D-S證據(jù)理論

在信息融合技術(shù)領(lǐng)域中，信息融合算法是研巧的核也技術(shù)。目前的主流的信息融合方法大致可Ｗ分為兩大類：概率統(tǒng)計(jì)類方法和人工智能方法。

其中概率統(tǒng)計(jì)類方法主要流行的數(shù)學(xué)工具或方法有如下幾種：

一是采用最簡(jiǎn)單直觀的數(shù)學(xué)運(yùn)算融合的加權(quán)平均法。
二是多用于實(shí)時(shí)融合動(dòng)態(tài)低層次冗余數(shù)據(jù)的卡爾曼濾波法。

三是把每個(gè)傳感器進(jìn)行貝葉斯計(jì)算并將各物體的關(guān)聯(lián)概率組成概率分布函數(shù)，然后使關(guān)聯(lián)的概率分布函數(shù)的似然函數(shù)最小，進(jìn)而得到最終融合算法的多貝葉斯估計(jì)法。

四是適用于不確定問(wèn)題推理的證據(jù)理論。

而人工智能則主要包括：利用多值邏輯推理，根據(jù)模糊集合理論的何種算法對(duì)各命題進(jìn)行合并計(jì)算，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)融合的模糊攫輯理論；利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的信號(hào)處理能力和自動(dòng)推理能力實(shí)現(xiàn)多傳感器數(shù)據(jù)融合的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等。
在涉及到數(shù)據(jù)融合的時(shí)候，我們很多人都可能接觸到一個(gè)名詞D-S證據(jù)理論，那么這到底是什么意思呢？如果下次看到了這個(gè)名詞，不要跳過(guò)，仔細(xì)看看其實(shí)很簡(jiǎn)單。

Dempster-Shafer 證據(jù)理論首先由 Dempster 提出，構(gòu)造了不確定性推理的一般框架，

后來(lái) Shafer 對(duì)其進(jìn)行了擴(kuò)展和補(bǔ)充，最終形成了證據(jù)理論的整體框架。D-S 證據(jù)理論在

沒(méi)有先驗(yàn)信息的情況下可以對(duì)不確定性和不精確性進(jìn)行有效處理，因此它廣泛應(yīng)用于各

種數(shù)據(jù)融合領(lǐng)域，作為一種不確定推理方法，證據(jù)理論的主要特點(diǎn)是：Ｄ－Ｓ證據(jù)理論算式簡(jiǎn)單，且具有較為完善的理論基礎(chǔ)，其最大的優(yōu)勢(shì)在于滿足比貝葉斯概率論更弱的條件，能夠合理的區(qū)分＂不知道＂和＂不確定＂，這就允許人們對(duì)不確定性的問(wèn)題進(jìn)行建模分析并產(chǎn)生推理結(jié)果。

設(shè)Θ表示為對(duì)一個(gè)判決問(wèn)題所有可能取值的集合，而且Θ中的事件元素相互獨(dú)立、

互不相容，稱這個(gè)集合Θ(論文里都長(zhǎng)這樣，但其實(shí)都一樣，是希臘字母theta的大寫形式)為辨識(shí)框架。即：

Θ={ A1,A2,A3,……,An}

其中,我們稱Ai?(其中i=1,2,3……,n)稱為識(shí)別框架 Θ 的一個(gè)事件或元素。

在識(shí)別框架 Θ 中，它的任意子集Ai 都對(duì)應(yīng)著某問(wèn)題答案的命題，可以形容這個(gè)命題為“A 是問(wèn)題的答案”。

由辨識(shí)框架Θ所有事件組成的集合稱為Θ的冪集，用來(lái)表示。

接著我們引入冪集的概念，即識(shí)別框架 Θ 全部子集的集合，記作 。

舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子，家里還剩最后一個(gè)蘋果，父母出去了，家中留有張一，張二，張三，王四，等幾個(gè)親生兒子，那么問(wèn)題就來(lái)了，如果蘋果被吃了，究竟是誰(shuí)吃的？那么我們就將{張一}，{張二}，{張三}，{王四}，{張一，張二}，{張一，張三}，{張一，王四}，{張一，張二,張三}……{張一，張二，張三，王四}納入我們的辨識(shí)框架內(nèi)?？蚣軆?nèi)的子集總有一個(gè)是問(wèn)題的答案。

設(shè)Θ為識(shí)別框架，ｍ是從集合2Θ到[0,1]的映射，A表示識(shí)別框架Θ的任一子集，記做A?Θ

且滿足：

則稱m(A)為事件A的基本信任分配函數(shù)（BPA）或者mass函數(shù)。BPA反映了證據(jù)對(duì)識(shí)別框架中的命題A的支持程度，說(shuō)是函數(shù)其實(shí)是個(gè)數(shù)字值，但是因?yàn)槭前芽赡苄杂成涞絒0，1]范圍內(nèi)的具有函數(shù)的要素。而mΦ=0反映了證據(jù)對(duì)于空集是不產(chǎn)生任何支持度的。

其實(shí)這個(gè)基本信任分配函數(shù)作用如其名，就是將信任數(shù)值化并分配給命題的元素

????????????? 比如有這么一個(gè)證據(jù)E1：隔壁老王去過(guò)張家，認(rèn)為張一吃蘋果可能性為0.5所以m1（{張一}）=0.5，張二，張三都很老實(shí)可能是一起吃的概率為0.2，m2({張二，張三})=0.2。王四吃的可能性最小為0.1那么m3（{王四}）=0.1。那么還有0.1的概率也就是m1（Θ）=0.1，這是壓根不知道是哪種情況，也就是我們常說(shuō)的”應(yīng)該”是這幾種情況吧，一個(gè)”應(yīng)該”就說(shuō)明還會(huì)有其他情況。如果沒(méi)有這0.1那么對(duì)于老王來(lái)說(shuō)就是肯定只有這幾種情況。這個(gè)思考過(guò)程就把事件A的分配函數(shù)定好了。

而在識(shí)別框架Θ下的任一子集若有mA>0，則稱A為證據(jù)的焦元（focal element）

焦元中所包含的識(shí)別框架元素的個(gè)數(shù)稱為該焦元的基。當(dāng)子集A只含有一個(gè)元素時(shí)，稱

為單元素焦元。若含有１個(gè)元素，則稱為ｎ元素焦元。

就是如果A為{張二，張三}，那么A是二元焦元，這個(gè)事A是由張二，張三他倆干的。

?????? 下面講一下信任函數(shù)

設(shè)Θ為識(shí)別框架，Bel是從集合2Θ到[0,1]的映射，也就是要把感覺(jué)的可能性給數(shù)字化。讓我們的感覺(jué)用0-1內(nèi)的數(shù)字來(lái)代替，數(shù)字大我們感覺(jué)發(fā)生的可能性大，數(shù)字小，我們感覺(jué)發(fā)生的可能性就小。A表示識(shí)別框架Θ的任一子集，記作A?Θ，且滿足：

則我們稱Bel（A）為A的信任函數(shù)（Belief）。信度函數(shù)表達(dá)了對(duì)每個(gè)命題的信度分配

這有同學(xué)可能就感到迷糊了，我們還以偷吃蘋果那個(gè)為例，假如此時(shí)鄰居王二說(shuō)了另一種看法E2:m1（{張一}）=0.2，m2（{張二，張三}）=0.2，m3（{王四}）=0.5，m4（Θ）=0.1。

那么Bel{張一}（相信是張一干的事這個(gè)命題的信任程度）便可以計(jì)算出來(lái)，如何計(jì)算？那么可不是簡(jiǎn)單的相加，而是要利用D-S證據(jù)理論的組合規(guī)則了

筆者提醒：

則稱 m 為框架Θ上的基本可信度分配。m(A) 被稱為?A 的基本可信數(shù)。

基本可信數(shù)反映了對(duì) A 本身（而不去管它的任何真子集與前因后果）的信度大小。

命題本質(zhì)上就是一組證據(jù)的集合。

命題表達(dá)了我們對(duì)待認(rèn)識(shí)的目標(biāo)對(duì)象（識(shí)別框架）的一種潛在推測(cè)，每一個(gè)命題都是識(shí)別框架的一個(gè)子集，對(duì)應(yīng)一個(gè)對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的抽象表征。

基本可信度分配是概率論中完備性的一個(gè)泛化推廣?；究尚艛?shù)累加和為1，代表著所有命題共同組合在一起，構(gòu)成了完整的識(shí)別框架。

需要注意的是，和隨機(jī)事件一樣，命題本身是一個(gè)集合的概念（離散情況下），所以命題可以有子命題，對(duì)命題的可信度分配，同樣也有子集的概念。

可以看到，信度函數(shù)是一系列可信度分配的累計(jì)合成結(jié)果，這和概率論中隨機(jī)變量是單個(gè)離散隨機(jī)事件（離散概率）的累計(jì)的概念是一致的。

Dempster-Shafer證據(jù)合成規(guī)則是一種處理多個(gè)證據(jù)的聯(lián)合法則，簡(jiǎn)稱Ｄ－Ｓ證據(jù)合成規(guī)則。在一個(gè)給定的識(shí)別框架下，我們可以基于不同的證據(jù)獲得對(duì)應(yīng)的信任函數(shù)。此時(shí)我們需要一個(gè)方法來(lái)融合這些結(jié)果。假設(shè)這些證據(jù)不是完全相悖，那么就可以利用Ｄ－Ｓ證據(jù)合成規(guī)則加計(jì)算得到一個(gè)新的信任函數(shù)。這一新的信任函數(shù)稱為原來(lái)多個(gè)信任函數(shù)的正交和

設(shè)Θ為識(shí)別框架，mi是在這一識(shí)別框架下的某一證據(jù)的BPA，Aj表示證據(jù)的焦元，記作Aj?Θ，D-S證據(jù)合成規(guī)則表示為：

其中，K表示證據(jù)間的沖突程度，K值越大，表明證據(jù)間的沖突程度越大。而系數(shù)1/1-K稱為歸一化因子。其實(shí)真的只看公式的話，比較難理解到底怎么合成證據(jù)，為了讓大家更好更快的理解這個(gè)公式，下面以兩個(gè)證據(jù)合成情況為例，通過(guò)空間圖示的方式加以介紹。設(shè)Θ為識(shí)別框架，m1和m2分別是這一識(shí)別框架下的兩個(gè)證據(jù)的BPA，用Ai, bj分別表示兩個(gè)證據(jù)的焦元。下面兩張圖中，分別用線段[0,1]中用某一段長(zhǎng)度表示信任分配函數(shù)m1(Ai)和m2Bj的值。而總的線段長(zhǎng)度為1表示所有命題的BPA的和為1。

Figure 1證據(jù)m2的基本概率分配值圖

Figure 2證據(jù)m1的基本概率分配圖

Figure 3? D-S證據(jù)合成公式效果圖

在圖3中將圖2和圖1結(jié)合起來(lái)，可以算出證據(jù)合成后的結(jié)果。整個(gè)大的矩形可以看成總的基本任務(wù)分配。其中，豎軸表示m1分配到其對(duì)應(yīng)焦元Ai上的基本信任分配值。而橫軸表示m2分配到對(duì)應(yīng)焦元Bj上的基本信任分配值。圖中陰影部分表示同時(shí)分配到Ai，Bj上的基本信任分配值，用m1(Ai)* m2(Bj)表示。當(dāng)Ai∩Bj=A時(shí)，m1和m2的聯(lián)合作用就是將m1(Ai)* m2(Bj)確切分配到A上，同時(shí)為了使Ai∩Bj=?時(shí)分配到空集上的信任分配值為0，需要把

這一部分值丟棄。當(dāng)丟棄這部分值后，總的信任值會(huì)小于1，因此需要在每個(gè)信任分配上乘于系數(shù)11-K，總而使總信任值為1。

對(duì)于多個(gè)證據(jù)也可采用相同的做法，將基本信任分配函數(shù)合成一個(gè)。

還記得偷蘋果的例子嗎，如果現(xiàn)在父母對(duì)于誰(shuí)會(huì)吃蘋果有自己的感覺(jué)判斷，父母認(rèn)為E3：

m1（{張一}）=0.2，m2（{張二，張三}）=0.2，m3（{王四}）=0.3，m4（Θ）=0.3。我們要知道每一個(gè)不確定的可能都包含所有的可能也就是為何我們用m4（Θ）來(lái)表示不確定的概率。

那么我們就可以整理出：

E1：m1（{張一}）=0.5，m2({張二，張三})=0.2，m3（{王四}）=0.2，m1（Θ）=0.1。

E2: m1（{張一}）=0.3，m2（{張二，張三}）=0.1，m3（{王四}）=0.5，m4（Θ）=0.1。

E3：m1（{張一}）=0.2，m2（{張二，張三}）=0.2，m3（{王四}）=0.3，m4（Θ）=0.3。

那么下面就是激動(dòng)人心的時(shí)刻了，我們?cè)撛趺此愠鰪堃煌党蕴O果這個(gè)命題的整體可信度呢？

m({張一}) =[ m1({張一})+m1( Θ )] * [m2({張一}) + m2( Θ )]*[ m3({張一}) + m3( Θ )] - [m1( Θ ) * m2(Θ) * m3(Θ)]=0.120，

同理m（{張二，張三}）=0.050，m（{王四}）=0.108。而對(duì)于m（Θ）我們就要將其舍去

因此k=0.278。

這些概率和就不是1了所以我們將其歸一化

那么m({張一})=0.179，m（{張二，張三}）=0.388，m（{王四}）=0.503。（有一定誤差，可能和不為1，在實(shí)際處理的時(shí)候浮點(diǎn)數(shù)精度會(huì)很高，從而減少此類誤差）

在處理的過(guò)程中，初始D-S理論其實(shí)誤差和悖論有很多，比如（1）全沖突惇論，（2）1信任惇論，（3）０信任惇論，（4）證據(jù)失效惇論，（5）信任偏移惇論，（6）焦元基模糊停論。對(duì)于這方面的改進(jìn)分為三個(gè)方面，一是基于對(duì)證據(jù)源的修正的方法；二是基于對(duì)合成規(guī)則的修正的方法；三是同時(shí)對(duì)證據(jù)源及合成規(guī)則修正的方法。

第一種基于對(duì)證據(jù)源的修正方案普遍認(rèn)為,Dempster-shafer證據(jù)合成規(guī)則本身是沒(méi)有錯(cuò)誤的。造成合成結(jié)果惇論的原因往往是因?yàn)橥ㄟ^(guò)傳感器獲得的證據(jù)受到了外部環(huán)境的干擾或某一傳感器在檢測(cè)過(guò)程中失效?；诖朔治霎?dāng)證據(jù)源存在沖突時(shí)，只要對(duì)證據(jù)源進(jìn)行預(yù)處理，淡化干擾因素，得到修正后的證據(jù)源，再使用Dempster-shafer合成規(guī)則完成合成即可

具體細(xì)節(jié)在此就不一一詳述了，有興趣的同學(xué)可以查閱資料。唉，word還不能直接復(fù)制，公式都是自己一點(diǎn)點(diǎn)扣的，排版都亂完了，可惜了。日后我研究到后會(huì)更新優(yōu)化方案，關(guān)注我，我們一起學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)融合。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的基于Ｄ－Ｓ证据理论的数据融合算法的研究的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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