1. Jensen 不等式

Jensen 不等式的意義是：函數(shù)的期望大于等于期望的函數(shù)（該函數(shù)必須是凸函數(shù)，若為凹函數(shù)，則相反），即
$$E(f(x))\ge f(E(x))$$

或者寫成凸函數(shù)條件表達(dá)式的形式，在這個(gè)表達(dá)式式中，$t$ 相當(dāng)于 $x_1$ 的概率， $(1?t)$ 相當(dāng)于 $x_2$ 的概率：
$$tf(x_1)+(1?t)f(x_2)\ge f(t{x}_1+(1?t)x_2)t\in \{0,1\}$$

2. 條件期望

條件期望的表達(dá)式，若 X, Y 是兩個(gè)變量：
$$E(X\mid Y=y)=\int x{f}_{X|Y}(x\mid y)dx=\int \frac{xf(x,y)}{f(y)}dx$$

其中，
$f_{X|Y}(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f(y)}$ 為條件概率密度的定義。

變量的期望可以拆分為可行域之間的條件期望和：
$$E(x)=\sum P(B_i)E(x\mid B_i)$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的琴生Jensen不等式，条件期望的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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