目錄

• 引言
• 理論差錯(cuò)率推導(dǎo)
• 理論差錯(cuò)率編程繪圖
• 時(shí)分的導(dǎo)引輔助的信道估計(jì)方法

引言

最近完成老師給的作業(yè)，題目如下：

（1）請(qǐng)推導(dǎo)出單徑瑞利信道中的BPSK相干解調(diào)的理論誤碼率性能，并畫(huà)出比特信噪比與誤碼率的關(guān)系曲線。
（2）在單徑瑞利信道中，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種時(shí)分的導(dǎo)引輔助的信道估計(jì)方法，用Simulink進(jìn)行仿真，測(cè)量BPSK的誤碼率性能，畫(huà)出比特信噪比與誤碼率的關(guān)系曲線，并與(1)的曲線進(jìn)行對(duì)比。

對(duì)于BPSK的調(diào)制解調(diào)，可以參考之前的文章：

BPSK調(diào)制解調(diào)

理論差錯(cuò)率推導(dǎo)

BPSK一般是輸入±1進(jìn)行調(diào)制。在此處，我們假設(shè)輸入信號(hào)為：$s_1(t)=g(t)$和$s_2(t)=?g(t)$。其中$g(t)$是在區(qū)間$[0,T_b]$非零而在其他處為零的任意脈沖，其能量為${\xi }_g$。

則輸入信號(hào)可表示為$s_1(t)=\sqrt{{\xi }_b}$和$s_2(t)=?\sqrt{{\xi }_b}$。假設(shè)兩個(gè)信號(hào)是等概發(fā)送的，再假設(shè)此時(shí)發(fā)送信號(hào)$s_1$。

在小尺度衰落信道中，發(fā)送信號(hào)$s_1(t)$將發(fā)送乘性失真，單徑瑞利衰落信道意味著至少在一個(gè)信號(hào)傳輸間隔內(nèi)，乘法過(guò)程可以看做是乘一個(gè)常數(shù)。因此，當(dāng)發(fā)送信號(hào)$s_1(t)$時(shí)，在一個(gè)信號(hào)傳輸間隔內(nèi)的等效低通接收信號(hào)為：
$$r_1(t)=a{e}^{?j?}{s}_1(t)+z(t)(0\le t\le T)\text{\hspace{1em}(1)}$$
式（1）中，$z(t)$表示惡化信號(hào)的復(fù)高斯白噪聲過(guò)程。

假設(shè)信道衰落足夠慢,以致于相移$?$能夠從接收信號(hào)中無(wú)誤差地估計(jì)出來(lái)。在這種情況下,能夠?qū)崿F(xiàn)接收信號(hào)的理想相干檢測(cè)。于是,接收信號(hào)可用一個(gè)匹配濾波器來(lái)處理。

那么接收端經(jīng)過(guò)匹配濾波器得到的解調(diào)信號(hào)應(yīng)該為：$$r=a{s}_1+n=a\sqrt{{\xi }_b}+n\text{\hspace{1em}(2)}$$

式（1）中，n表示均值為0，方差為${\sigma }_n^2=\frac{1}{2}{N}_0$的加性高斯分量。a表示衰減。此時(shí)，要判斷接收到的$r$究竟是$s_1$還是$s_2$，就要進(jìn)行判決。在先驗(yàn)概率相同的情況下，最大后驗(yàn)概率準(zhǔn)則和最大似然準(zhǔn)則的效果相同。

在本實(shí)驗(yàn)中，將r與閾值0進(jìn)行比較，如果r>0，則判為$s_1$，否則判為$s_2$

顯然，r被判決為s1和s2概率分布函數(shù)（PDF）分別是：
$$p(r|s_1)=?\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}{e}^{?(r?a\sqrt{{\xi }_b}{)}^2/N_0}\text{\hspace{1em}(3)}$$
$$p(r|s_2)=?\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}{e}^{?(r+a\sqrt{{\xi }_b}{)}^2/N_0}\text{\hspace{1em}(4)}$$

在給定了發(fā)送符號(hào)$s_1(t)$的情況下，錯(cuò)誤概率就是r<0的概率。即
$$\begin{gathered} p(e|s_1)={\int }_{?\infty }^{0}p(r|s_1)dr \\ =Q\left(\begin{array}{c}\sqrt{\frac{2a^2{\xi }_b}{N_0}}\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(5)} \end{gathered}$$

式（5）是一個(gè)Q函數(shù)，定義為$Q(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_x^{\infty }{e}^{?t^2/2}dt,x\ge 0$。同理，當(dāng)發(fā)射信號(hào)$s2$時(shí)，錯(cuò)誤概率也是$p(e|s_2)=Q\left(\begin{array}{c}\sqrt{\frac{2a^2{\xi }_b}{N_0}}\end{array}\right)$。因?yàn)閟1和s2是等概率發(fā)送的，所以平均錯(cuò)誤概率仍然是
$$\begin{gathered} p_b=\frac{1}{2}p(e|s_1)+\frac{1}{2}p(e|s_2) \\ =Q\left(\begin{array}{c}\sqrt{\frac{2a^2{\xi }_b}{N_0}}\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(6)} \end{gathered}$$

從式（6）我們可以發(fā)現(xiàn)，錯(cuò)誤概率只跟比特信噪比：$\frac{{\xi }_b}{N_0}$和衰減a有關(guān)。我們定義接收信噪比${\gamma }_b=\frac{a^2{\xi }_b}{N_0}$。則BPSK的差錯(cuò)率為：$$p_b({\gamma }_b)=Q(\sqrt{2{\gamma }_b})\text{\hspace{1em}(7)}$$

我們把式（7）看成是條件差錯(cuò)概率，其條件是衰減系數(shù)a保持不變。但我們?yōu)榱说玫絘變化時(shí)的出錯(cuò)率，所以我們需要將（7）中的$p_b({\gamma }_b)$對(duì)${\gamma }_b$求平均，即需要計(jì)算如下積分：
$$p_b={\int }_0^{+\infty }{p}_b({\gamma }_b)p({\gamma }_b)d{\gamma }_b\text{\hspace{1em}(8)}$$
其中，$p({\gamma }_b)$是a為隨機(jī)變量時(shí)，${\gamma }_b$的概率密度函數(shù)。

此時(shí)，我們只需知道$p({\gamma }_b)$即可。在單徑瑞利信道中：因?yàn)閍是瑞利分布的,故$a^2$為具有兩個(gè)自由度的${\chi }^2$分布。因此, ${\gamma }_b$也是${\chi }^2$分布的。容易證明
$$p({\gamma }_b)=\frac{1}{\overline{{\gamma }_b}}{e}^{?{\gamma }_b\sqrt{{\gamma }_b}}({\gamma }_b\ge 0)\text{\hspace{1em}(9)}$$

此時(shí)我們定義比特信噪比：$BSNR=2{\xi }_b/N_0$

式（9）中，$\overline{{\gamma }_b}$是平均信噪比，它定義為：$\overline{{\gamma }_b}=\frac{{\xi }_b}{N_0}E(a^2)$。由于$a^2$為具有兩個(gè)自由度的${\chi }^2$分布，所以$E(a^2)=2$，$\overline{{\gamma }_b}=4BSNR$。

讓我們嘗試把式（7）、（9）帶入式（8）,積分結(jié)果為：
$$p_b=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1?\sqrt{\frac{\overline{{\gamma }_b}}{1+\overline{{\gamma }_b}}}\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1?\sqrt{\frac{4BSNR}{1+4BSNR}}\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(10)}$$

式（10）就是理想情況下的差錯(cuò)率表達(dá)式。

理論差錯(cuò)率編程繪圖

%author: ddatalent %date: 2021/06/28 clear;close;clc; snr=zeros(1,30); snr(1)=1e-3; for i=1:29snr(i+1)=snr(i)*1.5; end Pb=zeros(1,length(snr)); for i=1:length(snr)Pb(i)=1/2*(1-sqrt(4*snr(i)/(1+4*snr(i)))); end;figure() plot(20*log10(snr),Pb); xlabel('SNR(dB)'); ylabel('Pe'); title('理想誤碼率曲線'); grid on

時(shí)分的導(dǎo)引輔助的信道估計(jì)方法

單徑瑞利信道，由于只有單徑的信號(hào)，不考慮時(shí)延擴(kuò)展,它描述的是信道的時(shí)間選擇性衰落特性,也就是平坦衰落，我們?cè)谝粠?hào)的幀頭插入一個(gè)‘1’比特作為導(dǎo)引估計(jì)信道特性，并且可以認(rèn)為在一幀內(nèi)信道特性不會(huì)變化。

本文參考自：
《MIMO-OFDM Wireless Communications with MATLAB》
《數(shù)字通信》（第四版，第14章）

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的单径瑞利信道中的BPSK相干解调的（理论）误码率性能的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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