引言

?概率不等式是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論研究中的重要工具，對(duì)于概率極限理論和統(tǒng)計(jì)大樣本理論，幾乎所有重要結(jié)果的論證是借助于概率不等式的巧妙應(yīng)用，$\mathrm{J}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}$不等式和證明，并應(yīng)用其帶來(lái)解決一些相關(guān)問(wèn)題。

$\mathrm{J}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}$不等式不同形式

?$\mathrm{J}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}$不等式的形式有很多種，標(biāo)準(zhǔn)形式的如下：

$\mathrm{J}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}$不等式： 如果$f(x)$為連續(xù)實(shí)值凸函數(shù)，且$x_1\le x_2\le ?\le x_n$，$\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=1$，${\lambda }_i\ge 0$，$i=1,2?,n$，則有$$\sum _{i=1}^n{\lambda }_{i}f(x_i)\ge f(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i)$$如果$f(x)$為連續(xù)實(shí)值凹函數(shù)，則有$$\sum _{i=1}^n{\lambda }_{i}f(x_i)\le f(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i)$$

?在概率論中$\mathrm{J}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}$不等式有：離散型，連續(xù)型，條件期望型和中位數(shù)型等形式

$\mathrm{J}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}$不等式1： 設(shè)$f(x)$是區(qū)間$[a,b]$上的凸函數(shù)，$X$是取值于$[a,b]$上子集$A$的離散型隨機(jī)變量，則有如下兩個(gè)結(jié)論成立
（1）$\mathbb{E}(f(X))\ge f(\mathbb{E}(X))$;
（2）如果$f(X)$是嚴(yán)格凸的，則不等式中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)$P(X=\mathbb{E}(X))=1$時(shí)成立。

證明：
（1）對(duì)$X$取值的個(gè)數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納法證明，首先對(duì)于兩點(diǎn)分布：$$X～\{p(x_1),p(x_2)\}$$簡(jiǎn)記$p_1=p(x_1)$，$p_2=p(x_2)$。注意到$p_1=1?p_2$，則有$$\mathbb{E}(f(X))=p_{1}f(x_1)+p_{2}f(x_2)\ge f(p_1{x}_1+p_2{x}_2)=f(\mathbb{E}(X))$$假設(shè)$X$的值域$A$中元素個(gè)數(shù)為$n?1(n\ge 2)$，$A=\{x_1,x_2,?,x_{n?1}\}$時(shí)，結(jié)論（1）式成立，則對(duì)$A$中元素個(gè)數(shù)為$n(n\ge 2)$，$A=(x_1,x_2,?,x_n)$時(shí)，簡(jiǎn)記$p_i=p(x_i)$，$p_i^{\prime }=\frac{p_i}{1?p_n},i=1,2,?,n$，則有$\{p_1^{\prime },p_2^{\prime },?,p_{n?1}^{\prime }\}$是一個(gè)概率分布，從而有$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}(f(X))& =p_{1}f(x_1)+p_{2}f(x_2)+?+p_{n}f(x_n)\\ & =(1?p_n)\sum _{i=1}^{n?1}{p}_i^{\prime }f(x_i)+p_{n}f(x_n)\\ & \ge (1?p_n)f(\sum _{i=1}^{n?1}{p}_i^{\prime }{x}_i)+p_{n}f(x_n)\\ & \ge f(\sum _{i=1}^n{p}_i{x}_i)=f(\mathbb{E}(X))\end{array}$$
（2）若$f(x)$是嚴(yán)格凸的，則總有$\mathbb{E}(f(x))\ge f(\mathbb{E}(X))$成立，除非當(dāng)且僅當(dāng)$P(X=\mathbb{E}(X))=1$時(shí)，$\mathbb{E}(f(X))=f(\mathbb{E}(X))$成立。

$\mathrm{J}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}$不等式2： 設(shè)$X$是$m$維隨機(jī)向量，$f(x)$為定義在${\mathbb{R}}^m$上的凸函數(shù)$(m=1,2,?)$，其中$\mathbb{E}(X)<\infty$，則有
（1）$\mathbb{E}(f(X))\ge f(\mathbb{E}(X))$;
（2）如果$f(X)$是嚴(yán)格凸的，則不等式中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)$P(X=\mathbb{E}(X))=1$時(shí)成立。

證明：
（1）由于$y=f(x)$是${\mathbb{R}}^{m+1}$中的一個(gè)凸曲面，而點(diǎn)$(\mathbb{E}(X),f(\mathbb{E}(X)))$在次曲面上。存在一個(gè)過(guò)此點(diǎn)的平面，使得上述曲面全在此平面上的上方。若以$y=f(\mathbb{E}(X))+c^{\prime }(x?\mathbb{E}(X))$記此平面的方程，則有$$f(x)\ge f(\mathbb{E}(X))+c^{\prime }(x?\mathbb{E}(X))$$因而則有$$\mathbb{E}(f(X))\ge f(\mathbb{E}(X))+c^{\prime }\mathbb{E}(X?\mathbb{E}(X))=f(\mathbb{E}(X))$$
（2）若$f(x)$是嚴(yán)格凸的，則除非$x=\mathbb{E}(X)$，總有$f(x)>f(\mathbb{E}(X))$，總有$f(x)>f(\mathbb{E}(X))+c^{\prime }(x?\mathbb{E}(X))$成立，因而當(dāng)且僅當(dāng)$P(X=\mathbb{E}(X))=1$時(shí)$\mathbb{E}(f(X))=f(\mathbb{E}(X))$成立。

$\mathrm{J}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}$不等式3： 設(shè)$f(x)$是連續(xù)凸函數(shù)，$X$為關(guān)于$g$為$\sigma$可積的隨機(jī)變量，則$f(X)$關(guān)于$g$的條件期望存在，且有$f(\mathbb{E}[X|g])\ge \mathbb{E}(f(X)|g)$幾乎必然成立。

證明： 令$f^{\prime }(x)$為$f(x)$的右導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)$x$與$y$有$$f^{\prime }(x)(y?x)\ge f(y)?f(x)$$以$\mathbb{E}[X|g]$及$X$代替上式中的$x$與$y$得到$$f^{\prime }(\mathbb{E}[X|g])(X?\mathbb{E}[X|g])+f(\mathbb{E}[X|g])\le f(X)$$記上式左邊的隨機(jī)變量為$Y$，則$Y$關(guān)于$g$的條件期望存在，且$$\mathbb{E}[Y|g]=f(\mathbb{E}[X|g])$$將不等式兩邊同時(shí)取條件期望則有$$f(\mathbb{E}[X|g])\le \mathbb{E}[f(X)|g]$$幾乎必然成立。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Jensen不等式的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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