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明敏 發自 凹非寺?
量子位 報道 | 公眾號 QbitAI

近日，有網友在知乎開帖，將自己總結的線性代數邏輯框架分享了出來，本來僅僅只是學習分享，沒想到又又又把同濟版線性代數拉出來鞭尸一回。

開帖如下：

對于樓主的框架，廣大網友表示不應該把矩陣作為理解線性代數的核心。

答主@楊數森表示，線性代數的最核心問題就是怎樣的線性變換是相似的。

最好不要把矩陣作為線性代數的核心，就像不要把初等函數作為微積分的核心一樣。

線性代數的最核心問題就是怎樣的線性變換是相似的，而這些相似的線性變換具有怎樣的特征。引入特征值為這個問題提供了巨大的幫助，卻不夠徹底，因為尚不能解釋為何存在非零的冪零變換。

經過復雜的討論，我們知道復線性變換的 Jordan 標準型是判斷線性變換是否相似的標志，也是衡量線性變換的特征的方式。

所謂兩個線性變換是相似的，就是它們能在適當的基下表示成相同的矩陣，而 Jordan 標準型就是其中的代表。

為了把線性代數應用到分析和幾何領域，需要在線性空間中引入度量，而內積正是確定度量的巧妙方法。

歐氏空間是帶有內積的線性空間，其中的內積是正定、對稱的雙線性函數。在有限維歐氏空間中，能夠順應所給內積的基是標準正交基，保持內積不變的變換是正交變換。歐氏空間中的另一個有意義的變換是對稱變換，而它也恰好對應于二次型。

也有網友認為，向量空間、線性空間以及線性空間之間的態射應該是線性代數的核心。

更有網友表示，之所以會產生這樣的誤解，很大原因是教材的編寫框架對人造成了誤導。

同濟版《線性代數》再一次被推到了風口浪尖。

同濟版《線性代數》為何會引起眾怒？

同濟版《線性代數》為何會頻頻引起“眾怒”呢？

早在2019年，知乎上便有了關于這版教材的吐槽討論。

吐槽理由主要在于教材章節混雜、原理晦澀難懂，往往學完一本書也不明所以。

最令人詬病的便是教材內容編排不合理，無論是從行列式開始、還是從矩陣入手，教材開篇生硬地引入大量全新的概念，對于廣大學子而言都深感莫名其妙。

盡管學習了行列式，但是大家行列式的認識也只停留在盲目做習題這一層面，把這行乘一個系數加到另一行上，再把另一行減過來，但是卻不明白這么來回折騰的意義是什么。

此外，作為一門本身就十分抽象的學科，同濟版《線性代數》對于許多概念的解釋仍舊是冗長的下定義模式，缺乏直觀的幾何理解，這也使許多人更加不理解學習線性代數的意義。

△定義雖然講解了對角線法則，但是卻沒有解釋為什么四階行列式開始便不使用該方法

不夠合理的課程內容編排、晦澀難懂的定義原理，讓人感覺這不是在學習一門課程，而是被不由分說地拋到一個強制的世界中，只是在考試的皮鞭下被迫趕路。

你的線性代數，之前可能都學錯了

其實，同濟版《線性代數》之所以會飽受吐槽，還有一個更大的原因：無論是科研還是實際工程應用，線性代數的身影無處不在。如果沒有理解其中原理，在日后的運用中可謂是步履維艱。

CSDN 副總裁孟巖曾在《理解矩陣》一文中表示“不少人即使能夠很熟練地以線性代數為工具進行過科研和應用工作，但是對于很多初學者提出來的看上去很基礎的問題并不清楚。”

比如說：矩陣究竟是什么東西？向量可以被認為是具有n個相互獨立性質（維度）的對象的表示，矩陣又是什么呢？

如果認為矩陣是一組列（行）向量組成的新的復合向量的展開式，那么為什么這種展開式具有如此廣泛的應用？

特別是為什么偏偏二維的展開式如此有用？如果矩陣中每一個元素又是一個向量，那么再展開一次，變成三維的立方陣，是不是更有用？

面對這一類的問題，許多老手們就好像大人在面對小孩子的刨根問底，最后總會迫不得已地說：“就是這么規定的，你接受并且記住就好。”

然而這樣的問題如果不能獲得回答，線性代數對于學習者而言就是一個簡單粗暴的、莫名其妙的規則合集。

這種過分強調形式論證、忽略直覺思維的教學形式，也會在一定程度上限制學習者的創新能力，使最后培養出來的學生也只能熟練地應用工具，缺乏真正意義上的理解。

正確學習姿勢

對此，不少“過來人”為初學者推薦了這些課程，可以幫助大家更好學習理解線性代數：

1.Gilbert Strang的「線性代數 MIT 18.06」課程及教材《Introduction to Linear Algebra》

不同于國內教材，Strang的課程更加面向實際應用、難度適中，比較注重從實際問題中培養數學直覺，適合工程學科學生使用。

并且在課程中，Strang會先引入有趣的數學事實，然后討論為什么這樣是對的，再留一些習題讓學習者自己去深入探究原理，培養學習者對線性代數的興趣。

2.J. Str?m, K. ?str?m 和 T. Akenine-M?ller的《沉浸式線性代數》教程（《Immersive Linear Algebra》）

教程鏈接：http://immersivemath.com/ila/index.html

這份教程不再是簡單、枯燥的文字+公式組成，而是包含了大量生動有趣的動畫演示，用交互的方式進行學習。

在閱讀內容的時候，學習者可以自己去移動其中的動圖，變換參數，從不同的角度來理解其中的知識。

3.藍以中的《高等代數簡明教程》和丘維聲的《簡明線性代數》

如果有的同學對英文比較頭大，也可選擇國內這兩位老師的課程學習。

關于線性代數教材，你有想分享或吐槽的內容嗎？

參考鏈接：
知乎話題：https://www.zhihu.com/question/448135596
“楊數森”的回答（已獲授權）：https://www.zhihu.com/question/448135596/answer/1805794712
《理解矩陣》：https://wenku.baidu.com/view/f96956b404a1b0717fd5ddca.html

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的同济版《线性代数》再遭口诛笔伐，网友：它真的不太行的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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