現在的寫法)：F:C=4:3，G:C=3:2，高八度C’:C=2:1。然后他把 F 和 G 之間的間隔 9:8 叫做一個全音，按照 9:8 全音間隔填補空檔他定下來這樣的音階：

C:C = 1:1 = 1.0000

D:C = 9:8 = 1.1250

E:C = 81:64 = 1.2656

F:C = 4:3 = 1.3333

G:C = 3:2 = 1.5000

A:C = 27:16 = 1.6875

B:C = 243:128 = 1.8984

C’:C = 2:1 = 2.0000

可以看到 E:F 和 B:C’ 之間的間隔是 256:243 = 1.0535，差不多是 9:8 的一半，畢達哥拉斯把這種間隔叫做半音。這樣定出來的音階其實已經蠻好用的了，現在把這種用整數比定音的方法叫做純律(just intonation)。純律的主要問題是有些音之間的比例很古怪，比如上面的 F:D 是 32:27，非常不和諧。另外，巴赫同學后來出了各種奇怪變調的鋼琴曲，而純律變調之后音階就變了，于是巴赫就開始鼓吹當時已經建立起來的平均律(equal temperament)了。

平均律沿用了這種七個基本音的全音階(diatonic scale)系統，但是讓全音剛好等于兩個半音，這樣無論如何變調，整個音階只要偏移一下即可，而各個音之間音程不變。我們知道，一個八度之間是 5 個全音間隔 + 2 個半音間隔，也就是 12 個半音間隔，于是就一刀切，直接把 2 等比分 12 份就是半音間隔了。下面是十二平均律(12-TET)和畢達哥拉斯的純律的對比：

音程 純律 十二平均律

C:C 1.0000 1.0000

D:C 1.1250 1.1225

E:C 1.2656 1.2599

F:C 1.3333 1.3348

G:C 1.5000 1.4983

A:C 1.6875 1.6818

B:C 1.8984 1.8877

C’:C 2.0000 2.0000

可以看到，十二平均律和純律很接近，特別是 F:C 完全四度和 G:C 完全五度非常接近應有的整數比 4:3 和 3:2，只相差 2 個音分(cents)。一般沒有受過音樂訓練的人對 20 音分以下的音差已經不敏感；即使專業調音師，不靠儀器的話 5 個音分也基本是分辨極限了。所以在實際使用中，十二平均律對完全五度這么小的誤差是完全可以忽略的。

理論上說，如果把 2 等比分為別的份數，也可以制造出可用的音階。一個例子是等比分為 29 份，這樣出來的音階比 12-TET 更接近 3:2，但是大三度 5:4 卻慘不忍睹，相差很大。一個小細節是有些音程是互補的，比如某個平均律如果很接近 G:C 3:2 完全五度，那么 C’:G 4:3 完全四度也同時被搞定。一般人們評價一個平均律，主要看它和大三度、完全五度、大六度的偏差總和(同時搞定的互補音程為小六度、完全四度、小三度)，計算表明，比十二平均律更好的下一個音律是十九平均律，接下去更好的分別是 31、34 和 53。可以想象，即使是十九平均律，鋼琴鍵盤也會復雜很多，而且由于多了很多音，不和諧的音高組合也會更多，所以非十二等分的平均律使用很有限，現在一般只局限在理論研究上。

中國古代各類弦樂器五聲音階宮商角徵羽按照五度相生律定音，演奏起來非常優美。五度相生律可以算是純律的一種，中國人發現這個小整數比的規律應該比畢達哥拉斯早好多年。不過到了現代，特別是鍵盤樂器的普及以及大型樂隊的配合需要，最后還是十二平均律勝出了。

為什么小整數頻率比的兩個音比較和諧？這個問題，要從樂音的諧波說起。

一般樂器發出的音都不是純頻率的音，而是由好多諧波(harmonic)組成的；其中頻率最低的那個通常最強，叫做基音。比如小提琴發出音高 A4 的音，指的就是其基音是 440 Hz，而聲波頻譜里面同時有二次諧波 880 Hz、三次諧波 1320 Hz、四次諧波……等等。不同樂器發出的聲音，其諧波強度分布往往完全不同，因此音色(timbre)也就不同(比如高諧波強的話聽起來就亮一些)。樂音含有諧波這個特性和小整數比的和音規則有什么關系？以完全五度舉例，A4 和 E5 的兩個樂音，頻率比為 2:3，而 A4 的三次諧波和 E5 的二次諧波剛好重合，都是 1320 Hz。相隔完全五度的兩個樂音同時聽起來比較好聽，是不是因為它們大部分的諧波都重合了？

于是就有科學家做實驗了。人們發現，把純頻率的音(不含諧波)A4 和 E5 同時發出來聽并不怎么好聽。還有人用電腦制作了扭曲的樂音，把 N 次諧波搞成 Nlog(2.1)/log(2) 倍(諧波從 2 倍拉寬到 2.1 倍，自然界是沒有這種聲音的)，然后發現諧波重合的扭曲樂音同時聽起來還比較和諧，而它們的基音卻不是小整數比了。還有一些別的實驗，但是結論都是差不多的，就是兩個樂音和諧主要是因為他們的諧波重合，轉換為數學語言，就是基音必須是小整數比。

為啥諧波重合就好聽呢？這是因為，如果諧波不重合但是距離很近，它們就會干涉形成低頻率的拍(beat)，這種低頻拍音嗡嗡作響，非常難聽。兩個頻率距離多近才會形成不好聽的拍？人們一般把這個臨界距離叫做臨界頻寬(critical bandwidth)，處于臨界頻寬之內的兩個頻率就會互相干涉。這個臨界頻寬本身是頻率的函數，頻率越高，臨界頻寬帶也就越寬，如下圖所示：

可以看到，臨界頻寬在低頻區是 100 Hz 左右；高頻區大約是本身頻率的 1/6。比如，900 Hz 的臨界頻寬是 150 Hz，這就是說，750 - 1050 Hz 頻率范圍內的音都會和 900 Hz 的音干涉。用音樂術語，1/6 頻寬介于大二度和小三度之間(上圖所示 2&3 semitones 之間)，所以在高頻區域里，間隔一個或者兩個半音的音就會相互干涉形成不愉悅的拍。

樂音的高諧波排列非常緊密，比如 A4 的 10 次諧波和 11 次諧波分別是 4.4 kHz 4.84 kHz，間隔不到兩個半音，所以高諧波之間就會相互干涉。如果對小提琴樂音做頻譜分析，會發現它有很多諧波強度很弱，造成的結果是各個強諧波之間間隔都比較大，不在互相的臨界頻寬內，所以小提琴樂音本身極少有難聽的拍，這也正是小提琴樂音很好聽的原因之一。有些樂器音高很準，但是發出聲音很難聽，可能就是因為它自己有很多諧波互相打架，形成很多低頻拍，聽起來很難受。

那么為什么低頻的拍聽起來難聽呢？有人認為這和人耳的解剖學結構有關。匈牙利生物物理學家 Georg von Békésy 發現人的耳蝸里有很多小毛毛，功能是把外界聲波在內耳液體中產生的振動轉換為神經電信號，而且耳蝸的特殊生理結構導致每根小毛毛只對一小段頻率的振動敏感。也就是說，耳蝸就是一個頻譜分析儀；而小毛毛的敏感頻率段，差不多就是相應頻率的臨界頻寬。好的樂音因為沒有互相打架的拍頻，小毛毛們都會做優美的簡諧運動，人就會覺得很愉快；相反，如果臨界頻寬內有兩個頻率的聲音，有一些小毛毛就會受到兩種頻率的影響，運動起來比較別扭，所以人也覺得不怎么愉快。Békésy 這個發現是得了諾貝爾醫學獎的，不過后來進一步的研究發現雖然他的理論基本成立，但是數據并不正確，主要是因為 Békésy 是拿死人耳朵做實驗的，因為尸體失水，耳朵的頻率響應也非常不同。不過炸藥獎發了就發了，也收不回了，Békésy 本人在晚年也否定了自己早期的一些研究。

如果還有人偏要問到底，為什么耳蝸里小毛毛運動別扭，人就覺得難受呢？有些問題呢，它就是沒什么道理的。好不好聽這本身就是個主觀的問題，如果你偏要問為什么，那估計就只好把你的腦袋砸開來研究了……現代腦科學的研究已經越來越科學，越來越定量化，但是像樂音和諧度這類宏觀問題上，基本上也只有一些假說，信仰假說的人多了，也就成了學派。有些哲學家對腦科學前景非常悲觀，認為人自己的主觀意志去研究自己的主觀意志，是很難有結果的。這個說法倒是過于杞人憂天了，目前人類對腦子的了解還遠遠不夠，可以研究的東西還多得很，不過也許在遙遠的未來，人就真的要面對無法繼續研究自己的問題了。

說了這么多，可千萬不要以為知道了一個小整數比就可以譜曲了。翻開和聲學，你會發現正統的和聲規則要復雜得多，甚至用什么樂器來演奏，調起多高，是小型音樂廳還是露天演奏，等等都是需要考慮的因素。幾百年前就有很多音樂家搞出各類奇奇怪怪的規則，而現代人類更是從胎教開始就逐漸接受正統的規則，作曲人即使沒有受過專業訓練也會在潛移默化中將這些規律繼續發揚光大。事實上音樂制作已經在人類社會中形成了巨大的正反饋，某些和聲規則逐漸被強化。原始部落的人們聽到貝多芬的曲子，并不會神魂顛倒。所以說，可能也只有最樸素的小整數比和聲規律還有一定的生理基礎，現在復雜的和聲學則基本上算是美學，沒有道理可言。我曾經看到有人對著樂譜做傅立葉分析，研究為什么某些和聲聽起來好聽。挺美好的音樂，偏偏硬要去扣個科學的帽子，我想說，你從小就是聽這些和聲規則長大的，能不覺得好聽么……這個就跟我受了十多年政治教育就再也不會懷疑馬克思列寧主義了是一個道理。

Fang 在《寫作的重要性》一文中提到：看完書不寫讀后就好像做完題目不寫成 paper，不是好習慣。在這個方針的指引下，我在過去幾年看的音樂方面的書該摘錄的前面三篇差不多寫完了，這里補點小問題作個尾巴吧。

音高感知：比較流行的理論是，幾百赫茲以下大腦是直接數周期來確定音高的，1600 Hz 以上則主要靠內耳頻譜分析，中間頻率段兩種機制都在起作用。

聲源定位：人有倆耳朵，定位聲源主要靠分辨聲音到達耳朵的時間差。比較令人驚訝的是，雖然聲音感知的神經脈沖有 100 微秒，但是人可以分辨的時間差在 10 微秒的量級。另外，左右耳的聲強和頻譜對比也對判斷聲源有幫助，比如，右邊來的聲音在右耳聽起來會亮一些，因為聲波經過圓型頭部的時候高頻被吸收得多。

還有一個有趣的現象是聲源的上下定位。人即使不移動腦袋，也是可以感覺到正前方聲源的上下位置的，而這種聲源對左右耳完全對稱，因此也不可能用左右耳差異來判斷位置。實驗發現，如果堵上耳朵或者改變耳廓形狀，人的聲源上下定位能力就會減弱或者消失。流行理論是人對預定聲音的頻譜會有記憶，而聲源上下移動會在耳廓上產生不同的反射模式，特別會影響高頻部分的頻譜，人估計就是從高頻頻譜里得到聲源位置的暗示的。實驗也發現，如果編造不熟悉的聲音，人對聲源高度的判斷就不會那么準確了。

另外，一般在房間里聲源到接受者耳朵里不光有直接聲波還有大量墻壁和地面的反射波。首先，人會選取最先聽到的直接聲波判斷出聲源的位置；其次，人也會利用反射波的信息來感知房間大小。實驗發現，如果把房間墻壁搞成完全吸收聲波，哪怕再小的房間人也不會感覺到房間很小(當然這個實驗需要把人眼睛蒙起來)。

雞尾酒會效應：Cocktail party effect，聽覺系統的一種選擇能力。在雞尾酒會上即使周圍噪聲很大，我們還是可以聽到朋友說的內容。聽音樂時，人如果專注于一樣樂器，也可以跟隨那個樂器的聲音。這種能把注意力集中在某個聲音上的現象就是雞尾酒會效應，這和視覺里人可以在紛亂的背景中看出熟悉的圖形可能是類似的機制。大凡自然界的聲音、人聲和樂器都會略有噪音和瑕疵，實驗發現人對聲音里面這種瑕疵非常敏感，這也很可能是人分辨相近聲音的主要線索。兩個人說話或者兩種樂器演奏，頻譜一般有很明顯的不同，所以人能分辨出來并不奇怪；兩把幾乎相同的小提琴一起演奏，人還是可以聽出有兩把小提琴，這是因為兩個樂器各有各的瑕疵，演奏的人也可能技巧略有不同。電子合成的樂音如果不加瑕疵，聽起來很機械，完全沒有美感，兩個不加瑕疵的電子小提琴一起演奏，人是分辨不出來的。可見完美的世界并不美好，我們需要一定的個性才能讓這個世界變得有趣。

最后推薦一本書 Music, Cognition, and Computerized Sound: An Introduction to Psychoacoustics，這本書是 Stanford Center for Computer Research in Music and Acoustics (CCRMA) 的一幫人根據教學經歷整理的。這個多學科研究中心集結了音樂、計算機、電子和機械工程、物理和心理方面的大牛，成立多年雖無重大突破，但是成功改變了過去各個學科獨自研究音樂的局面，算是在這個交叉學科領域走出了重要的一步。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的音阶频率对照表_八度音阶和频率的关的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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