作者：BerenCamlost

參考資料：

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數字信號處理課本

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第三章 DFT

3.1 各種傅里葉變換

傅里葉變換前（時域）傅里葉變換后（頻域）

非周期連續	非周期連續
周期連續	非周期離散
非周期離散	周期連續
周期離散	周期離散

一個域的離散對應另外一個域的周期
一個域的連續對應另外一個域的非周期

3.2 DFS——離散傅里葉級數

3.2.1 一個重要的算子

$$W_N=e^{?j(2\pi /N)}$$

3.2.2 計算公式

$$\tilde{X}[K]=\sum _{n=0}^{N?1}\tilde{x}[n]e^{?j(2\pi /N)kn}=\sum _{n=0}^{N?1}\tilde{x}[n]W_N^{kn}$$

3.3 DFT——（有限長序列的）離散傅里葉變換

3.3.1 主值序列和周期延拓

$$x[n]=\{\begin{array}{cc}\tilde{x}[n]& 0?n?N?1\\ 0& others\end{array}$$
$$x[n]=\tilde{x}[n]R_N[n]$$

3.3.2 計算公式

$$X[K]=DFT[x[n]]=\sum _{n=0}^{N?1}x[n]W_N^{kn},0?k?N?1$$
$$x[n]=IDFT[X[k]]=\sum _{n=0}^{N?1}X[k]W_N^{?kn},0?k?N?1$$

• 將這個公式和上面的DFS公式相對比，可以發現DFT是DFS的主值序列

3.3.3 DFT和DTFT的關系

• N點離散傅里葉變換X[k]是以$2\pi /N$為采樣間隔，對該序列的離散時間傅里葉變換$X(e^{j\omega })$在一個周期內$(0?\omega <2\pi )$的等頻率間隔采樣。
• 對于Z變換，就是單位圓上等間隔取樣。

3.3.4 頻域采樣

• 頻域采樣定理：如果序列x[n]長度為M，若對其$X(e^{j\omega })$在$(0?\omega <2\pi )$進行等間隔采樣，采樣間隔為$\Delta \omega =2\pi /N$，采樣點頻率為 ${\omega }_k=2\pi k/N$，得到N點的Y[k]，僅當采樣點數N>=M
  時，才能由Y[k]恢復x[n]，即x[n]=IDFT [Y[k] ]，否則將產
  生時域的混疊失真，不能由Y[k]無失真的恢復原序列

3.4 DFT性質

3.4.1 線性

3.4.2 循環移位

周期延拖，周期為N

時移

取主值區間

具體圖示如下圖所示：

• 循環移位也稱為圓周移位，原因可以由下圖解釋：
  
• 循環移位定理：
  $$DFT[x[<n?m{>}_N]R_N[n]]=W_N^{km}X[k]$$

3.4.3 圓周共軛對稱

圓周偶對稱：x[n]=x[N-n]

圓周奇對稱：x[n]=-x[N-n]

圓周偶對稱性圓周奇對稱性

X[k]的實部	X[k]的虛部
$\left|\begin{array}{c}X[k]\end{array}\right|$	arg[X[k]]

3.4.4 循環卷積

$$y[n]=\sum _{m=0}^{N?1}{x}_1[m]x_2[<n?m{>}_N],0?n?N?1$$
記作:

• 循環卷積定理：
  
• 循環卷積和線性卷積的關系：兩個有限長序列的N點循環卷積y_c[n]，是這兩個有限長序列的線性卷積y₁[n]以N為周期進行周期延拓后的主值序列。

循環卷積的一種簡單算法

在我們計算循環卷積的時候，通常是先移位再相乘，然后求和。這種簡單算法的思路是，先相乘，再移位，最后求和。這種方法類似于計算線性卷積時的列表法，或者是豎式法。這里用一個例子來說明：

【例】：設x₁[N]={1,2,3,4}, x₂[N]={2,1,3}, 求4點循環卷積
【答】：
先對x₂[N]補1個零，然后列式：
1，2，3，4；；前兩行是源數據
2，1，3，0
2，4，6，8；；先使2和{1，2，3，4}相乘
4，1，2，3；；然后讓1和{1，2，3，4}相乘，但是起始位置和第二行的1對齊，并且將最后的4移動到最前面
9，12，3，6；；然后讓3和{1，2，3，4}相乘，但是起始位置和第二行的3對齊，并且將最后的9，12移動到最前面
0，0，0，0
；；縱向求和，結果為
15，17，11，17

3.4.5 帕斯瓦爾定理

• x[N]和y[N]的N點DFT分別為X[k]、Y[k]，則有
  $$\sum _{n=0}^{N?1}x[n]y^{?}[n]=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N?1}X[k]Y^{?}[k]$$
• 當x[n]=y[n]時，有
  $$\sum _{n=0}^{N?1}{\left|\begin{array}{c}x[n]\end{array}\right|}^2=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N?1}{\left|\begin{array}{c}X[k]\end{array}\right|}^2$$

3.5 DFT實現線性卷積

兩個有限長序列x₁[n],x₂[n]進行線性卷積，長度最長為N₁+N₂-1

兩個有限長序列x₁[n],x₂[n]進行循環卷積，兩個序列均需要補0，使得其長度等于N，

兩個有限長序列的N點循環卷積y_c[n]，是這兩個有限長序列的線性卷積y₁[n]以N為周期進行周期延拓后的主值序列。

兩個有限長序列的循環卷積和線性卷積相等的前提條件是：
$$N?N_1+N_2?1$$

3.6 連續信號的DFT分析

3.6.1 非周期連續信號的頻譜分析

3.6.2 利用DFT對連續信號譜分析時應注意的幾個問題

混疊：
當采樣頻率不能滿足奈奎斯特采樣定理時，即fT<2fm，會發生頻譜混疊

頻譜泄漏：
截短后的信號頻譜是原信號頻譜與矩形窗譜卷積的結果，在卷積過程中使得信號的譜峰展寬，這種信號頻譜的擴展現象，稱為頻譜泄漏。就是濾波的窗太小了

柵欄效應

頻率分辨率：
$$F=\frac{f_T}{N}$$

• F越小，頻率分辨率越高
• 這里的N指的是信號x_N[n]的有效長度，而不是補零后的長度
• f_T是采樣頻率

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数字信号处理——DFT的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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