抽象代數學習筆記四《群：子群、同構、同態》

學習筆記參考：《近世代數初步》第2版 高等教育出版社——石生明編著
注：本篇筆記根據博主個人數學的掌握情況整理

課后習題
1、$H_1,H_2,?,H_k,?$ 都是群 $G$ 的子群，證明：
（1）$H_1\cap H_2$ 是子群；
（2）$\underset{i=1}{\overset{\infty }{?}}{H}_i$ 是子群；
（3）若 $H_1?H_2???H_k?H_{k+1}??$ ，則 $\underset{i=1}{\overset{\infty }{?}}{H}_i$ 是子群；
2、設 $G$ 是群，令：$$Z(G)=\{a\in G|ag=ga,?g\in G\}$$ 則 $Z(G)$ 是 $G$ 的子群，稱為 $G$ 的中心；
3、$G$ 是群，$S$ 是 $G$ 的非空子集，令：$$C_G(S)=\{a\in G|as=sa,?s\in S\}$$ $$N_G(S)=\{a\in G|aS{a}^{?1}=S\}$$ 則它們都是 $G$ 的子群，其中 $$aS{a}^{?1}=\{as{a}^{?1}|?s\in S\}$$ $C_G(S)$ 和 $N_G(S)$ 分別稱為 $S$ 在 $G$ 中的中心化子和正規化子；
4、證明正三角形 $A_1{A}_2{A}_3$ 的對稱性群與 $S_3$ 同構（將每個對稱性變換與它引起的頂點的置換相對應）；
5、$G$ 是群，$S$ 是 $G$ 的非空子集，令：$$H=\{t_1?t_i?t_k|?k是正整數,t_i或t_i^{?1}\in S\}$$證明 $H$ 是子群且 $H=?S?$；
6、群 $G$ 的全部自同構在 $G$ 上變換的乘法下成為群，稱為 $G$ 的自同構群，記為 $AutG$ 。

參考答案如下：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的抽象代数学习笔记四《群：子群、同构、同态》的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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