我第一次接觸白皮書是和高中同學(xué)鐘梓源（復(fù)旦數(shù)學(xué)學(xué)院 16 級）的交流當(dāng)中發(fā)現(xiàn)的，記得是上半期開學(xué)之后，鐘梓源給我發(fā)了幾張他們高等代數(shù)“練習(xí)冊”的照片，還記得是矩陣的 Kronecker 積和攝動法之類的，當(dāng)時大為驚訝，我雖然對這些東西有所耳聞，但均來源于雜亂無章的各種資料。照片上的幾道題均有十足的難度，我當(dāng)下決定買一本，便開始閱讀了起來。現(xiàn)在已經(jīng)過去大半年，高等代數(shù)已經(jīng)學(xué)完了最后一章的內(nèi)容，白皮書也陪伴我度過了一個半學(xué)期。現(xiàn)在，我大概把白皮書上的題目全部做了一遍，不得不驚嘆于白皮書乃一本“葵花寶典”。 一、大量的補充知識 白皮書中擁有許多補充知識，很多內(nèi)容都讓我大開眼界。比如

• 攝動法，攝動法是一種十分有用且巧妙的方法，在一些書上也有所提及，但沒有專門的講解。白皮書上對于攝動法給了具體的說明，讓我又對攝動法有新的體會。
• 矩陣的 Kronecker 積，矩陣的 Kronecker 積即兩個線性變換張量積的矩陣表示，有些書也提到過。白皮書對此進行了系統(tǒng)的整理，并在特征值部分對矩陣 Kronecker 積進行補充。
• 結(jié)式與判別式一節(jié)有大量關(guān)于判別式、結(jié)式的公式。
• 一般域上的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型，即廣義 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型內(nèi)容也十分經(jīng)典。對于非代數(shù)閉域（有域上 2 次及以上的不可約多項式），矩陣相似標(biāo)準(zhǔn)型是一個很重要的問題，但由于比較復(fù)雜，很難見到如此細(xì)致的整理。
• Legendre 多項式。
• 矩陣的 Moore-Penrose 廣義逆以及線性方程組解的逼近。

另外，書中還隱藏著一些內(nèi)容銜接的信息，比如域擴張次數(shù)的公式等。 二、代數(shù)方法和幾何方法并用 對于高等代數(shù)問題，有兩種不同的風(fēng)格，即代數(shù)方法和幾何方法。代數(shù)方法直接從矩陣入手，把一切問題都轉(zhuǎn)化成矩陣的問題，然后利用矩陣的技巧進行運算；而另一方面，也可以將矩陣的問題轉(zhuǎn)化為線性空間以及線性變換的問題。而白皮書把兩種方法均做到了極致。 在代數(shù)方面，常?？吹嚼梅謮K矩陣談笑風(fēng)生，利用秩不等式扭轉(zhuǎn)乾坤，出其不意，用巧妙的矩陣運算化解復(fù)雜問題，比如例 2.61，例?3.60，例 4.53，例 6.45 等等。有些時候，矩陣的做法難以想到或技巧性較強，又有對應(yīng)的幾何做法來化解，通過構(gòu)造線性空間，考慮其線性變換及其不變子空間，又有另一片天地。白皮書中利用幾何方法推導(dǎo)冪零矩陣的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型是我以前從來未見到過的，相對于高深的有限生成模分解，這種接地氣的幾何證明的確十分巧妙。另外，有關(guān)正規(guī)算子部分，也利用幾何方法推導(dǎo)出其性質(zhì)，相比于算矩陣來說，更加貼近本質(zhì)。

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三、題目新穎 相比于其他書而言，白皮書更像是一本“高等代數(shù)習(xí)題集”而不是“高等代數(shù)陳題集”，上面有很多問題我自己在其他國內(nèi)外的書上均沒有見過，并且難度十足。令我印象最深的就是“跡為0為換位子”，即若 $n$ 階矩陣 $C$ 滿足$ \mathrm{tr}(C)=0$ ，則存在矩陣 $A$ 和 $B$ ，使得 $C=AB-BA$，這道題目在我們上半學(xué)期上課的時候，有同學(xué)提出但同學(xué)和老師均未給出解答，就此擱置。這學(xué)期的時候，老師給我們發(fā)了一篇英文論文，證明的就是這個問題。但閱讀白皮書時才發(fā)現(xiàn)這道題已經(jīng)在白皮書上出現(xiàn)了！利用有理標(biāo)準(zhǔn)型也可以給出一個相當(dāng)簡潔的證明。不得不驚嘆于白皮書的博大精深。 四、前后聯(lián)系緊密 對于我自己而言，數(shù)學(xué)的一大魅力，在于用新的數(shù)學(xué)理論解決以前無法解決的問題。在看書的時候，書前面拋出問題，而在后面用新的觀點看它，實乃一大樂事。這樣就能體會到數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性，讓人明白，創(chuàng)造理論就是為了解決問題。而白皮書，正好做到了這一點，前后聯(lián)系是非常緊密的。下面舉一些例子來說明。

• 例 1.16 給出了 Cauchy 行列式的計算，在例 8.27 在判斷矩陣 $a_{ij} = \dfrac {1}{i+j}$ 正定時，正好用上。
• 例 2.19 給出了 $B^{-1}-A^{-1}$ 的計算公式，后面才發(fā)現(xiàn)這是為了證明，若 $A>B>0$ 則 $B^{-1}>A^{-1}$ 。
• 第 8 章從矩陣角度給出了 Cholesky 分解，第 9 章又從內(nèi)積空間的角度重新提及。

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/focuslucas/p/6978171.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的高等代数葵花宝典—白皮书的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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