應用多元統計分析課后答案朱建平版

1第二章2.1.試敘述多元聯合分布和邊際分布之間的關系。解：多元聯合分布討論多個隨機變量聯合到一起的概率分布狀況， 的聯12(,)pX???合分布密度函數是一個 p 維的函數，而邊際分布討論是 的子向量的概率12(,)p??分布，其概率密度函數的維數小于 p。2.2 設二維隨機向量 服從二元正態分布，寫出其聯合分布。12()X?解：設 的均值向量為 ，協方差矩陣為 ，則其聯合12???12???μ21???????分布密度函數為。1/2 12 21 1() exp()()f???? ???????????????????????????x μxμ2.3 已知隨機向量 的聯合密度函數為12()X?121212[()()](,)dcxabxcaxcfxd?????其中 ， 。求1ab?2?(1)隨機變量 和 的邊緣密度函數、均值和方差；X(2)隨機變量 和 的協方差和相關系數；12(3)判斷 和 是否相互獨立。(1)解：隨機變量 和 的邊緣密度函數、均值和方差；1X221 12122[()()()]()dxcxabxcaxcf dd??????1221222)([()()]dc xbabac?12 12 20()[()()]dcdcxtxtd?????1212 20()[()()]cdcabattbdba?所以由于 服從均勻分布，則均值為 ，方差為 。1X2ba???21?同理，由于 服從均勻分布 ，則均值為 ，2 ??2 ,()0 xxcdfd??????其 它 2dc?方差為 。??21dc?(2)解：隨機變量 和 的協方差和相關系數；1X212cov(,)x 121212 12[()()()]dbca dcxabxcaxcx dd????????????????????()36db12cov,x???(3)解：判斷 和 是否相互獨立。1X2和 由于 ，所以不獨立。1212(,)()xff?2.4 設 服從正態分布，已知其協方差矩陣?為對角陣，證明其分量是相互(,p???3獨立的隨機變量。解： 因為 的密度函數為12(,)pX??? 1/ 11(,.)ex()()2pfx????????????????ΣμΣx又由于212p???????221p?Σ?21221p???????????Σ?則 1(,.)pfx 211/22 21 2exp() ()1p p??? ???? ???? ????? ?????? ????? ??? ???? ?ΣμΣxμ? ??? 2221 3112 ()()()1exp.p pxx??????? ?????? ??? ?????? ?? 211()e().pii pii f?? ?????則其分量是相互獨立。42.5 由于多元正態分布的數學期望向量和均方差矩陣的極大似然分別為 1?nii??μX1?()niii n????ΣX3560.2?7.1??????μ2058.390.837250.-73680.39615?7.119.-6-5-9? ?? ??? ?Σ注：利用 , S 其中 1pn??X1()nn????XI 01n????????I在 SPSS 中求樣本均值向量的操作步驟如下：1. 選擇菜單項 Analyze→Descriptive Statistics→Descriptives，打開 Descriptives 對話框。將待估計的四個變量移入右邊的 Variables 列表框中，如圖 2.1。圖 2.1 Descriptives 對話框2. 單擊 Options 按鈕，打開 Options 子對話框。在對話框中選擇 Mean 復選框，即計算樣本均值向量，如圖 2.2 所示。單擊 Continue 按鈕返回主對話框。5圖 2.2 Options 子對話框3. 單擊 OK 按鈕，執行操作。則在結果輸出窗口中給出樣本均值向量，如表 2.1，即樣本均值向量為(35.3333，12.3333，17.1667，1.5250E2) 。表 2.1 樣本均值向量在 SPSS 中計算樣本協差陣的步驟如下：1. 選擇菜單項 Analyze→Correlate→Bivariate，打開Bivariate Correlations 對話框。將三個變量移入右邊的 Variables 列表框中，如圖2.3。圖 2.3 Bivariate Correlations 對話框2. 單擊 Options 按鈕，打開 Options 子對話框。選擇Cross-product deviations and covariances 復選框，即計算樣本離差陣和樣本協差陣，如圖 2.4。單擊 Continue 按鈕，返回主對話框。6圖 2.4 Options 子對話框3. 單擊 OK 按鈕，執行操作。則在結果輸出窗口中給出相關分析表，見表 2.2。表中 Covariance 給出樣本協差陣。 (另外，Pearson Correlation 為皮爾遜相關系數矩陣，Sum of Squares and Cross-products 為樣本離差陣。 )2.6 漸近無偏性、有效性和一致性；2.7 設總體服從正態分布， ，有樣本 。由于 是相互獨立的正態~(,)pNXμΣ12,.nXX分布隨機向量之和，所以 也服從正態分布。又 ??111()nnni iii iEE??????????μ22111()nnni ii i iDD????ΣXX所以 。~(,)pNμΣ72.8 方法 1： 1?()niii????ΣX1nii???1?()()niiE????ΣX??1nii E???????????。1(1)ni n??????ΣΣ方法 2： 1()niii??SX-1((ni ii? ????????????-μ)-μX)11()2()()nnii ii i n??? ? ???X--μ)X1()()()niii?????-μXμ1()()niii n????X-1()()()niiiEn?? ????? ??? ?S-μXμ。1()()niii E????X- Σ故 為 的無偏估計。?SΣ2.9.設 是從多元正態分布 抽出的一個簡單隨機樣本，試求(1)2()n,., ~(,)pNμ的分布。證明： 設8為一正交矩陣，即 。**()11ijnn???????????Γ???? ??ΓI令 ，???1212nΖ=(Ζ)=X? ?,34,i?XΓ?由 于 獨 立 同 正 態 分 布 且 為 正 交 矩 陣所以 。且有12()n???? 獨 立 同 正 態 分 布， ， 。1nnii??ΖΧ1(()niiEn?ΖΧμ()Var?nZΣ1())(,23,)naajEr? ??1naj?μ10najir???1()()naajVr?ΖΧ??2211nnajjajr??Σ所以 獨立同 分布。2n?Ζ? (0,)N又因為 1()njj???iSX1njj????因為 11nni ini i???????? ?????????XXZ9又因為 ?????????????nnjj XX?? 21211???????????1212nnΓ? ????????????1212nZZ? ?所以原

總結

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